Mínimo em Algumas Classes de Grafos
5.4 Grafos Cúbicos
Um grafo G qualquer é um grafo cúbico se todo v ∈ V (G) possuir grau 3.
Seja G um grafo cúbico conexo.
• (I) Então se v ∈ V (G) ele será um dos seguintes tipos (Figura5.3): 1. Seja a, b, c os vizinhos de v, então a ∼ b e b ∼ c.
2. Seja a, b, c os vizinhos de v, então somente b ∼ c. 3. Nenhum dos vizinhos de v são adjacentes entre si.
◦ a ◦ a ◦ a • v ◦b v• ◦b v• ◦b ◦c ◦c ◦c
Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3
Figura 5.3:Tipos de vértices dos grafos cúbicos
As seguintes combinações de vértices podem ser feitas: – (a) Vértices só do tipo 1 (ver II)
– (b) Vértices só do tipo 2 (ver III) – (c) Vértices só do tipo 3 (ver IV)
– (d) Vértices do tipo 1 e do tipo 2 (ver V)
Prova.
Não é possível a ocorrência de somente tipos 1 e 3. Suponha v do tipo 1 então v ∼ a, v ∼ b, v ∼ c e a ∼ b, b ∼ c (Figura5.3, Tipo 1) o que implica que b é também do tipo 1, pois ele é adjacente a {a, v, c} e a ∼ v, v ∼ c.
Agora considere um dos dois vizinhos de v e b, digamos a. a ∼ v e a ∼ b, como v ∼ b o vértice a não poderá ser do tipo 3. Em (a) descartamos a possibilidade de a ser do tipo 1 (neste caso teríamos um K4, todos vértices do tipo 1), a só poderá ser do tipo 2. O mesmo ocorre com c. Então se v é do tipo 1 ele terá como vizinho um vértice do tipo 1 e dois vértices do tipo 2, logo grafos que possuam vértices do tipo 1 deverá obrigatoriamente conter também vértices do tipo 2.
– (f) Vértices do tipo 2 e do tipo 3 – (g) Vértices dos três tipos (1,2,3)
• (II) Se todo v ∈ V (G) é do tipo 1 então emparelhamento maximal mínimo é 2 sendo ele qualquer dois pares de vértices.
Prova.
Suponha v ∈ V (G) seja do tipo 1, logo v ∼ a, v ∼ b, v ∼ c, a ∼ b e b ∼ c então b também é do tipo 1 (Figura5.3, Tipo 1).
Para tornarmos a ou c tipo 1 é necessário adicionarmos um vértice que seja adjacente a v porém isto não pode ser feito pois v já possui grau 3, logo a única possibilidade para que a ou c venha a ter grau 3 e seja do tipo 1 é unirmos ambos, o que implicaria que G = K4 sem possibilidade de adicionarmos mais vértices. Concluimos que K4 é o único grafo onde todos os vértices são do tipo 1, como segundo Kawarabayshi et al. K4
é um grafo cúbico equi-emparelhável, logo temos que se G é um grafo cúbico onde todo v ∈ V (G) é do tipo 1 emparelhamento maximal mínimo = emparelhamento máximo = 2
terá cardinalidade n
3 e poderá ser obtido da seguinte forma:
1. Escolher um vértice qualquer v ∈ V (G) e iniciar emparelhamento M com∅.
2. Achar os vizinhos de v, digamos que Nv ={a, b, c}.
3. Adicionar ao emparelhamento M a aresta incidente aos vizinhos de v que são adjacentes, M ← M + (bc).
4. Achar os vizinhos de b. v ← o vizinho que não é adjacente a nenhum dos outros vizinhos de b. Se vértice v ou todos os seus vizinhos estiverem saturados então:
(a) Achar os vizinhos de c. v ← o vizinho que não é adjacente a nenhum outro vizinho de c. Se vértice v ou todos os seus vizinhos estiverem saturados então terminar o algoritmo e retornar o emparelhamento.
5. Repetir procedimentos de 2 até 5 com o novo vértice encontrado v.
Prova.
