Gráfico da Função Quadrática

“O gráfico de uma função quadrática é uma parábola”. Muitos professores dizem

isso em suas aulas, sem antes mesmo de definir cada um. Com isso, o aluno acaba associando a parábola, de forma equivocada, a qualquer gráfico que possua o formato similar ao dela. Assim, vamos definir a parábola e o gráfico de uma função quadrática e mostrar que eles são iguais.

Definição 2.3.5 Consideremos no plano uma reta e um ponto fora dela. A parábola de foco

A reta perpendicular à diretriz passando por será chamada de eixo da parábola e o ponto , que é o ponto médio do segmento com extremidades em e na interseção da diretriz com o eixo da parábola, será chamado de vértice. Este é o ponto da curva que está mais próximo da diretriz.

Demonstra-se por congruência de triângulos que se o ponto pertence à parábola e ′ é o seu simétrico em relação ao eixo, então ′, = , e ′, = , . Logo

′ também pertence à parábola. Isso significa a parábola possui um eixo de simetria.

Mostraremos agora que o gráfico da função quadrática = é a parábola em

ℝ cujo foco é o ponto = , e cuja diretriz é a reta horizontal = − .

Consideremos o vértice da parábola coincidindo com a origem do plano cartesiano e o foco sendo o ponto de coordenadas , , ou melhor: = , e = , . Dessa forma, a diretriz será a reta = − .

Considere , um ponto qualquer da parábola. Como é equidistante do foco e da diretriz , então

√ + − = + , . .

em que o primeiro membro representa a distância entre e , e o segundo membro, a distância entre e a diretriz . Veja a figura abaixo.

Elevando ao quadrado os dois membros da equação . . , obtemos:

+ − = +

+ − + = + + ,

o que resulta em:

= ,

ou ainda:

= .

Assim, os pontos da parábola de foco , e diretriz : = − satisfazem a equação = 𝑥

𝑝, ou seja, pertencem ao gráfico da função quadrática = com = 𝑝. Mostraremos agora que vale também a recíproca, ou seja, que os pontos do gráfico da função = pertencem à parábola de foco ,

𝑝 e diretriz : = − .

Seja , um ponto do gráfico da função . Calculando a distância entre e , temos:

, = √ + ( − ) = √ + − +

= √ + + = √( + ) = | + | = | − (− )|.

que é a distância entre e a diretriz . Como essa igualdade é satisfeita para todo ℝ, então os pontos do gráfico = coincidem com os da parábola de foco ,

𝑝 e diretriz :

= − .

□

Assim, se > , a parábola = tem concavidade voltada para cima e seu vértice , é o ponto de menor ordenada (mínimo). Se < , a concavidade é voltada para baixo e seu vértice é o ponto de maior ordenada (máximo). Veja a figura abaixo.

Conforme SOARES [18], veremos duas propriedades sobre translações que vão nos auxiliar na obtenção do gráfico da função quadrática em sua forma completa.

Propriedade 2.3.1 Seja uma função : ℝ → ℝ e ℝ. Se aplicarmos a translação horizontal

, ↦ + , , a qual leva o eixo vertical = na reta vertical = , então o gráfico

da nova função é obtido a partir do gráfico da função , deslocando-o horizontalmente unidades, para a esquerda ou para a direita, conforme < ou > .

Fonte: LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas Elementares. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2005, 246 p.

Propriedade 2.3.2 Seja uma função : ℝ → ℝ e ℝ. Se aplicarmos a translação vertical

, ↦ , + , a qual leva o eixo horizontal = na reta = , então o gráfico da nova função é obtido a partir do gráfico da função , deslocando-o verticalmente unidades abaixo ou acima, conforme < ou > .

Agora, examinemos o gráfico da função quadrática = − , que também é uma parábola cujo foco é o ponto , e cuja diretriz é a reta = − . Para chegarmos a essa conclusão basta observar que o gráfico de = − resulta daquele de ′ = pela translação horizontal , ↦ + , , que leva o eixo vertical = na reta vertical = . Veja o gráfico abaixo.

