No presente trabalho, estamos interessados em obter solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao do tipo
Lx = N x, (3.1)
num certo conjunto Ω aberto e limitado do espa¸co de Banach X, sendo L : dom L −→ Z um operador de Fredholm de ´ındice zero, isto ´e,
(v) dim Ker L = dim Coker L,
e N : Ω −→ Z uma aplica¸c˜ao L−compacta. Para isso, nesta se¸c˜ao introduziremos o conceito de grau de coincidˆencia de L e N em Ω para auxiliar nesse estudo. Vejamos que: Proposi¸c˜ao 3.7 Sob as condi¸c˜oes acima, x ´e soluc˜ao de (3.1) se, e somente se, (I − P )x = (Λπ + KP,Q)N x, onde Λ : Coker L −→ Ker L ´e um isomorfismo.
Demonstra¸c˜ao: Seja x ∈ dom L ∩ Ω tal que N x = Lx, ent˜ao πN x = 0 e QN x = 0, uma vez que Ker Q = Im L. Como Λ ´e um operador linear, ΛπN x = 0. Das Proposi¸c˜oes 3.2 e 3.3, obtemos que KP ´e isomorfismo e KPL = I − P . Ent˜ao o resultado segue da cadeia
de equivalˆencias
Lx = N x ⇐⇒ Lx = (I − Q)N x ⇐⇒ KPLx = KP(I − Q)N x
⇐⇒ (I − P )x = KP,QN x + ΛπN x
Defina a aplica¸c˜ao M : Ω −→ X dada por
M = P + (Λπ + KP,Q)N,
onde Λ : Coker L −→ Ker L ´e um isomorfismo, uma vez que (v) ´e satisfeita. Observe que Im M ⊂ dom L e com a Proposi¸c˜ao 3.7, segue que o conjunto de solu¸c˜oes de (3.1) ´e igual ao conjunto de pontos fixos da aplica¸c˜ao M.
Proposi¸c˜ao 3.8 Se as condi¸c˜oes (i) − (v) forem satisfeitas para a tripla (L, N, Ω), ent˜ao M ´e uma aplica¸c˜ao compacta em Ω.
Demonstra¸c˜ao: Se N ´e uma aplica¸c˜ao L−compacta em Ω, temos que πN (Ω) ´e limitado, donde segue que (P + ΛπN ) (Ω) ´e um conjunto limitado, uma vez que Ω tamb´em ´e limitado e P e Λ s˜ao operadores lineares cont´ınuos. Observe que Im(P + ΛπN ) ⊂ Ker L e lembrando que Ker L possui dimens˜ao finita, segue que (P + ΛπN ) (Ω) ´e um conjunto limitado em um espa¸co de dimens˜ao finita, logo (P + ΛπN ) (Ω) ´e relativamente compacto. Novamente, por N ser L−compacta, P + ΛπN ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua, logo compacta. Al´em disso, KP,QN tamb´em ´e uma aplica¸c˜ao compacta. Portanto, M = P +(Λπ +KP,Q)N
´e uma aplica¸c˜ao compacta em Ω. Sob as condi¸c˜oes acima, se (vi) 0 6∈ (L − N )(dom L ∩ ∂Ω)
ent˜ao o grau de Leray-Schauder deg(I −M, Ω, 0) est´a bem definido. A seguir mostraremos que o n´umero inteiro deg(I − M, Ω, 0) independe das proje¸c˜oes P e Q tomadas e que | deg(I − M, Ω, 0)| tamb´em independe do isomorfismo Λ : Coker L −→ Ker L em quest˜ao.
Defini¸c˜ao 3.3 Sejam Λ e Λ0 dois isomorfismos de IL. Dizemos que Λ e Λ0 s˜ao
homot´opicos em IL se existe uma aplica¸c˜ao cont´ınua Γ : Coker L × [0, 1] −→ Ker L
tal que Γ(·, 0) = Λ, Γ(·, 1) = Λ0 e Γ(·, t) ∈ IL para qualquer t ∈ [0, 1].
Proposi¸c˜ao 3.9 Os isomorfismos Λ e Λ0 s˜ao homot´opicos em IL se, e somente se,
det[Λ0Λ−1] > 0.