Seja v um vértice do tipo 2 e Nv = {a, b, c}. Como b ∼ c, {v, b, c} formam um triângulo (Figura5.3, Tipo 2). Para que os vértices b e c façam parte de um grafo cúbico é necessário que sejam adjacentes a mais um vértice, tendo então grau 3. Porém b e c devem ser adjacentes a vértices distintos, caso contrário eles se tornariam vértices do tipo 1, pelo mesmo motivo b ou c não pode ser adjacente a a.
Os novos vértices adicionados, digamos x e y, também devem ser do tipo 2, para isso dois de seus vizinhos devem ser adjacentes. Suponha x ∼ b, b não poderá ser adjacente a nenhum outro vértice pois já possui grau 3 e mudanças em suas arestas implicariam mudanças nos tipos de v e c, logo os vizinhos adjacentes de x serão dois outros vértices que não seja b, estes formarão um novo triângulo com x, o qual é um vértice adicionado. O mesmo vale para y ∼ c. (Figura5.4). Logo todo vértice adicionado deve fazer parte de um triângulo.
◦ a • v ◦c ◦y ◦ b ◦x
Figura 5.4:Transformando b e c em tipo 2
Consideremos agora o vértice a, que é adjacente a v porém não é adja-cente a nenhum dos demais vizinhos de v (Figura 5.4). Para que a seja do tipo 2 é necessário que ele seja adjacente a dois vértices que são por sua vez adjacentes. O vértice a não pode ser adjacente nem a b e nem a c, pois isso implicaria mudança no tipo dos mesmos, logo a deve ser adjacente a dois novos vértices que não são vizinhos de v digamos w e z. Os vértice w e z devem ser os vizinhos adjacentes de a, caso contrá-rio implicaria mudança de tipo dos vértices já existentes. Dessa forma a fará parte de um novo triângulo, {a, w, z}. Podemos concluir então que todo vértice fará parte de um triângulo. Se todo vértice pertence a um triângulo a única maneira para que o grafo formado por estes seja cú-bico é unindo estes triângulos através de arestas, as quais chamaremos de arestas de ligação (Figura5.5).
◦ ◦ ◦ ◦
◦ ◦ ◦ ◦ ◦
◦ ◦ ◦ ◦ ◦
◦ ◦ ◦ ◦
Figura 5.5:Arestas pontilhadas são as arestas de ligação
Como o grau de cada vértice é 3 é necessário um número par de vértices, e dessa forma um número par de triângulos. Como estamos trabalhando com a ligação de triângulos através de arestas temos que o número de vértices (n) será par e múltiplo de 3. Digamos que existam k triângulos, então teremos n = 3k e o número de arestas de ligação é3k
2 ; estas formam um emparelhamento perfeito do grafo, pois como foi demonstrado cada
vértice pertence a um triângulo e é incidente a apenas uma aresta de ligação. Logo ao considerarmos todas as arestas de ligação para um emparelhamento estaremos saturando todos os vértices.
Como foi demonstrado anteriormente, um grafo cúbico onde todos os vértices são do tipo 2, é uma coleção de triângulos unidos por arestas de ligação. A cardinalidade de todo emparelhamento em um triângulo é 1, sendo ele equi-emparelhável.
Consideremos uma coleção de triângulos qualquer (exemplo figura5.6). Considere um emparelhamento M sendo formado por uma aresta de cada triângulo, teremos então um emparelhamento máximo, e como o grafo é formado de triângulos não conexos entre si ele é equi-emparelhável e dessa forma M também é emparelhamento maximal mí-nimo.
◦ ◦ ◦ ◦
◦ ◦ ◦ ◦ ◦
◦ ◦ ◦ ◦ ◦
◦ ◦ ◦ ◦
Figura 5.6:Arestas em negrito formam emparelhamento
Note que cada triângulo possui dois vértices saturados e um não satu-rado. Se unirmos dois triângulos através de seus vértices não saturados podemos aumentar M, |M| = |M|+1. Sendo assim devemos unir vértices não saturados a vértices saturados para mantermos M como emparelha-mento maximal mínimo (figura5.7).
