Geração de gaussianas multivariadas

1 > library(MASS)

2 > mu = (0.281, 0.420, 0.252)

3 > Sigma = matrix((2.001, 1.938, 1.783, 1.938, 3.001,

1.247, 1.783, 1.247, 2.610), 3, 3)

4 > y = mvrnorm(n=100, mu, Sigma)

5 > pairs(y)

variávelSigmaamatrizdeovariâniadeinteresse. Noteomoéestipulada

a estrutura de uma matriz de tamanho

3

3

^{aos dados. A linha 4}

pro-duza geração, enquantoa linha5mostraomo obterográo exibidona

gura2.6.

var 1

−2 −1 0 1 2 3 4

−2 −1 0 1 2 3 4

−2 −1 0 1 2 3 4

var 2

−2 −1 0 1 2 3 4 −3 −2 −1 0 1 2 3

−3 −2 −1 0 1 2 3

var 3

Figura2.6: Gráodeparesdasoorrêniasdenormaismultivariadas

EmpregandoreursosumpouomaisavançadosdosistemaRépossível

oloaros histogramasdeadaomponentenasdiagonaisdo diagramade

pares. A gura 2.7 mostra oresultado dessa modiação. O ódigo para

produzirestegráo,ompequenasalterações,éoqueonstanapáginade

var 1

−2 −1 0 1 2 3 4

−2 −1 0 1 2 3 4

−2 −1 0 1 2 3 4

var 2

−2 −1 0 1 2 3 4 −3 −2 −1 0 1 2 3

−3 −2 −1 0 1 2 3

var 3

Figura 2.7: Gráode pares ehistogramas dasoorrêniasde gaussianas

Cenários de vida de um

indivíduo

Esseapítulotemomoobjetivointroduzirosoneitosbásiosdeatuária

para elaborar um simuladorestoástio que gere enários de vida de um

indivíduo. Paraisso,oapítuloomeçaapresentandoalgunsonetios

bá-sios edepoisapresentaoproblemaqueserádisutido,suamodelagemea

soluçãoutilizandoaplataformaR.

3.1 Coneitos básios de matemátia atuarial

Um dos elementos básiosdos seguros quelidam om a vida humana éa

tábua demortalidade. Essa seção apresentainiialmenteum modelo

pro-babilístio para a sobrevivênia de um indivíduo. Depois, introduz-se as

tábuas demortalidade.

3.1.1 Modelo probabilístio para sobrevivênia de um

indivíduo

Considereumindivíduoom

x

^anose

T

^{seutempofuturodevida,denotado}

por

T (x)

^{. Portanto, aidadeemqueoindivíduomorreé}

x + T (x)

^.

Otempofuturodevida

T

^{deumindivíduoéumavariávelaleatóriaom}

umafunçãodedistribuição

G(t) =

^Pr

(T

t), t

0.

Afunção

G(t)

^representaaprobabilidadequeoindivíduomorrerádentro de

t

^{anos,paraqualquervalorde}

t

^{. Assume-sequeafunçãode}distribuição de probabilidadede

T

^,denotadapor

G

^{,éonheidaeéontínua,eque}

G

possuiumafunçãodedensidade

g

⁽

g(t) = G

⁰

(t)

^).

Dentro desse ontexto, a probabilidade que um indivíduo na idade

x

morra dentro de

t

^{anos, denotada por}

_t q _x

^{, pode ser esrita da seguinte}

maneira:

t q _x = G(t).

Similarmente,aprobabilidadedeumindivíduosobreviverpormais

t

^anos,

denotadapor

t p _x

^é:

t p x = 1 − t q x .

Aprobabilidadequeumindivíduoom

x

^{anossobrevivapormais}

s

^anos

edepoismorradentrode

t

^anosé:

s|t q x =

^Pr

(s < T < s + t) = G(s + t) − G(s) = _s+t q x − _s q x .

Aprobabilidadeondiionaldequeumindivíduoom

x

^{anossobreviva}

mais

t

^{anosdepoisdeterhegadoa idade}

x + s

^é:

t p _x+s =

^Pr

(T > s + t | T > s) = 1 − G(s + t) 1 − G(s) .

Damesmaforma,pode-sedizerqueaprobabilidadedeumindivíduomorrer

dentrode

t

^{anosdadoqueeleatingiuaidade}

x + s

^é:

t q _x+s =

^Pr

(T

s + t | T > s) = G(s + t) − G(s) 1 − G(s) .

Ovaloresperadodotemporestantedeumindivíduoomidade

x

^é

E[T ]

^,

serádenotadopor

e

Æ

_x

^{,esuadeniçãoé:}

Æ

e _x = E[T ] = Z _∞

0

t g(t) dt.

