Geometria projetiva e a Quinta Memória sobre Quantics

Como consta na introdução, pode-se observar a clara importância dos aspectos algébricos geométricos trabalhados na Quinta Memória para os desenvolvimentos encontrados na Sexta Memória. A Quinta Memória traz os principais resultados dessa teoria projetiva relacionada aos quantics.

Na introdução da Quinta Memória sobre quantics, Cayley diz pretender compor sistemas de duas ou mais quádricas e os resultados das teorias da relação harmônica e da

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I say, therefore, simply that are the coordinates of a point (strictly speaking, it is the ratios of these quantities which are the coordinates, and the quantities themselves are indeterminates, i.e. they are only determinate to a common factor près, so that in assuming that the coordinates of a point are , we mean only that , and we never as a result obtain , but only ; but this being once understood, there is no objection to speaking of as coordinates). Now the notions of coordinates and of a point are merely relative; we may, if we please, consider as the parameters of a curve containing two variable parameters; such curve becomes of course determinate when we assume , and this very curve is nothing else than the point whose coordinates are , or as we may for shortness call it, the point . And if the coordinates are connected by an equation, then giving to these coordinates the entire system of values which satisfy the equation, the locus of the points corresponding to these values is the locus representing or represented by the equation; this of course fixes the notion of a curve of any order, and in particular the notion of a line as the curve of the first order.

involução. Considera também quádricas binárias bipartidas e sua relação com a chamada teoria da homografia, ou relação anarmônica. Ele afirma:

Esta memória foi originalmente destinada a conter um desenvolvimento das teorias dos covariantes de um determinado quantic binário, isto é, das quádricas, das cúbicas e dos quárticos, mas no que diz respeito às teorias das cúbicas e dos quárticos, verificou-se necessário considerar o caso de dois ou mais quádricas, e tenho, portanto, composto por tais sistemas de dois ou mais quádricas, e as teorias resultantes da relação harmônica e de involução, no assunto da memória e, apesar da teoria da homografia ou da relação anarmônica pertencerem ao tema das quádricas binárias bipartidas, até mesmo por sua relação com as teorias referidas, também são consideradas nesta memória. (CAYLEY, 1858b, p. 527, tradução nossa68).

No caso do sistema formado por duas quádricas, e , Cayley (1858b, p. 530) apresenta as principais relações e, no parágrafo 99 da quinta memória, mostra uma característica importante do invariante , que chama de conectivo, por relacionar coeficientes das duas quádricas. Quando esse invariante é igual à zero, as quádricas são ditas harmonicamente relacionadas. Cayley desenvolve essa característica e conclui que, quando , então as raízes das quádricas, e , estão harmonicamente relacionadas e daí extrai-se a definição de relação harmônica de duas quádricas.

Outro aspecto importante dessa relação entre álgebra dos invariantes e geometria projetiva pode ser notado quando Cayley (1858b, p. 533) analisa um sistema de três quádricas, no parágrafo 104 da Quinta Memória sobre Quantic. Tomando as quádricas , e , apresenta o determinante abaixo:

,

onde as linhas são formados pelos coeficientes das respectivas quádricas. A equação garante que as quádricas possuem o que era chamado de uma relação de “syzygetic” que pode ser expresso como , que significa que as três quádricas estão em involução. O determinante utilizando as raízes das quádricas:

. 68

The present memoir was originally intended to contain a development of the theories of the covariants of certain binary quantic, viz. the quadric, the cubic, and the quartic; but as regards the theories of the cubic and the quartic, it was found necessary to consider the case of two or more quadrics, and I have therefore comprised such systems of two or more quadrics, and the resulting theories of the harmonic relation and of involution, in the subject of the memoir; and although the theory of homography or of the anharmonic relation belongs rather to the subject of bipartite binary quadrics, yet from its connexion with the theories just referred to, it is also considered in the memoir.

Quando o determinante acima possui valor nulo, expressa que os três pares de raízes formam uma involução, ou estão em involução.

Os desenvolvimentos presentes na Quinta Memória sobre Quantics ilustram bem a íntima relação entre desenvolvimento algébrico e teoria geométrica investigada por Cayley em suas memórias e que culminaram em seus famosos resultados da Sexta Memória. Tais desenvolvimentos são retomados no início da Sexta Memória e servem de aporte teórico para que Cayley consiga desenvolver sua apresentação de uma métrica projetiva em sua geometria de uma dimensão.

A Quinta Memória possui muitas outras relações matemáticas que ligam as duas teorias. Como nosso objetivo é relacioná-la com a Sexta Memória, retornaremos à analise destes aspectos após uma apresentação da abordagem presente na Sexta Memória.