◦ ◦ ◦ ◦
◦ ◦ ◦ ◦ ◦
◦ ◦ ◦ ◦ ◦
◦ ◦ ◦ ◦
Após unirmos vértices não saturados a vértices saturados podemos unir os demais vértices de qualquer forma pois estes já estão saturados e as arestas de ligação entre eles não contribuirão para M. Sendo assim temos que cada triângulo contribuiu com uma aresta para M, que como vimos é um emparelhamento maximal mínimo. Logo, emparelhamento maximal mínimo M tem cardinalidade igual a k, mas n = 3k então |M| = n
3.
No algoritmo achamos os vértices não saturados de cada triângulo atra-vés do item 4 do algoritmo, o qual acha o vizinho de um vértice que está saturado e que é adjacente ao vértice saturado através de uma aresta de ligação. O item 3 garante que o vértice não saturado não fará parte do emparelhamento.
• (IV) Se todo v ∈ V (G) for do tipo 3, G pode ser dividido em duas classes sendo elas: 1)grafos bipartidos e 2)grafos não bipartidos.
Seja G = (A, B) um grafo bipartido cúbico conexo. Se todo v ∈ V (G) for do tipo 3 o emparelhamento maximal mínimo M terá cardinalidade 3.n
10 ≤ |M| ≤ 3.n 8
e poderá ser obtido da seguinte forma: 1. M ← ∅
2. Escolher {v|v ∈ V (G)} 3. Marcar v
4. Achar {x, y, z| {x, y, z} ∈ V (G) e N(v) = {x, y, z}} se x, y ou z não existir atribuir vazio
5. Achar um emparelhamento M1 que sature o maior número de vértices {x, y, z|x, y, z 6= ∅} sem usar v se possível
6. M ← M ∪ M1
7. Retirar de G os vértices saturados
8. Escolher um novo {v|v ∈ V (G); v /∈ M e v n˜ao esteja marcado} 9. Repetir passos de 3 até 7 até que não se possa escolher mais v. Prova.
O menor grafo cúbico bipartido é o K3,3 que é equi-emparelhável; então, emparelhamento maximal mínimo é igual a emparelhamento máximo
que tem cardinalidade três. Partindo de K3,3 teremos seis arestas que não farão parte do emparelhamento maximal M; tais arestas podem ser incidentes a quatro vértices os quais não formarão arestas que pertencerão a M. Dessa forma temos um grafo com dez vértices onde emparelhamento maximal mínimo é três. A este grafo não é possível adicionar mais vértices sem adicionar arestas ao emparelhamento. Observe a figura 5.8. Nela círculos pretos representam vértices satura-dos, círculos brancos vértices não saturados e (i) número de arestas que não fazem parte do emparelhamento M.
• • • ◦ ◦ • • ◦ • ◦ • • ◦ • ◦ • (2) • (4) • (6) ◦ (3) ◦ (0) • (2) • (4) ◦ (1) • (3) ◦ (0) • (2) • (4) ◦ (1) • (3) ◦ (0)
Figura 5.8:Padrão de emparelhamento em um grafo bipartido cúbico
Iniciamos com os seis vértices pertencentes ao K3,3. É possível adicio-nar até quatro vértices sem que tenhamos que adicioadicio-nar arestas ao em-parelhamento. Os próximos quatro vértices deverão ser saturados pro-duzindo dessa forma quatro arestas que não pertencem ao emparelha-mento M, tais arestas nos permite adicionar dois vértices sem saturá-los. O próximo par de vértices deve ser saturado o que permite em seguida a adição de um par de vértices não saturados.
Note pela figura 5.8 que a cada cinco pares de vértices pelo menos três arestas devem fazer parte do emparelhamento maximal, sendo assim não existirá um emparelhamento maximal que seja menor que 3.n
10
. Podemos concluir então que 3.n
10
≤ |M| ≤ 5.n 10
. Queremos agora reduzir o limite superior.
Suponha G(A, B) um grafo bipartido, garantidamente podemos formar conjuntos onde a cada cinco pares de vértices exista dois deles perten-cente a partições diferentes que não sejam adjaperten-centes, suponha x ∈ A e y ∈ B. Neste caso podemos saturar os demais oito vértices garan-tindo que x e y não farão parte do emparelhamento. Note que podemos reduzir este grupo de cinco para quatro pares; dessa forma temos que |M| ≤3.n
8
A execução do algoritmo dado um grafo G pode ser vista a seguir.
