3. Potencial elétrico
3.3. Gradiente do potencial
A unidade SI de potencial elétrico é o volt (V), em homenagem ao físico italiano Alessandro Volta. Sendo o potencial definido como uma energia por unidade de carga, a relação entre o volt, o joule e o coulomb é
1 V=1 J
C=1 N·m
C . (3.15)
Outra unidade de energia usada frequentemente é o eletrão-volt(eV) definido como a energia adquirida por uma carga elementareao passar através de uma região onde existe uma diferença de potencial de 1 V:
1 eV=1.6×10−19C·V=1.6×10−19J. (3.16) No caso de uma partícula pontual com cargaq na origem, o potencial elétrico, considerando a Equação (3.11), é dado por
V = kq
r . (3.17)
De notar que nesta equação podíamos somar qualquer constante arbitrária, sem contrariar a Equação (3.11), mas normalmente considera-se queV =0parar→ ∞ e, por isso, não incluímos a constante.
Para deslocar uma carga de provaq0desde o ponto A até o ponto B, sem aceleração, é preciso aplicar uma força externa igual e oposta à força elétrica. O trabalho feito pela força externa é, nestas condições:
WAB(externo)=−WAB(elétrico)=q0VB−q0VA. (3.18) Se o ponto inicial A se encontrar a uma distância infinita, o potencialVAserá zero, por definição, eVBserá igual ao trabalho que a força externa tem de fazer para trazer a cargaq0 =1desde o infinito até ao ponto B. O potencial elétricoV(~r) é igual ao trabalho que deve ser feito para trazer uma unidade de carga positiva, desde o infinito até à posição~r.
O potencialV(~r) constitui um campo escalar. Em cada ponto do espaço existe um valor numérico (escalar) do potencial.
3.3. Gradiente do potencial
A Equação (3.14) define o potencial elétrico associado a um determinado campo elétrico. O problema inverso, que abordaremos agora, é como calcular o campo elétrico dado um determinado potencial elétrico.
A diferença de potencial∆V =VB−VAentre dois pontos A e B é dada pelo integral de linha do campo elétrico, desde A até B, multiplicado por−1. Como o integral
A
B T
∆r
Figura 3.4.:Percurso entre dois pontos separados pelo deslocamento∆~r.
pode ser calculado ao longo de qualquer percurso desde A até B, podemos usar o segmento de reta entre A e B (Figura3.4). Quando os dois pontos se encontram muito perto um do outro, e admitindo que o campoE~é constante, podemos calcular o integral facilmente:
∆V ≈ −E~·∆~r, (3.19)
onde∆~ré o deslocamento desde A até B, com módulo igual ao deslocamento escalar∆s.
A aproximação torna-se exacta no limite∆s→0:
lim
∆s→0
∆V
∆s =−E~·ˆt, (3.20)
ondeˆt é o versor tangencial, na direção e sentido do deslocamento de d~r. Este limite constitui a definição da derivada direccional de uma função de várias va-riáveis, neste casoV, na direção definida pelo versorˆt. Temos então, o resultado importante
dV
ds =−E~·ˆt . (3.21)
A derivada do potencial elétrico, em qualquer direçãoˆt, é igual a menos a compo-nente do campo elétrico nessa direção.
A D
C B
θx
θy
∆ s cosθx
∆ s sinθy ∆ s
ˆi ˆj
Figura 3.5.:Projeções do deslocamento∆snos eixosxey.
3.3 Gradiente do potencial 55 Por simplicidade, considere-se que os pontos A e B estão num plano paralelo ao plano xy. As projeções do deslocamento sobre os eixos xe ysão∆scosθx e
∆scosθy, ondeθxeθysão os ângulos que o versorˆt faz com os versoresˆıe ˆ, respetivamente (Figura3.5). O aumento do potencial (∆V) desde A até B é igual à soma dos aumentos do potencial desde A até C, e desde C até B.
No limite∆s→ 0, seV for uma função contínua, o aumento deV, desde C até B, pode ser aproximado pelo aumento desde A até D (Figura3.5). Os aumentos de V, por unidade de deslocamento, nas direções AC e AD, são as derivadas parciais deVem ordem axe ay, respetivamente. Assim, temos
∆V ≈∆scosθx∂V
O cálculo anterior pode ser facilmente generalizado ao caso de três dimensões, e obtemos o resultado:
dV
ds =(~∇V)·ˆt, (3.24)
onde o vetorgradiente do potencial~∇Vé definido como:
~∇V = ∂V
∂xˆı+∂V
∂y ˆ+∂V
∂z kˆ . (3.25)
O resultado obtido é válido para qualquer campo escalar: a derivada direccio-nal de um campo escalar (função de várias variáveis) contínuo é igual ao produto escalar entre o seu gradiente e o versor que define a direção. A Equação (3.25) define o gradiente em coordenadas cartesianas, mas, como o produto escalar é inde-pendente do sistema de coordenadas, a Equação (3.24) permite definir o gradiente em qualquer sistema de coordenadas.
