Gram´ aticas e M´ aquinas de Turing

Exerc´ıcios

4.3 Gram´ aticas e M´ aquinas de Turing

Nesta se¸cão, será mostrado que a classe das linguagens geradas pelas gramáticas irres-tritas é exatamente a classe das linguagens recursivamente enumeráveis. Além disso, para completar a chamada hierarquia de Chomsky, será apresentada uma versão res-trita de MT que reconhece exatamente as linguagens geradas por um tipo de gramática denominada gramática sens´ıvel ao contexto.

Para a consecu¸cão da primeira parte, será esbo¸cada a constru¸cão de uma MT que aceita uma linguagem gerada por uma gramática irrestrita, e será explicitado como construir uma gramática que gera a linguagem aceita por uma MT.

Teorema 31 A linguagem gerada por uma gram´atica irrestrita ´e uma LRE.

Prova

Seja uma gramática irrestrita G = (V,Σ, R, P). Será mostrado como construir uma MT não determin´ıstica de duas fitas, M, tal que L(M) = L(G). A fita 1 conterá a palavra de entrada, a qual não será modificada durante todo o processamento, e a fita 2 conterá, em certo instante, uma forma sentencial de G.

O algoritmo da máquinaM está representado na Figura 4.14. Nos passos 2.1 e 2.2 as sele¸cões mencionadas nessa figura são concretizadas por meio de não determinismo, como será visto adiante. Seja io estado inicial deM. Então o passo 1 do algoritmo é levado a efeito pelas transi¸cões:

δ(i, a,⊔) ={[j0,[a,E],[P,I]]} para cada a∈Σ∪ {⊔}.

No in´ıcio do la¸co, passo 2.1 do algoritmo, tem-se a sele¸cão não determin´ıstica de uma posi¸cãop na fita 2 mediante as transi¸cões:

δ(j0,h, a) ={[j0,[h,I],[a,D]],[j1,[h,I],[a,I]]} para cada a∈Σ∪V.

Supondo queGtenhanregras, no estadoj1´e escolhida, n˜ao deterministicamente, uma das regras, da seguinte forma (passo 2.2 do algoritmo):

δ(j1,h, a) ={[r1,[h,I],[a,I]], . . . ,[r_n,[h,I],[a,I]]} para cada a∈Σ∪V.

onde uma transi¸cão para o estadortcorresponde à escolha dat-ésima regra. No estado rt, o lado esquerdo da regraté comparado com o conteúdo da fita 2 a partir da posi¸cão atual de seu cabe¸cote (teste doseno passo 2.3). Supondo que o lado esquerdo da regra tseja uma palavra u=a1a2. . . a_q, tal teste seria feito por transi¸cões da forma:

δ(rt,h, a1) ={[r_t¹,[h,I],[⊔,D]]}

δ(r¹_t,h, a2) ={[r_t²,[h,I],[⊔,D]]}

...

δ(r^q−1_t ,h, aq) ={[r_t^q,[h,I],[⊔,I]]}.

Note que, à medida que é feita a compara¸cão, os s´ımbolos deu vão sendo apagados da fita 2. Se na fita 2 não houver algum destes a_k, a máquina para, correspondendo ao

“rejeite” na partesenãodo comandosedo passo 2.3. Havendo sucesso na compara¸cão, u terá sido apagada da fita 2 e a máquina entrará no estado r_t^q. Nesse estado, o lado direito, v, da regra t deve ser escrito na fita 2 em substitui¸cão a u (passo 2.3.1 do algoritmo). Há três casos a considerar:

a) |u|=|v|. Basta escreverv no espa¸co em branco onde estava u.

b) |u|>|v|. Deve-se escrever v na parte inicial do espa¸co em branco onde estava u, e deslocar a palavra seguinte a esse espa¸co para a esquerda|u| − |v|posi¸c˜oes.

c) |u|<|v|. Deve-se deslocar a palavra seguinte ao espa¸co em branco onde estava u |v| − |u|posi¸c˜oes, e escreverv no espa¸co em branco resultante.