Finalmente, o gráfico da função quadrática = − + 𝑘 é a parábola cujo foco é o ponto , 𝑘 + e cuja diretriz é é a reta horizontal = 𝑘 − .

Fonte: LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas Elementares. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2005, 246 p.

Figura 16– Translação Horizontal de =

Fonte: LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas Elementares. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2005, 246 p.

De fato, basta aplicarmos a translação vertical , ↦ , + 𝑘 , que leva o eixo OX na reta = 𝑘 e a reta = − na reta = 𝑘 − , no gráfico da função ′ =

− , obtendo, assim, o gráfico de = − + 𝑘.

Como qualquer função quadrática = + + pode ser escrita sob a forma = − + 𝑘, em que = − e 𝑘 = , então o gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola.

□

Veremos agora o significado gráfico têm os coeficientes , , da função

quadrática = + + .

O valor de = é a abscissa do ponto em que a parábola corta o eixo OY. O coeficiente mede a maior ou menor abertura da parábola. De fato, suponhamos, por simplicidade, que > . Então < ′⇒ < ′ para todo ≠ , logo a parábola ′ _{= ′ situa-se no interior de = . Assim, quanto maior for mais fechada será} a parábola e vice-versa. Caso e ′ sejam negativos, o “maior” e “menor” devem ser tomados em valor absoluto.

Seja um ponto de uma parábola. Uma reta que passe por determina dois semiplanos. Diz-se que essa reta é tangente à parábola no ponto quando ela está completamente contida num desses semiplanos.

Fonte: LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas Elementares. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2005, 246 p.

Sabemos que a reta que passa pelo ponto , e tem inclinação é descrita pela equação = + . Os semiplanos determinados por essa reta são descritos pelas desigualdades + (semiplano superior) e + (semiplano inferior). Como os pontos , da parábola cumprem = + + , então todos eles estão no semiplano superior da reta = + quando > ou estão no semiplano inferior se < . Logo, a reta = + , de inclinação , é tangente à parábola = + + no ponto , . Em outras palavras, o coeficiente é a inclinação da reta tangente à parábola no ponto , (ver figura abaixo).

Assim, podemos tirar conclusões importantes em relação aos zeros da função quadrática:

 Se > , > , < e ∆ > ou < , < , > e ∆ > então temos dois zeros positivos, pois o gráfico intercepta o eixo à direita da origem; caso ∆= , temos apenas um zero positivo.

 _{> , > , > e ∆ > ou < , < , < e ∆ > então temos dois zeros}

negativos, pois o gráfico intercepta o eixo à esquerda da origem; caso ∆= , temos apenas um zero negativo.

Portanto, se e possuem mesmo sinal, e se este for oposto ao sinal de , então temos raízes (ou raiz) positivas; caso , e possuem sinais iguais, temos raízes (ou raiz)

Fonte: LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas Elementares. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2005, 246 p.

negativas. Para os demais casos, temos raízes de sinais contrários ou nenhuma raiz. Os gráficos abaixo visualizam melhor essas conclusões.

Utilizaremos essas conclusões na seção 2.4 quando apresentarmos métodos geométricos de resolução da equação quadrática.

Exemplo 2.3.15 Construir o gráfico da função = − + . Figura 20 – Zeros Positivos de Funções Quadráticas

Escrevendo a função em sua forma canônica, obtemos = − . Aplicando a translação horizontal , ↦ + , na função ′ = obtemos o gráfico

da função = − .

Observe que a reta = é o eixo de simetria da parábola. Logo adiante veremos com mais detalhes sobre eixo de simetria.

Depois de termos conhecido o gráfico de uma função quadrática (parábola), podemos extrair algumas informações sobre ele, como, por exemplo, o estudo dos zeros e do sinal da função. Na seção 2.3.2.6 trabalhamos a maneira algébrica; aqui, veremos geometricamente.

Em relação aos zeros da função quadrática, podemos tirar as seguintes conclusões:

 Se a função possui zeros diferentes ∆> , o gráfico toca o eixo das abscissas em dois pontos distintos. Assim, de acordo como no exemplo 2.3.10 item a) temos:

Observe que fizemos uma translação para obtermos o gráfico de . Os outros exemplos procedemos do mesmo modo.