Na figura 5.9 pode-se ver o vértice v marcado e seus vizinhos sendo saturados. |M| = 3.
◦ v
• • • • • • • • • • • •
• • • x• • •y • • •z • • • •
Figura 5.9:Primeira execução
Na figura5.10encontramos o grafo original menos os vértices saturados por M. Nela vemos o novo vértice v que possui apenas dois vizinhos os quais são saturados pelo novo emparelhamento M1. M = 5.
◦ ◦v • • • • • • • •
•
x •y • • • • • • • •
Figura 5.10:Segunda execução
Na figura 5.11os vértices saturados na figura anterior forão retirados e um novo v encontrado. Novo emparelhamento M1 deverá conter v para saturar o maior número de seus vizinhos. |M| = 7.
◦ ◦ ◦v • • • • •
•
x •y • •z • • • •
Figura 5.11:Terceira execução
Na figura 5.12os vértices saturados na figura anterior forão retirados e um novo v encontrado. Este possui dois vizinhos que são saturados por um novo emparelhamento M1. |M| = 9.
◦ ◦ ◦v • • •
• •x •y • • •
Figura 5.12:Quarta execução
Finalmente na figura 5.13 resta apenas um vértice para ser v; este é incluído no emparelhamento M1. |M|=10.
◦ ◦ ◦ ◦v
• x• •y •z
Figura 5.13:Quinta execução
Note então que M está dentro do limite estipulado, que é 3.26
10 ≤ |M| ≤ 3.26
8
• (V) Se todo v ∈ V (G) for do tipo 1 ou do tipo 2 o grafo resultante será formado por diamantes (figura5.14) ligados entre si ou por diamantes e triângulos ligados entre si.
•
• •
•
Figura 5.14:Diamante
Um exemplo de grafo com vértices do tipo 1 e do tipo 2 pode se visto na figura5.15. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Desde a proposta inicial do conceito de emparelhamento muito foi de-senvolvido a respeito. Vimos neste trabalho a existência de um algoritmo para se encontrar um emparelhamento máximo em um grafo qualquer (capítulo2). Vimos também um algoritmo de tempo polinomial que responde se um grafo é equi-emparelhável ou não, bem como a caracterização de algumas classes de grafos equi-emparelháveis (capítulo4).
Apesar de existir algoritmos para o problema de emparelhamento má-ximo e para o problema de grafo equi-emparelhável achar um emparelha-mento maximal mínimo continua um problema NP-Completo (capítulo3). Po-rém para a classe de grafos equi-emparelháveis achar um emparelhamento maximal mínimo pode ser feito em tempo polinomial já que todo mento maximal é mínimo. Assim motivados trabalhamos com o emparelha-mento maximal mínimo em algumas classes de grafos a fim de encontrar no-vas classes de grafos para as quais o problema de emparelhamento maximal mínimo seja polinomial.
Apesar de conseguirmos delimitar a cardinalidade do mento maximal mínimo e definir um algoritmo para achar tal emparelha-mento nas classes de grafos completos e dos ciclos induzidos o mesmo não aconteceu para árvores. Para tal classe de grafos já existem algoritmos de tempo linear que retornam um emparelhamento maximal mínimo mas de-limitar uma cardinalidade do mesmo não é possível pois n vértices podem ser conectados de diversas maneiras sem nenhuma qualidade especifíca que ajude a determinar a cardinalidade do emparelhamento maximal mínimo; por exemplo: podemos ter uma árvore de n vértice cujo emparelhamento maximal mínimo é um ou uma árvore com n vértices cujo emparelhamento máximal mínimo está bem próximo de n
2. O mesmo aconteceu quando utilizamos o grau dos vértices; sendo assim não foi possível delimitar uma cardinalidade para o emparelhamento maximal mínimo em árvores baseando-se no número de vértices ou no grau dos mesmos. Problema similar ocorreu quando tratamos
de caracterizar árvores equi-emparelháveis. Árvores cuja altura é igual a um será sempre equi-emparelhável não importa o número de vértices; emparelha-mento maximal sempre será um. A medida que a altura aumenta as possibili-dades de configurações de árvores equi-emparelháveis diminui. Sendo assim não foi possível encontrar uma caracterização de árvores equi-emparelháveis que pudesse produzir um algoritmo de tempo polinomial.