Demonstra¸c˜ao: Suponha que os isomorfismos Λ e Λ0 s˜ao homot´opicos, ent˜ao existe uma aplica¸c˜ao cont´ınua Γ : Coker L × [0, 1] −→ Ker L tal que Γ(·, 0) = Λ, Γ(·, 1) = Λ0 e Γ(·, t) ∈ IL para qualquer t ∈ [0, 1]. Sejam {v1, · · · , vn} e {w1, · · · , wn} bases dos
subespa¸cos Coker L e Ker L, respectivamente. Representaremos as formas matriciais dos isomorfismos Λ e Λ0 nas bases {v1, · · · , vn} e {w1, · · · , wn} pelos mesmos s´ımbolos.
Considere a aplica¸c˜ao cont´ınua ∆ : [0, 1] −→ R definida por ∆(t) = det(Γ(·, t)). Como Γ(·, t) ´e um isomorfismo, segue que ∆(t) 6= 0, para todo t ∈ [0, 1]. Logo, pela continuidade de ∆, temos ∆ possui o mesmo sinal em [0, 1]. Assim,
det[Λ0Λ−1] = det Λ det Λ−1 = det Λ
0
det Λ = ∆(1) ∆(0) > 0.
Reciprocamente, se det Λ e det Λ0 possui o mesmo sinal, ent˜ao Λ e Λ0 est˜ao na mesma componente conexa em GL(n, R). Como cada componente conexa ´e conexa por caminho, existe uma aplica¸c˜ao cont´ınua A : [0, 1] −→ GL(n, R) tal que A(0) = Λ e A(1) = Λ0. Logo, defina Γ : Coker L × [0, 1] −→ Ker L por Γ(x, t) = A(t)x, segue que Λ e Λ0 s˜ao homot´opicos em IL.
Segue da proposi¸c˜ao acima,
Corol´ario 3.1 O conjunto IL ´e particionado em duas classes de homotopia, a saber, as
que possui determinante positivo e negativo.
Antes de prosseguimos, vejamos os seguintes resultados auxiliares
Proposi¸c˜ao 3.10 Se Y ´e um espa¸co vetorial e S, S0 : Y −→ Y s˜ao duas projec˜oes tais que Im S = Im S0 6= {0}, ent˜ao S00 := aS + bS0, com a, b ∈ R, ´e uma proje¸c˜ao tal que Im S00= Im S se, e somente se, a + b = 1.
Demonstra¸c˜ao: Se S00 = aS + bS0 e Im S = Im S0, temos (S00)2 = (aS + bS0)(aS + bS0)
= a2S2+ abSS0+ baS0S + b2(S0)2 = a2S + abS0+ abS + b2S0
= (a + b)S00.
Suponha que S00 ´e uma proje¸c˜ao tal que Im S00 = Im S, para z ∈ Im S00 e z 6= 0, temos z = S00z = (S00)2z = (a + b)S00z = (a + b)z,
ent˜ao a + b = 1. Reciprocamente, se a + b = 1, temos (S00)2 = (a + b)S00= S00. Al´em disso,
para z ∈ Im S = Im S0, temos
logo Im S ⊂ Im S00. Para z ∈ Y, temos
SS00z = S(aSz + bS0z) = aS2z + bSS0z = aSz + bS0z = S00z, assim, Im S00 ⊂ Im S. Portanto, Im S00 = Im S.
Para o pr´oximo resultado, admitiremos L um operador de Fredholm.
Lema 3.1 Sejam P, P0 : X −→ X proje¸c˜oes cont´ınuas tais que Im P = Im P0 6= {0} e P00 = aP + bP0, com a + b = 1, ent˜ao
KP00 = aKP + bKP0.
Demonstra¸c˜ao: Pela Proposi¸c˜ao 3.3 e Proposi¸c˜ao 3.4, segue que
KP00 = (I − P00)KP = (I − aP − bP0)KP = KP − aP KP − bP0KP
= KP − bP0KP = (a + b)KP − bP0KP = aKP + b(I − P0)KP
= aKP + bKP0.
Proposi¸c˜ao 3.11 Sejam Y ´e um espa¸co vetorial e Q, Q0 : Y −→ Y duas proje¸c˜oes cont´ınuas tais que Ker Q = Ker Q0 6= {0}, ent˜ao Q00 := aQ + bQ0, com a, b ∈ R, ´e uma proje¸c˜ao tal que Ker Q00 = Ker Q se, e somente se, a + b = 1.