Apesar de não serem explicitadas aqui, as transi¸cões para cada um desses casos são perfeitamente obten´ıveis. Suponha que, após a escrita devna fita 2, a máquina atinja o estado l0, tendo posicionado os cabe¸cotes na segunda posi¸cão de cada fita. Nesse estado, de acordo com o passo 2.3.2 do algoritmo, deve-se comparar os conteúdos das fitas 1 e 2, o que pode ser feito mediante as transi¸cões:

δ(l0, a, a) ={[l0,[a,D],[a,D]]} para cada a∈Σ δ(l0,⊔,⊔) ={[f,[⊔,I],[⊔,I]]}.

A última transi¸cão ocorre para o estado f, único estado final de M. Falta considerar o caso em que a compara¸cão levada a efeito no estadol0 não resulta em sucesso. Nesse caso, correspondendo à falha do teste do comando se no passo 2.3.2, deve-se reiniciar o la¸co, ou seja, transitar para o estado j0. Para isso, existem as transi¸cões:

δ(l0, a, b) ={[l1,[a,E],[b,E]]} para cadaa∈Σ, a6=b δ(l1, a, a) ={[l1,[a,E],[a,E]]}para cada a∈Σ δ(l1,h,h) ={[j0,[h,I],[h,D]]}.

Agora, resta mostrar que toda linguagem recursivamente enumerável pode ser ge-rada por uma gramática irrestrita, o que será feito no teorema a seguir. Para isso, será conveniente representar uma configura¸cão instantânea [e, xay] pela palavraxeayi. Ob-serve que yé seguido por ipor motivos que ficarão claros mais à frente. Essa nota¸cão não traz problema desde que E∩Γ =∅, o que será assumido no teorema, sem perda de generalidade.

Teorema 32 Uma LRE pode ser gerada por uma gram´atica irrestrita.

Prova

Seja L uma LRE e seja M = (E,Σ,Γ, δ, i, F) uma MT que aceita L. Ser´a mostrado como construir, a partir de M, uma gram´atica irrestrita G= (V,Σ, R, P) que gera L.

Existirão regras em Gpara três propósitos:

1. gerar todas as formas sentenciais do tipowhiwi, em quew∈Σ^∗ (os s´ımbolosi,h e i s˜ao vari´aveis emG);

2. simularMsobre a configura¸c˜ao instantˆaneahiwi, deixando o prefixowinalterado;

3. apagar a configura¸cão instantânea quando ela for do tipo hxeayi, em quee∈F e δ(e, a) é indefinido.

Para efeitos de gerar as formas sentenciais do tipowhiwi(parte 1), suponha que Σ = {a1, a2, . . . , a_n}. Coloque como novas variáveis emG uma variável para cadaa_i; sejam A1,A2, . . . , An tais variáveis. Coloque também um nova variávelB. As regras são:

P → Bi

B → a_kBA_k para 1≤k≤n (portanto,nregras) B → hi

Aki → aki para 1≤k≤n(portanto,n regras) A_ja_k → a_kA_j para 1≤k, j ≤n(portanto, n² regras).

A segunda parte, simula¸cão deM sobre a configura¸cão instantâneahiwi, será cum-prida pelas regras especificadas a seguir. Note que todos os s´ımbos de Γ, com exce¸cão dos de Σ, são variáveis em G, assim como os estados deM. As regras são:

h a1 a2 · · · a_i · · · a_n i fita de leitura e escrita

controle +

δ

e registrador com estado atual

Figura 4.15Arquitetura de um autˆomato linearmente limitado.

• para cada transi¸c˜ao emM da formaδ(e, a) = [e^′, b,D]:

ea → be^′

ei → be^′i sea=⊔

• para cada transi¸c˜ao emM da formaδ(e, a) = [e^′, b,E]:

cea → e^′cb para cada c∈Γ

cei → e^′cbi para cada c∈Γ, sea=⊔.