Outra classe de grafos estudada foi a classe dos grafos cúbicos. Exis-tem apenas dois grafos cúbicos equi-emparelháveis sendo eles o K4 e o K3,3
([10]). Tal caracterização nos ajudou a formular algumas das cardinalidades propostas para emparelhamento maximal mínimo em grafos cúbicos.
Procuramos características estrututais que nos auxiliassem a formu-lar uma cardinalidade para o emparelhamento maximal mínimo em grafos cúbicos. Para isso propusemos a classificação dos vértices em três tipos (tipo 1, tipo 2, tipo 3). Tal classificação foi proposta tomando-se o fato de que todo vér-tice em um grafo cúbico possui exatamente três vizinhos. A atribuição do tipo de um vértice foi baseada na forma como os vizinhos de tal vértice estão uni-dos entre si. Classificando-se os vértices em até três tipos diferentes dividimos os grafos segundo a ocorrência de tipos de vértices neste. Sendo assim tería-mos sete combinações possíveis de ocorrência dos três tipos de vértices. Das sete combinações uma foi eliminada devido a impossibilidade de ocorrência (combinação 1,3). Das seis combinações restantes obtivemos a cardinalidade do emparelhamento maximal mínimo e um algoritmo que retornasse tal em-parelhamento para duas destas combinações (combinação 1 e combinação 2) e propusemos um intervalo da cardinalidade do emparelhamento maximal mí-nimo e um algoritmo que encontra um emparelhamento em tal intervalo para uma dessas combinações (parte da combinação 3). Ainda para uma quarta combinação especificamos a estrutura de tais grafos (combinação 1,2).
Para uma porção dos grafos cúbicos propusemos uma solução de tempo polinomial para o problema de emparelhamento maximal mínimo, bem como a definição ou aproximação de uma cardinalidade para tal emparelhamento. Acreditamos ainda ser possível delimitar intervalos para a cardinalidade do emparelhamento maximal mínimo para o restante dos grafos com vértices do tipo 3 e dos tipo 1,2.
A delimitação da cardinalidade do emparelhamento maximal mínimo para os grafos com vértices dos tipo 2 e 3 e dos tipos 1, 2 e 3 seria um desafio porém resolveria o problema do emparelhamento maximal mínimo para a classe dos grafos cúbicos por completo.
[1] DE FIGUEIREDO E JAYME L. SZWARCFITER, C. M. H. Emparelhamento em grafos - algoritmos e complexidade. Anais do XIX Congresso Nacional da Sociedade Brasileira de Computação, 2:127–161, 1999. [2] DIESTEL, R. Graph Theory. Springer, USA, 2005.
[3] E F. GAVRIL, M. Y. Edge dominating sets in graphs. SIAM Journal on Applied Mathematics, 38(3):364–372, 1980.
[4] E S. HEDETNIEMI, S. M. Edge domination in trees. Proc. Eighth Southeastern Conf. on Combinatirics, Graph Theory and Computing, 1977.
[5] EDMONDS, J. Paths, trees, and flowers. Canad. J. Math, 17:449–467, 1965.
[6] FAVARON, O. Equimatchable factor critical graphs. J. Graph Theory, 10:439–448, 1986.
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[8] GRUNBAUM, B. Matchings in polytopoal graphs. Networks4, 1974:175–190, 1974.
[9] HARARY, F. Graph Theory. Addison Wesley, USA, 1969.
[10] KAWARABAYASHI, K; PLUMMER, M; SAITO, A. On two equimatchable graph classes. Discrete Mathematics, 2006:263–274, 2003.
[11] LESK, M; PLUMMER, M; PULLEYBLANK, W. R. Equimatchable graphs. Academic Press, USA, 1984.
[12] LEWIN, M. Matching-perfect and covered-perfect graphs. Israel J. Math., 18:345–347, 1974.
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[14] SUMNER, D. Randomly matchable graph. Journal of Graph Theory, 3:183–186, 1979.
de Edmonds
A.1: Algoritmo de Emparelhamento Máximo de Edmonds Entrada: Grafo G qualquer.
