Geradores das Transformac¸˜oes Canˆonicas e de Calibre

As Equac¸˜oes Caracter´ısticas tamb´em fornecem as variac¸˜oes nas direc¸˜oes dos parˆametros λa _andωa_{. Por considerarmos esses parˆametros independentes, as variac¸˜oes globais ao longo}

desses parˆametros s˜ao dadas por

δλAaµ = δµ0δλa, δωAaµ= −δµ1D1δωa, (4.38a)

Nota-se que escrevemos δλ e δω para indicar as variac¸˜oes independentes nas direc¸˜oes λa e

ωa _{respectivamente. N˜ao escrevemos as variac¸˜oes para o campoB}

a por ser ´e equivalente ao

momento canˆonicoπ1 a.

A fim de analisar uma vers˜ao local para as variac¸˜oes (4.38), temos que considerar os parˆametros dependentes do tempoλa_{= λ}a_(x0_{) e ω}a_{= ω}a_(x0_{). Para esse caso, escrevemos}

δAa_µ = δ0_µδλa_{− δ}1_µD1δωa, (4.39a)

δπ_aµ = δ1_µf_ab cBcδωb. (4.39b)

O gerador das transformac¸˜oes canˆonicas ´e dado por Gcan_≡  dy_Ga0δλa_{+ G}aδωa , (4.40) pois δAa_µ = Aa µ, Gcan ∗ = δ_µ0δλa_{− δ}1_µD1δωa, (4.41a) δπ_aµ _{= {πa}µ, Gcan_}∗ = δ1_µf_ab cBcδωb. (4.41b)

A fim de relacionar o gerador Gcan _{com o gerador das transformac¸˜oes de calibre, podemos}

testar, substituindo na equac¸˜ao de Lie a ponto fixo (4.12), lembrando queπ1

a = Ba, logo

∆L = δπa1F01a + Ba(D0δAa1 − D1δAa0) ,

= f_ab cBcδωbF01a + Ba(−D0D1δωa− D1δλa) .

Utilizando a regra de comutac¸˜ao para derivadas covariantes, equac¸˜ao (4.13), obtemos ∆L = fab cBcδωbF01a + Ba −D1D0δωa+ fbc aδωbF01c − D1δλa ,

= −BaD1(D0δωa+ δλa) + BcδωbF01a (fab c+ fba c) ,

O segundo termo no lado direito da equac¸˜ao ´e igual a zero devido `a antissimetria da constante de estrutura. Portanto, se o conjunto de variac¸˜oes (4.39) ou (4.41) deixa a teoria invariante ∆L = 0, os parˆametros λa _{e δω}a _{n˜ao s˜ao mais totalmente independentes, mas satisfazem as}

seguintes relac¸˜oes

δωa _{= −Λ}a, (4.42a)

δλa = D0Λa, (4.42b)

Claramente, sob essas condic¸˜oes, o gerador de transformac¸˜oes canˆonicasGcan _{se torna o gera-}

dor das transformac¸˜oes de calibre Ggauge _≡



dy_Ga0D0Λa− GaΛa ,

pois reproduz as transformac¸˜oes de calibre (4.32) δAa_µ = Aa µ, Ggauge ∗ = δ_µ0D0Λa+ δµ1D1Λa = D0Λa, (4.43a) δBa = πa1, Ggauge ∗ = −fab cBcΛb, (4.43b)

as mesmas obtidas da an´alise da Equac¸˜ao de Lie. Finalmente, contaremos o n´umero de graus de liberdade da teoria. Lembremos que o ´ındice a possui 3 valores, portanto, o n´umero de vari´aveis canˆonicas ´e_{6 × 3, sendo 2 × 3 relacionadas ao par (B}a, Πa), e 4 × 3 ao par (Aaµ, πaµ).

Tamb´em temos_{2 × 3 Hamiltonianos n˜ao-involutivos (H}′_a1_{, H}′_{a) e 2 × 3 Hamiltonianos involuti-} vos_(Gλa_{, Gω}a_{), dando como resultado um espac¸o de fase de dimens˜ao 6×3−2×3−2(2×3) = 0,} sendo este tamb´em o n´umero de graus de liberdade do modelo BF.