Para terminar, resta providenciar o apagamento da configura¸cão instantânea quan-do ela for quan-do tipo hxeayi, em que e ∈ F e δ(e, a) é indefinido (parte 3). Para isso, é utilizada uma nova variável #:

• para cada par (e, a) tal quee∈F eδ(e, a) ´e indefinido:

ea → a#

#c → # para cada c∈Γ− {h}

c# → # para cada c∈Γ− {h}

h#i → λ

No restante desta se¸cão, serão definidas as máquinas reconhecedoras e as gramáticas geradoras das denominadaslinguagens sens´ıveis ao contexto.

Na Figura 4.15 est´a ilustrada a arquitetuta de um autˆomato linearmente limitado.

A única diferen¸ca com rela¸cão a uma MT-padrão (além do não determinismo, como será visto), é que a fita é limitada à direita: após a entradaa1a2. . . an, é colocado um s´ımbolo especial,i, o qual marca o “final” da fita.⁵ Segue uma defini¸cão mais precisa.

Defini¸cão 55 Um autômato linearmente limitado (ALL) é uma máquina de Turing não determin´ıstica, M = (E,Σ,Γ, δ, i, F), em que:

5 Note que a fita comporta palavra de qualquer tamanho. Mas, ap´os a palavra, ´e colocado o s´ımbolo

“i”, o que co´ıbe o uso de c´elulas adicionais.

• inicialmente, i vem ap´os a palavra de entrada; e

• se δ(e,i) ´e definida, ent˜ao δ(e,i) = [e^′,i,E] para algum e^′ ∈E.

Segue um exemplo.

Exemplo 112 Est´a mostrado na Figura 4.16 o diagrama de estados de um ALL que reconhece a linguagem {aⁿbⁿcⁿ|n >0}.

Como já foi dito, os ALLs reconhecem as linguagens geradas pelas gramáticas sens´ıveis ao contexto (GSCs). Segue a defini¸cão de GSC.

Defini¸cão 56 Uma gramática sens´ıvel ao contexto é uma gramática (V,Σ, R, P), em que cada regra tem a forma x→y, x, y∈(V ∪Σ)⁺ e |x| ≤ |y|.⁶

Assim, pela Defini¸cão 56, as formas sentenciais em uma deriva¸cão são não decres-centes, ou seja, nunca encolhem. Segue um exemplo.

Exemplo 113 Um exemplo de GSC ´e aquela apresentada no Exemplo 13, p´agina 15, para a linguagem {aⁿbⁿcⁿ|n >0}, aqui reproduzida:

P → aP Bc|abc cB → Bc bB → bb

Segue a defini¸c˜ao de linguagem sens´ıvel ao contexto (LSC).

6O termo “sens´ıvel ao contexto” vem do formato das regras em certa forma normal das GSCs, a qual

é abordada no Exerc´ıcio 25 da Se¸cão 4.5, página 239.

Defini¸cão 57 Uma linguagem é dita ser uma linguagem sens´ıvel ao contexto se existe uma gramática sens´ıvel ao contexto que a gere.

Observe que, pela defini¸cão anterior, uma linguagem que contém λnão é uma LSC, já que uma GSC não pode gerar λ. Para isso, ela teria de permitir, pelo menos, uma regra da formaP →λ.

Pode-se mostrar que:

a) Toda LSC ´e reconhecida por algum ALL.

b) Se M é um ALL, então L(M)− {λ} é LSC.

Para se mostrar a parte (a), basta explicitar como, dada uma GSC G qualquer, construir um ALL que reconhe¸ca L(G). Isso pode ser feito, por exemplo, construindo um ALL com duas trilhas⁷ que segue um algoritmo não determin´ıstico similar ao do Teorema 31, página 226. A segunda trilha é usada para armazenar uma forma senten-cial, como a segunda fita da MT do Teorema 31. Isso é poss´ıvel porque uma forma sentencial, cujo tamanho ultrapasse o da palavra de entrada, nunca poderá ser usada para gerá-la. A demonstra¸cão é proposta como o Exerc´ıcio 16 da Se¸cão 4.5, página 239.

Para se mostrar a parte (b), basta explicitar como construir uma GSC a partir de um ALL, de forma similar ao que foi feito no Teorema 32, mas garantindo que as regras não tenham lado direito menor que o lado esquerdo. A demonstra¸cão é proposta como o Exerc´ıcio 17 da Se¸cão 4.5, página 239.