Saída: Emparelhamento Máximo e Decomposição de Gallai-Edmonds
F loresta← V (G) 1 M ← ∅ 2 x← vértice externo 3 y← vértice vizinho de x 4
enquanto (existir x) e ((y = vértice externo) ou (y /∈ F loresta)) faça
5
se y /∈ F loresta então
6
z← vizinho de y que pertence ao emparelhamento
7
F loresta← F loresta + xy + yz
8
fim
9
se ((y = vértice externo) e (y,x pertencem a árvores diferentes)) então
10
O caminho entre as raizes das árvores de x e de y é caminho aumentante.
11
Alternar as arestas neste caminho aumentando M e retirar as árvores da floresta
fim
12
se ((y = vértice externo) e (y,x pertencem a mesma árvore)) então
13
Foi encontrado um ciclo de tamanho impar. Reduzir o ciclo a um único vértice
14
fim
15
fim
16
D← vértices externos e vértices reduzidos
17
A← vértices internos
18
C← vértices /∈ F loresta
B.1: Algoritmo de troca de arestas desenvolvido por Lesk, Plummer e Pulleyblank
Entrada: Grafo G(V, E); conjunto F de arestas dominantes mínimo de G. Saída: conjunto F′de arestas dominates independentes mínimo de G. F′ ← F
1
enquanto F′possuir duas arestas adjacentes(uv) e (vw) faça
2
S← {e|e uma aresta incidente em w} / {(vw)}
3
Achar aresta (wz) ∈ S, tal que (wz) é dominada apenas pela aresta (vw) de F′.
4 F′ ← F′/(vw) 5 F′ ← F′∪ {(wz)} 6 fim 7
Note que S∩F = ∅ pois caso contrário poderiamos remover (vw) de F e continuarmos com um conjunto de arestas dominantes, o que implicaria na contradição de que F é um conjunto de arestas dominantes mínimo, ou seja F/ {(vw)} não é dominante. Logo existe uma aresta (wz) ∈ S, z 6= v tal que (wz) é dominado apenas pela aresta (vw) de F . Substituindo (vw) por (wz) em F obtemos um conjunto de arestas dominantes independentes mínimo com |F | elementos. • u ◦ a ◦ u ◦ a ◦ u ◦ a ◦ v w• ◦b ◦v w◦ ◦b ◦v w◦ ◦b ◦ c • d ◦ c ◦ d ◦ c ◦ d (a) (b) (c)
Figura B.1:(a) Conjunto F; (b) Conjunto S (c) Conjunto de arestas domi-nantes independentes mínimo
C.1: Algoritmo de Equi-emparelhamento desenvolvido por Lesk, Plum-mer e Pulleyblank
Entrada: Grafo G qualquer.
Saída: Resposta à pergunta - Grafo é equi-emparelhável? se grafo tem emparelhamento perfeito então
1
se G é igual a K2mou Km,mentão 2
Retornar Grafo Equi-emparelhável.
3
senão 4
Retornar Grafo Não Equi-emparelhável.
5 fim 6
senão 7
Obter a decomposição de Gallai-Edmonds (D, A, C)
8
se G é fator-critico (A = ∅ então 9
verificar se G é equi-emparelhável utilizando procedimento de equiemparelhamento para grafos fator crítico (apêndiceD)
10
senão 11
se C = ∅ então 12
se A é um conjunto independente então 13
se Todo componente D, é um vértice isolado ou um componente do Tipo I, II, III então 14
Obter grafo bipartido G′através da deleção dos componentes tipo II e III e redução a um único vértice dos
15
componentes tipo I.
Obter os conjuntos (U, W ) de G′onde |U| ≤ |W |
16
se existe um emparelhamento que satura todos os vértices de U então 17
Aplicar Teorema12
18
senão 19
Retornar grafo não é equi-emparelhável,devido ao teorema10
20
fim 21
senão 22
Retornar grafo não é equi-emparelhável
23
fim 24
senão 25
Retornar grafo não é equi-emparelhável
26
fim 27
senão 28
Retornar grafo não é equi-emparelhável
29 fim 30 fim 31 fim 32