Demonstra¸c˜ao: Da continuidade das proje¸c˜oes Q e Q0 segue que Q00tamb´em ´e cont´ınua. Como Ker Q = Ker Q0, temos Q0(z) − z ∈ Ker Q e Qz − z ∈ Ker Q0, para todo z ∈ Y. Consequentemente, QQ0 = Q e Q0Q = Q0. Da´ı,
(Q00)2 = (aQ + bQ0)(aQ + bQ0)
= a2Q2+ abQQ0+ baQ0Q + b2(Q0)2 = a2Q + abQ0+ abQ + b2Q0
= (a + b)Q00 = Q00.
Analogamente a prova da proposi¸c˜ao anterior, se Q00 ´e uma proje¸c˜ao tal que Ker Q00 = Ker Q, segue que a + b = 1. Reciprocamente, se a + b = 1 ent˜ao Q00 ´e uma proje¸c˜ao cont´ınua. Resta verificar que Ker Q00 = Ker Q. Note que Ker Q ⊂ Ker Q00, uma vez que Ker Q0 = Ker Q. Por outro lado, se z ∈ Ker Q00, temos z ∈ Y = Ker Q ⊕ Im Q, assim, existem x ∈ Ker Q e y ∈ Im Q tais que z = x + y. Ent˜ao
0 = Q00z = Q00x + Q00y = 0 + (aQ + bQ0)y = aQy + bQ0y = ay + bQ0y. Aplicando Q0 na express˜ao acima,
0 = aQ0y + bQ0y = (a + b)Q0y = Q0y,
donde segue que y ∈ Ker Q0. Como Ker Q = Ker Q0, segue que y ∈ Ker Q ∩ Im Q = {0}, ent˜ao z = x ∈ Ker Q. Portanto, Ker Q = Ker Q00.
Proposi¸c˜ao 3.12 Se as condi¸c˜oes (i)−(vi) forem satisfeitas para a tripla (L, N, Ω) ent˜ao deg(I − M, Ω, 0) depende apenas de L, N, Ω e da classe de homotopia Λ em IL.
Demonstra¸c˜ao: Sejam P, P0 : X −→ X e Q, Q0 : Z −→ Z proje¸c˜oes cont´ınuas tais que Im P = Ker L = Im P0 e Ker Q = Im L = Ker Q0.
Sabemos que
dim Im P = dim Ker L = dim Coker L = dim Im Q.
Se Im P = {0} ent˜ao Im P0 = Im Q = Im Q0 = {0} e Ker P = X = Ker P0. Desta forma, M = P + (Λπ + KP,Q)N = KPN e LP = L, ent˜ao M = KPN = L−1N.
Assim, deg(I − M, Ω, 0) n˜ao depende de P e Q. Quando Im P 6= {0}, temos Im Q 6= {0}. Sejam Λ, Λ0 ∈ IL na mesma classe de homotopia, ent˜ao existe uma aplica¸c˜ao cont´ınua
Γ : Coker L × [0, 1] −→ Ker L tal que Γ(·, 0) = Λ, Γ(·, 1) = Λ0 e Γ(·, t) ∈ ILpara qualquer
t ∈ [0, 1]. Para cada t ∈ [0, 1], defina • Pt= (1 − t)P + tP0,
• Qt= (1 − t)Q + tQ0,
• Mt= Pt+ Γ(πN (·), t) + KPt,QtN.
Pela Proposi¸c˜ao 3.10 e Proposi¸c˜ao 3.11, segue que Pt e Qt s˜ao poje¸c˜oes cont´ınas tais que
Im Pt= Ker L e Ker Qt = Im L.