 Se a função possui zeros iguais ∆= , então o gráfico toca o eixo num único ponto. Assim como no exemplo 2.3.10 item b) temos:

 O gráfico não toca o eixo das abscissas quando a função não possui zeros reais ∆< . Veja o item c) do mesmo exemplo:

Figura 23– Zeros da Função = − +

Já fizemos o estudo do sinal de uma função algebricamente a partir da forma fatorada. Faremos agora esse estudo observando o seu gráfico.

Quando se esboça o gráfico de uma função, temos alguns casos a considerar:

 Se > , a função possui um valor mínimo e, portanto, a concavidade da parábola é voltada para cima. Caso ∆< , a parábola não toca o eixo e dessa forma a função só assume valores positivos > para todo real; caso ∆= , a parábola toca no eixo em apenas um ponto e, neste caso, a função se anula quando for zero dessa função, e esta será positiva para qualquer outro valor. Por último, a parábola corta o eixo em dois pontos distintos quando ∆> . Ora, como ∆> , a função possui dois zeros reais distintos. Sejam e β os zeros da função e considere < ; a função será positiva quando < ou > .

 Se < , possui um valor máximo e, assim, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. Se ∆< , a parábola não toca o eixo e, portanto, a função assume somente valores negativos para todo real. Se ∆= , a parábola toca no eixo em apenas um ponto e, neste caso, a função é zero quando é raiz da equação e será negativa para outro valor de . Por fim, caso ∆> , a parábola toca o eixo em dois pontos distintos. Da mesma forma que nem no primeiro caso, sejam e β os zeros da função, com <

, então será positiva quando < < e será negativa quando < ou > . Veja a figura abaixo para compreender melhor.

□

O gráfico abaixo dar um entendimento melhor para a variação da função quando o discriminante é positivo, variando apenas o valor de .

Exemplo 2.3.16 Estude os sinais das funções abaixo (exemplo 2.3.10).

a) = − +

Figura 26 – Variação do Gráfico da Função Quadrática

Escrevendo a função em sua forma canônica, temos: = − − . Com isso temos o esboço do gráfico abaixo.

De acordo com o gráfico acima, para < < , < e para < ou > ,

> .

b) = − + −

A forma canônica de é = − − . Assim, seu esboço está representado abaixo.

Para < ou > , < ; se = , = .

c) = − +

Figura 28 – Gráfico da função = − +

Escrevendo em sua forma canônica, temos = − + , e seu esboço está representado abaixo. Assim, para todo ℝ, > , ou seja, a função é sempre positiva para todo real.

Observe que os gráficos dão uma visão notável sobre os zeros de uma função, bem como o estudo do sinal da mesma.

Proposição 2.3.4 Seja = + + uma função quadrática, com real. Então

= se, e somente se, os pontos e são simétricos em relação à reta vertical =

− , ou seja, 𝑥 +𝑥 = − para todo e reais. Isto significa que = − é o eixo de

simetria da parábola. [18]

Demonstração. Mostremos primeiro a ida. De fato, sejam e números reais com ≠ e tais que = , ou seja,

+ + = + + .

Agrupando os termos, temos:

− + − =

[ − + ] + − = .

Colocando o termo − em evidência, vem:

− [ + + ] = . Como ≠ , então + + = . ou seja, + = − .

Mostraremos agora que se 𝑥 +𝑥 = − , então = . De fato, já sabemos, visto anteriormente, que = − + , onde = − . Assim:

= [ − ( + )] + = ( + ) + = − + + = − + = [ − ( + )] + = . Logo = . □

Exemplo 2.3.17 As coordenadas do vértice de uma função quadrática são , − e um de seus zeros é . Qual o valor do outro zero dessa função?

Como a função possui a reta vertical = − como eixo de simetria, então os seus zeros possuem a mesma distância para a coordenada do vértice. Logo, se um dos zeros é , então o outro é .