Cap´ıtulo 5

Campo de Yang-Mills Topologicamente

Massivo e Auto-dualidade

5.1

Introduc¸˜ao

´

E bem conhecido que em2+1 dimens˜oes as teorias n˜ao-abelianas s˜ao super-renormaliz´aveis e sofrem de divergˆencias infravermelhas. Uma maneira de evitar essas divergˆencias [57] ´e pela adic¸˜ao de um termo de Chern-Simons, ou seja, construir uma teoria Topologicamente Massiva [35]. Assim, temos a teoria de Maxwell-Chern-Simons, a teoria de Yang-Mills Topologica- mente Massiva e da Gravitac¸˜ao Topologicamente Massiva. Como resultado da adic¸˜ao do termo de Chern-Simons, ´e fornecida uma massa para os campos mantendo a sua invariˆancia de calibre. Outra caracter´ıstica importante das teorias Topol´ogicamente Massivas ´e que, a n´ıvel quˆantico a massa topol´ogica fornece um cut-off infravermelho natural. Essas teorias s˜ao tamb´em de grande interesse uma vez que elas s˜ao de utilidade em modelos de mat´eria condensada, como no Efeito Hall Quˆantico [58], superconductividade [59], bem como a sua relevˆancia no estudo de teorias de calibre quatro-dimensionais com alta temperatura [60].

Com relac¸˜ao `a an´alise da v´ınculos, a teoria de Yang-Mills Topologicamente Massiva foi estudada usando o formalismo Hamiltoniano em [61]. Esta an´alise demonstrou que a ´algebra dos v´ınculos, bem como o n´umero de graus de liberdade s˜ao inalterados pelo termo massivo. A teoria de Maxwell-Chern-Simons foi quantizada, utilizando a quantizac¸˜ao canˆonica de Dirac assim como tamb´em pelo Princ´ıpio de Ac¸˜ao de Schwinger em [62]. Mais recentemente, tanto a teor´ıa de Maxwell-Chern-Simons como a teoria de Yang-Mills Topologicamente Massiva foram analisadas utilizando o formalismo de primeira ordem [63] desde que o c´alculo dos v´ertices se tornam mais simples. Em primeira ordem tamb´em temos que estas teorias j´a est˜ao escritas na forma canˆonica e a identificac¸˜ao dos v´ınculos ´e direta. ´E importante destacar que existe uma correspondˆencia entre as teorias Topologicamente Massivas e os modelos Auto-duais, esses ´ultimos introduzidos por Townsend [36]. Os modelos Auto-duais tamb´em s˜ao definidos em dimens˜oes ´ımpares, mas apresentam uma estrutura mais simples no que diz respeito `as teorias Topologicamente Massivas devido `a linearidade nos campos de velocidade. Essa equivalˆencia

foi analisada com o formalismo de Faddev-Jackiw [37] e foram revistas em [64] e [65]. A importˆancia dessa equivalˆencia reside na estrutura das teorias Topologicamente Massivas que tamb´em pode ser estudada com os mais simples e equivalentes modelos Auto-duais.

Por outro lado, existem diversas formas de estudar a dinˆamica de um sistema. Como foi indicado por Dirac [66], essas formas de dinˆamica s˜ao resultados de se impor que as equac¸˜oes de movimento da teoria sejam expressas na sua forma Hamiltoniana, enquanto se mantenha invariante sob transformac¸˜oes de Poincar´e e, est˜ao, por sua vez, relacionadas com a escolha de uma hipersuperf´ıcie onde s˜ao impostas as condic¸˜oes iniciais do problema em particular. A chamada forma Frontal ou de Plano nulo ´e que a superficie em considerac¸˜ao ´eΣ : τ = x+_,

ondex+ _{≡ (x}0_{+ x}2_)/√_{2 ´e uma das coordenadas do Cone de Luz em 2 + 1 dimens˜oes. Existe}

um interesse no estudo de teoria de campos no Plano Nulo devido `a reduc¸˜ao do n´umero de graus de liberdade independentes da teoria; isto est´a relacionado com o fato de que a grupo de estabilidade do grupo de Poincar´e no Plano Nulo possui sete geradores, em comparac¸˜ao com os seis geradores na forma Instantˆanea. Para a Cromodinˆamica Quˆantica [67] assim como para modelos com quebra espontˆanea da simetria [68], tem-se mostrado que a dinˆamica no Plano Nulo fornece exitac¸˜oes quˆanticas livres no v´acuo devido a uma separac¸˜ao completa dos graus de liberdade f´ısicos.

Neste cap´ıtulo, prosseguiremos com o an´alise de v´ınculos `a la Hamilton-Jacobi da teoria de Yang-Mills Topologicamente Massiva. Primeiro, estudamos as propriedades Lagrangianas, usando a Equac¸˜ao de Lie, depois obtemos o conjunto completo de Hamiltonianos involutivos por meio da Condic¸˜ao de Integrabilidade, calculamos as Equac¸˜oes Caracter´ısticas e identifica- mos o Gerador da transformac¸˜ao de calibre. Seguindo esse mesmo roteiro, estudaremos a teoria na dinˆamica no Plano Nulo em que mostraremos como difere a estrutura dos v´ınculos devido `a presenc¸a de Hamiltonianos n˜ao-involutivos. Tamb´em estudamos os v´ınculos do modelo Auto- dual para assim encontrar a correspondˆencia entre essas duas teorias desde o ponto de vista do formalismo de Hamilton-Jacobi.