Pelo Lema 3.1,
KPt = (1 − t)KP + tKP0,
para t ∈ [0, 1]. Se 0 6∈ (N − L)(dom L ∩ ∂Ω), pela Proposi¸c˜ao 3.7, Mt(z) 6= z,
para todo z ∈ dom L ∩ ∂Ω e para qualquer t ∈ [0, 1]. Al´em disso, temos M = M0 e
M0 := M1 = P0+ (Λ0π + KP0,Q0)N. Mostremos que a aplica¸c˜ao H : Ω × [0, 1] −→ X, dada
por H(x, t) = Mt(x), ´e compacta. Observe que a aplica¸c˜ao H ´e cont´ınua, resta verificar
que H(Ω, t) ´e relativamente compacto em X para cada t ∈ [0, 1]. Do Lema 3.1 e pela Proposi¸c˜ao 3.3 e Proposi¸c˜ao 3.4, segue que
KPt,QtN = KPt(I − Qt)N = [(1 − t)KP + tKP0] [I − (1 − t)Q − tQ 0 ] N = (1 − t)KP − (1 − t)2KPQ − t(1 − t)(I − P )KP0Q0+ +tKP0 − t(1 − t)(I − P0)KPQ − t2KP0Q0 N = [(1 − t)KP(I − Q) + tKP0(I − Q0)] N = (1 − t)KP,QN + tKP0,Q0N,
onde segue que KPt,QtN ´e compacta. Como os conjuntos Pt(Ω) e Γ(πN (Ω), t) s˜ao limitados
contidos no espa¸co de dimens˜ao finita Ker L, conclu´ımos que H(Ω, t) ´e relativamente compacto para cada t ∈ [0, 1]. Da invariˆancia do grau de Leray-Schauder por homotopia compacta, temos
Deste resultado conclu´ımos que o n´umero deg(I − M, Ω, 0) n˜ao depende das proje¸c˜oes P e Q escolhidas. Veremos adiante que o m´odulo desse independer´a tamb´em da classe de homotopia do isomorfismo Λ adotada em IL. Para os pr´oximos resultados, admitiremos
que as condi¸c˜oes (i) − (vi) acima s˜ao satisfeitas para a tripla (L, N, Ω).
Lema 3.2 Seja G : Ker L −→ Ker L um isomorfismo e seja M0 = P + (GΛπ + KP,Q)N
ent˜ao
I − M0 = (I − P + GP )(I − M ). Demonstra¸c˜ao: Lembrando que M = P + (Λπ + KP.Q)N, temos
(I − P + GP )(I − M ) = I − P − ΛπN − KP,QN + P ΛπN +
+P KP,QN − GP ΛπN − GP KP,QN.
Sendo Λ um isomorfismo de Coker L sobre Ker L e Ker L = Im P, donde segue que P ΛπN = ΛπN. Do item (a) da Proposi¸c˜ao 3.3, segue que P KP,QN = 0 e GP KP,QN = 0.
Ent˜ao obtemos o resultado
(I − P + GP )(I − M ) = I − M0.
Proposi¸c˜ao 3.13 Sejam Λ, Λ0 ∈ IL e seja M0 = P + (Λ0π + KP,Q)N ent˜ao
deg(I − M0, Ω, 0) = sgn(det Λ0Λ−1) deg(I − M, Ω, 0). Demonstra¸c˜ao: Considerando G = Λ0Λ−1 no Lema 3.2, temos
I − M0 = (I − P + Λ0Λ−1P )(I − M ). Da Proposi¸c˜ao 2.1,
deg(I − M0, Ω, 0) = deg(I − P + Λ0Λ−1P, B1(0), 0) deg(I − M, Ω, 0).
Como P − Λ0Λ−1P : X −→ Ker L ´e cont´ınua e Ker L tem dimens˜ao finita, ent˜ao I − (P − Λ0Λ−1P ) ´e uma pertuba¸c˜ao compacta da identidade com a imagem contida em um subespa¸co de dimens˜ao finita. Pela defini¸c˜ao do grau de Leray-Schauder, segue
deg(I − P + Λ0Λ−1P, B1(0), 0) = deg((I − P + Λ0Λ−1)|B1(0)∩Ker L, B1(0) ∩ Ker L, 0)
= deg(Λ0Λ−1, B1(0) ∩ Ker L, 0)
= sgn(det Λ0Λ−1). Portanto, conclu´ımos o desejado.
O pr´oximo resulta segue imediatamente da Proposi¸c˜ao 3.13.
Corol´ario 3.2 Se as condi¸c˜oes (i) − (vi) forem satisfeitas para a tripla (L, N, Ω) ent˜ao | deg(I − M, Ω, 0)| depender´a apenas de L, N e Ω.
Podemos agora introduzir o conceito de grau coincidente de L e N em Ω.
Defini¸c˜ao 3.4 Sejam Ω um subconjunto aberto e limitado em X, L um operador de Fredholm de ´ındice zero e N ´e uma aplica¸c˜ao L−compacta em Ω. Se 0 6∈ (L − N ) (dom L ∩ ∂Ω) , o grau de coincidˆencia de L e N em Ω ´e o n´umero inteiro deg((L, N ), Ω) dado por
deg((L, N ), Ω) := deg(I − M, Ω, 0),
onde M : Ω −→ X ´e a aplica¸c˜ao definida por M = P + (Λπ + KP,Q)N, com