Deagoraemdiante,se

t = 1

^oíndie

t

^{éomitidonasnotações}

apresen-tadas.

Dene-seagoraa variávelaleatória

K

^{que representaonúmerodeanos}

ompletosfuturosvividosporumindivíduoomumaidade

x

^{. Assim,}

pode-sedizerque

Pr

(K = k) =

^Pr

(k

T < k + 1) = _k p _x q x+k , k = 0, 1, . . .

O valor esperado de

K

^{é hamado de valor esperado de trunamento do}

Seja

S

^{umafração doano duranteoqualoindivíduoomidadeiniial}

x

^{morre,istoé,}

T = K + S.

A variável aleatória

S

^tem distribuiçãoontínuaentre

0

^e

1

^{. Como}

usu-almente éfeito, nesse trabalhoonsidera-se que a variável

S

^édistribuída uniformementeentre

0

^e

1

^{. Seráonsideradotambémnessetrabalho,omo}

tambémédeostumenaliteratura,queasvariáveis

K

^e

S

^são independen-tes.

Parainteirospositivos

m

^{,pode-sedenira variávelaleatória}

S ^(m) = 1

m [mS + 1],

que é obtida omo um arredondamento para o menor múltiplo de

1/m

maiorque

S

^{. A funçãode} probabilidadede

S ^(m)

^{estádenida nospontos}

1

m , _m ² , . . . , 1

^{. Observequea}independêniaentre

K

^e

S

^impliana

indepen-dêniaentre

K

^e

S ^(m)

^{. Mais ainda, omo foi assumido que}

S

^{é uniforme}

entre

0

^e

1

^{, então pode-se provar que}

S ^(m)

^{tem uma} distribuiçãodisreta uniforme.

3.1.2 Tábuas de mortalidade

Partindo-sedeumnúmerofehadodepartiipantes,denominadoraiz,em

que o gênero pode ser levado em onsideração, a tábua de mortalidade

trata-se de uma tábua determinadapelas taxas anuaisde mortalidade ou

desobrevivênia.

Existemváriostiposdetábuasatuariais,omoaAT-49,AT-83ea

AT-2000,ondeATquerdizerannuitytableeonúmerorefere-seaoanoemque

asestatístiaspassadasomeçaramavaler. Tábuasmaismodernas,omoa

AT-2000, sãoadotadas emvárias empresasno Brasil, prinipalmente para

planosmaisexíveisomooPGBL.Elapossuiotempodevidamédiomais

elevadoqueasoutras,reduzindoassim,ovalordobenefíioaserpagopelas

empresas.

Porexemplo,naAT-49aexpetativadesobrevidaparaalguémom60

anoséde18,5anos,naAT-83éde22,6enaAT-2000éde24,6. Astábuas

mais modernasnão devem servistasomoinjustasou benéas apenasàs

seguradoras. Reetemasmudançasquea soiedadevem sofrendo,omoo

aumentodaexpetativadevida,melhoresondiçõessanitáriaseavançosna

mediina. NosEstadosUnidos,porexemplo,aquantidadedepessoas

en-tenáriaspassoude4000em1940,paramaisde61000,em1997. Emresumo,

se uma empresatrabalharom tábuasdesatualizadas,ela orreo risode

não teromopagarnofuturoarendamensal vitalíiaaosbeneiários.

Aonstruçãodessastábuaspodeseroriundadaexperiêniadas

segura-dorasousevalerdosdadosdosensosdemográos. Nãoexisteaindauma

tábua de mortalidade genuinamente brasileira. Oprinipal motivo é que

aindanãodeutempoparaonstruí-la,poisseriapreisoobservaravidade

umgrupodepessoasporumlongoperíododetempo.

Astábuas,sobondiçãouniversal,sãoompostasdeseisolunas:

x :

^{olunade idades,em anos;}

l _x :

^{númerode pessoas vivas naidade}

x

^{do grupoem estudo,de um}

totaliniialhipotétiode100.000novosnasimentos;

d _x :

^{númerodepessoasdogrupoquemorrementreasidades}

x

^e

x+ 1

^;

q x :

probabilidadeanual de morte, ou seja, a razão entre o número depessoasdogrupoquemorremnumaidade

w

⁽

d w

^{)pelonúmerode}

pessoasdaidade de

w

⁽

l _w

^). Matematiamente,tem-se:

q _x = ^d _l ^x

p x :

probabilidadeanual de sobrevivênia,obtida pela relação

p x = 1 − q x

^;

e _x :

^{expetativa devidaparaumindivíduoomidade}

x

^.