Desprezando o caso em que a linguagem contém λ, a classe das LLCs está propria-mente contida na classe das LSCs, ou seja, toda LLC é LSC e existe LSC que não é LLC. Para isso, basta notar que:

a) Toda LLC que não contenha λ pode ser definida por meio de uma GLC sem regrasλ. E toda GLC sem regras λé uma GSC. Assim, toda LLC sem a palavra λé uma LSC.

b) Existe LSC que não é LLC. Por exemplo, existe uma GSC para a linguagem {aⁿbⁿcⁿ|n >0}, como mostrado no Exemplo 113, mas não existe GLC para essa mesma linguagem, conforme pode ser mostrado usando o lema do bombeamento.

Pode-se tamb´em mostrar que:

• toda LSC ´e recursiva;

• existe linguagem recursiva que n˜ao ´e LSC.

Diretamente da defini¸c˜ao, pode-se concluir que toda linguagem recursiva ´e LRE.

Mais à frente será visto que existem linguagens que são recursivamente enumeráveis,

7 Na verdade, assim como para MTs em geral, um ALL de várias trilhas é um ALL “normal” que em cada célula comporta uman-upla.

regulares livres do contexto sens´ıveis ao contexto

recursivas

recursivamente enumer´aveis P(Σ^∗)

Figura 4.17Espa¸co das linguagens em P(Σ^∗).

mas não recursivas. Será visto também que existem linguagens que não são LREs.

Assim, o espa¸co de todas as linguagens sob um alfabeto Σ tem a estrutura

LRegs⊂LLCs⊂LSCs⊂LRecs⊂LREs⊂ P(Σ^∗),

onde LRegs são as linguagens regulares, LRecs são as recursivas etc. A Figura 4.17 ilustra a hierarquia em questão.

A classifica¸cão das gramáticas nos quatro tipos mostrados, regulares, livres do con-texto, sens´ıveis do contexto e irrestritas⁸ é a denominada hierarquia de Chomsky.

8 Originalmente, Chomsky classificou-as como gramáticas dostipos 0, 1, 2 e 3, e as do tipo 0 são as irrestritas, as do tipo 1 são as GSCs etc.

Exerc´ıcios

1. Construa gram´aticas irrestritas que gerem as linguagens:

a) {0ⁿ1^k0ⁿ1^k|n, k≥0};

b) {a^mbⁿc^k|m < n < k};

c) {www|w∈ {0,1}^∗}.

2. Mostre que para toda gram´atica irrestrita existe uma equivalente na qual cada regra tem pelo menos uma vari´avel do lado esquerdo.

3. Mostre que para toda gram´atica irrestrita existe uma equivalente na qual cada regra tem o lado direito maior ou igual ao lado esquerdo ou ´e regra λ.

4. Seja a MT cujo diagrama de estados est´a mostrado na Figura 4.4b, p´agina 208.

Utilizando o m´etodo desenvolvido na prova do Teorema 32, obtenha uma gram´atica irrestrita para a linguagem reconhecida por tal MT.

5. Construa GSCs para:

a) {aⁿbⁿ⁺¹cⁿ⁺²|n≥0};

b) {a^mbⁿc^k|m < n < k};

c) {wxw|w∈ {a,b}^∗ e x∈ {c}⁺}.

Procure obter GSCs com um n´umero m´ınimo de regras.

6. Projete um ALL que aceite {a^mbⁿc^k|m < n < k}.

7. A linguagem {ww|w∈ {0,1}⁺} ´e uma LSC? Por quˆe?

8. Seja L uma LRE de alfabeto Σ, e # um s´ımbolo n˜ao pertencente a Σ. Mostre que existe uma LSC L^′ de alfabeto Σ∪ {#} tal que, para todow∈Σ^∗:

w∈L se, e somente se,w#^k∈L^′ para algum k≥0.

No documento Máquinas de Turing. 4.1 O que É Máquina de Turing (páginas 24-31)