No caso particular do potencial eletrostático, como vimos (Equação3.21), a deri-vada direccional é também igual ao produto escalar entre−E~e o versorˆt; obtemos, assim, a relação que permite calcular o campo elétrico a partir do potencial:
E~ =−~∇V . (3.26)
O valor máximo do produto escalarE~·ˆté igual ao módulo deE, e obtém-se quando~ o versorˆttiver a direção do campo elétrico. Assim, dado um potencialV, o campo elétrico será na direção em que o potencial diminuir mais rapidamente, e o módulo do campo será igual ao valor absoluto da derivada nessa direção.
As linhas de campo elétrico estão sempre orientadas desde pontos de maior poten-cial para pontos de menor potenpoten-cial. Uma vez que uma linha de campo passe por um ponto com um determinado potencial, não pode voltar a passar por pontos com um potencial igual ou superior. Esta é a razão pela qual as linhas de campo elétrico nunca podem ser fechadas.
Em coordenadas cartesianas, e considerando a Equação (3.26), as três componentes do campo elétrico, em função do potencial, são
Ex=−∂V
∂x, Ey =−∂V
∂y, Ez =−∂V
∂z. (3.27)
A partir destas equações é fácil ver que as derivadas cruzadas do campo elétrico devem ser iguais:
∂Ex
∂y =∂Ey
∂x , ∂Ex
∂z =∂Ez
∂x , ∂Ez
∂y =∂Ey
∂z . (3.28)
A igualdade entre as derivadas cruzadas do campo elétrico é consequência direta da sua natureza conservativa; assim, uma forma rápida de descobrir se um campo vetorial qualquer é conservativo ou não, consiste em verificar a igualdade das suas derivadas cruzadas.
Exemplo 3.1
O campo elétrico numa região do espaço tem a forma Ex= E
A(x−y), Ey =−E
A(x+y), Ez =0,
onde AeE são duas constantes. Calcule o potencial num ponto qualquer dentro da região. (AdmitaV =0na origem.)
Antes de calcular o potencial, convém verificar que o campo é conservativo, isto é,
∂Ex
∂y =∂Ey
∂x =−E
A , ∂Ex
∂z = ∂Ez
∂x =∂Ez
∂y =∂Ey
∂z =0.
3.3 Gradiente do potencial 57
Existem duas formas de calcular o potencial eletros-tático. A primeira consiste em calcular o integral de linha do campo; como o potencial é zero na origem, O, o potencial num ponto qualquer P é dado pelo integral
VP=− wP
O
E~·d~r.
Usando o percurso representado na figura ao lado, composto por três segmentos de reta paralelos aos eixos, o integral de linha do campo é igual a:
VP=−
O segundo método para calcular o potencial elétrico consiste em escrever as três coordenadas do campo em função do potencial:
∂V e resolver o sistema de equações diferenciais. A terceira equação implica queV não depende dez: V =V(x,y). Integrando a primeira equação em ordem ax
ondeg(y) é qualquer função arbitrária que só depende dey. A derivada parcial de V(x,y) em ordem ayé, então:
∂V
∂y = E Ax+ dg
dy ,
e igualando à segunda equação no sistema de equações (3.29), obtemos g= E
2Ay2+C1, ondeC1é uma constante arbitrária.
O potencial é pois
V(x,y)= E
2A(y2+2xy−x2)+C1 .
O valor da constante deve ser zero, se queremos queVseja nulo na origem.
Exemplo 3.2
Encontre as coordenadas esféricas do gradiente. Use o resultado para demons-trar que se o potencial depende unicamente da distância à origem,V = f(r) (sistemas com simetria esférica), o campo elétrico éE~ =−f0r.ˆ
Usando a Equação (3.24), vemos que as três coordenadas esféricas do gradiente são aumenta (ver Apêndice A). Assim, o gradiente é igual a
~∇V =dV
O deslocamento ds, na direção radial, é igual a dr. Na direção φ, em queˆ unicamente φ aumenta, o deslocamento ds é um arco de círculo de raior e ângulo igual a dφe, portanto, ds =rdφ. Na direção θ, em que unicamenteˆ θ aumenta, o deslocamento infinitesimal é também um arco de círculo de raiorsinφ e ângulo igual a dθ: ds=rsinφdθ. Substituindo na equação anterior, obtemos as coordenadas esféricas do gradiente:
~∇V =∂V
O potencial com simetria esféricaV = f(r) depende apenas dere, portanto, as suas derivadas parciais em ordem aφeθsão nulas; a derivada em ordem aré uma derivada ordinária, f0. Nesse caso, o gradiente do potencial será
~∇V = f0rˆ, e, pela Equação (3.26), obtemos
E~ =−f0rˆ. (3.30)
As linhas de campo elétrico são na direção radial, mantendo a simetria esférica.