Observequeadistribuiçãode

K

^{eoutrasvariáveispodemseraluladas}

pela tábua.Por exemplo,

k p x = p x p x+1 p x+2 . . . p x+k−1 , k = 1, 2, 3, . . .

Para se obter a distribuiçãode

T

^{através da tábua deve-se usar uma}

interpolação. Umtipode interpolaçãosupõeque

u q _x

^{éuma funçãolinear}

em

u

^,para

u

^entre

0

^e

1

^,e

x

^{éumnúmerointeiro. Emoutraspalavras,isso}

signia queé assumidauma distribuiçãouniforme desobrevidaaolongo

doano.

Apresenta-se nas tabelas 3.1, 3.2 e 3.3 a tábua de mortalidade

ame-riana masulina de 2004, disponível no endereço http://www.d.gov/

nhs/produts/pubs/pubd/nvsr/51/51_03.htm.

3.2 Apresentação do problema

Uma das grandes inertezas que um gerente de ativos e passivosde uma

seguradorano ramo vida deseja modelaré a sobrevivênia de um

indiví-duo que possui uma apólie om ela. Assim, nesse trabalho, o primeiro

problema que será onsiderado nesse livro é o de gerar enários de uma

variávelaleatória

M

^{que representa onúmerode meses queum indivíduo}

sobrevivea partirdo momento em que ele fez um segurode previdênia.

Parasimpliaroproblema,assumaqueesseindivíduoaderiuaoplanono

diadeseu

n

^-ésimoaniversárioequeaprobabilidadedesobrevivêniadesse indivíduoobedeea leidedistribuiçãodenidapela tábuademortalidade

amerianamasulinade2004.

3.3 Modelagem

Paramodelarainertezaemrelaçãoàsobrevivêniadoindivíduoutilizando

atábuademortalidadeamerianamasulinade2004,osimuladorgerauma

variávelaleatóriadistribuídaporumaBernoulli(

q x

^),onde

q x

^éa

probabi-lidade doindivíduo na idade

x

^{morrerentre o ano}

x

^e

x + 1

^{. Para istoé}

geradoum número aleatório uniformemente distribuído entre

[0, 1]

^{. Se o}

númerogeradofor maiordo que

q x

^{, então oindivíduo sobreviveeo}

pro-essoérepetidoparaoanoseguinte. Casoontrário,seonúmerogeradofor

menorouiguala

q x

^{,oindivíduomorre. Restasaberemqualmêsoorrea}

morte.Paraisto,osimuladorgeraumnúmeroaleatóriodisretodistribuído

uniformemente entre

1

^e

12

^{eo mêsem questão} orresponderáao mês da

3.4 Simulação usando o R

Oprimeiropassoparaimplementarosimuladoréodearregaratábuade

mortalidadenoR.Amaneiramaisfáiléarregá-lanosistemaatravésdeum

arquivo,que pode serriadoopiandoa tábua linhaporlinha, separando

adavalorporumúnioespaçoembrano. Coloamostambémnaprimeira

linhadoarquivoosseguintesarateres: xl dpq. Esseabeçalhoindia

que a primeiraoluna serefere à idade, a segunda ao númerode pessoas

vivas,a tereiraaonúmerodepessoasque morreramnodeorreerdaquele

ano,aquartaà probabilidadedesobreviverpormaisumanodadaa idade

x(ouseja,ovalorde

p x

^{),e,nalmente,aquintaindiandoa}probabilidade denão sobreviver(

q x

^).

Para arregar a tabela no R existe uma função que lê de um arquivo

texto(formatoASCII)osseusdados. Essafunçãohama-seread.table,e

elaretornaumtipodedado,quenoRéahamadodedataframe. Os

ar-gumentosbásiosdessafunçãosãoonomedoarquivo,umaginformando

seexiste umalinhadeabeçalho(header),oaraterquerepresentao

se-paradordosnúmerosdatabela,eoaraterqueindiaopontodeimal(.

ou,). Noódigo3.1,aprimeiralinhalêatabeladoarquivoAT2004.txt

armazenando-a navariávelAT2004M.Asegundalinhadesseódigomostra

oomandoparaveroonteúdodatabela. Natereiralinha,oonteúdoda

oluna"p"databelaéarregadonavariávelp_x.

No documento Notas em Matemática Aplicada e-issn Editado por. Célia A. Zorzo Barcelos Universidade Federal de Uberlândia - UFU Uberlândia, MG, Brasil (páginas 31-38)