Gravita¸c˜ ao Universal: da Queda da Ma¸c˜ a ` a Queda

No in´ıcio de 1665 eu encontrei o m´etodo de aproxima¸c˜ao

de s´eries. Em maio do mesmo ano eu encontrei o m´etodo

das tangentes, e em novembro eu tinha o m´etodo de flux˜oes,

e em janeiro do ano seguinte a teoria das cores, e em maio

iniciei o m´etodo inverso das flux˜oes. No mesmo ano come-

cei a estender a gravita¸c˜ao `a ´orbita da Lua, e da regra de

Kepler para o per´ıodo dos planetas, deduzi que a for¸ca que

mant´em os planetas em suas ´orbitas deve ser proporcional

ao inverso do quadrado da distˆancia. Tudo isso aconte-

ceu durante 1665-1666, os anos da Peste. Eu estava no

primor da minha inventividade para matem´atica e filosofia,

mais do que estaria em qualquer outra ´epoca da minha vida.

(The Life of Isaac Newton, Richard Westafall, Cam- bridge 1993)

O maior feito de Isaac Newton, e talvez a maior conquista intelectual j´a alcan¸cada por um s´o homem, foi o de ter sido capaz de explicar o

movimento de corpos celestes (sat´elites, planetas, cometas, etc.) com base na equa¸c˜ao 1.1, e portanto coloc´a-los na mesma “categoria” dos fenˆomenos que ocorrem na superf´ıcie da Terra, como a simples queda de uma ma¸c˜a.

Newton postulou que objetos massivos se atraem, sendo a for¸ca de atra¸c˜ao proporcional ao produto das massas dos objetos envolvidos e inversamente proporcional ao quadrado da distˆancia entre eles. Ou seja, se m₁ e m₂ forem as massas de dois objetos separados por uma distˆancia r, a for¸ca de atra¸c˜ao de m₁ sobre m₂ ser´a:

F =−Gm1m2

r2 er (1.6)

onde er ´e o vetor unit´ario da dire¸c˜ao que liga os dois objetos, com

sentido5 de m₁ para m₂. G ´e a chamada Constante de Gravita¸c˜ao

Universal, e vale G = 6, 67× 10−11 m3/s2kg.

Nos deparamos aqui novamente com um grau de generaliza¸c˜ao fan- t´astico, t´ıpico das grandes teorias f´ısicas: a express˜ao da for¸ca em 1.6 vale para quaisquer pares de objetos no Universo6! Reflita um pouco sobre isso: podemos tanto descrever uma pedra que cai na superf´ıcie da Terra, quanto o movimento de um planeta desconhecido em torno de um sol em uma gal´axia jamais vista, usando a mesma equa¸c˜ao 1.6! Que outra Ciˆencia possui esse poder de s´ıntese?! O leitor eventualmente estar´a interessado em uma aplica¸c˜ao curiosa da equa¸c˜ao 1.6, qual seja,

5_{E ´}´ _{obvio que m}

2 atrair´a m1 com uma for¸ca de igual m´odulo. Contudo o seu

sentido ser´a dado por um unit´ario oposto a e_r.

6_{De fato, a Gravita¸c˜ao Universal de Newton foi generalizada na Relatividade}

Geral de Einstein, a ser vista no cap´ıtulo oito. No entanto, dentro do mundo cl´assico, a express˜ao 1.6 descreve perfeitamente o movimento de objetos celestes.

avaliar a for¸ca de atra¸c˜ao gravitacional entre duas pessoas separadas por uma distˆancia de, digamos, 0,5 mm. ´E frustantemente pequena! Certamente a gravita¸c˜ao n˜ao ´e a for¸ca respons´avel pela “atra¸c˜ao” entre pessoas!

Newton postulou que massas se atraem com for¸cas radiais, que diminuem com o quadrado da distˆancia entre os objetos.

A for¸ca dada em 1.6 somente ser´a apreci´avel se pelo menos um dos objetos tiver dimens˜oes astronˆomicas. Por exemplo, seja m₁ = 80 kg, a massa de uma pessoa e m₂ a massa da Terra: m₂ = M = 5, 98× 1024 kg. Tomemos por r o raio m´edio da Terra: r = R = 6, 37× 106 m. Sustituindo esses valores em 1.6 obtemos para o m´odulo da for¸ca:

F ≈ 6, 67 × 10−11×80× 5, 98 × 10

24

(6, 37× 106)2 ≈ 786 N

Como a Terra n˜ao ´e uma esfera perfeita (certa vez uma das “cobras” de Luiz Fernando Ver´ıssimo definiu brilhantemente a Terra como um planeta chato nos p´olos e nos domingos sem futebol!), esse valor varia ligeiramente com a posi¸c˜ao da pessoa no planeta. Somente para efeitos de compara¸c˜ao, vamos calcular a for¸ca com que o Sol atrai a Terra. A massa do Sol ´e igual a 1, 99× 1030 kg, e a distˆancia m´edia entre o Sol e a Terra ´e de 1, 50× 1011 m. Substituindo em 1.6 obtemos:

F ≈ 6, 67 × 10−11× 1, 99× 10

30_{× 5, 98 × 10}24

(1, 50× 1011)2 ≈ 35, 3 × 10

21 _N

ou seja, a for¸ca do Sol sobre a Terra ´e cerca de 40 mil quatrilh˜oes (= 40 quintilh˜oes) de vezes maior do que aquela da Terra sobre uma pessoa.

Consideremos com mais detalhes o que acontece na superf´ıcie da Terra. Tomando R como seu raio m´edio, podemos escrever 1.6 na forma: F =  GM R2  m

onde M ´e a massa da Terra, e m a de qualquer objeto em sua su- perf´ıcie. Como for¸ca ´e igual a massa vezes acelera¸c˜ao, a quantidade entre parˆenteses na express˜ao acima possui dimens˜ao de acelera¸c˜ao, e

´e constante, j´a que G, M e R s˜ao constantes. Essa quantidade nada mais ´e do que a acelera¸c˜ao da gravidade na superf´ıcie terrestre, que

denotamos por g. Nesse caso a for¸ca gravitacional ´e o que chamamos de peso, P :

P = mg

onde

g = GM

R2

Substituindo valores num´ericos para G, M e R encontra-se g = 9, 8m/s2. Note que no nosso dia-a-dia misturamos os conceitos de massa e

peso como se fossem sinˆonimos. Massa est´a relacionada `a quantidade

de mat´eria, e portanto ´e uma propriedade intr´ınseca do objeto. O peso, por outro lado, ´e uma propriedade extr´ınseca, pois depende do campo gravitacional que atua sobre o objeto. Uma pessoa com uma massa de 80 kg pesa na Terra 786 N, mas na Lua, onde a acelera¸c˜ao da gravidade ´e de apenas 1,6 m/s2, seu peso seria igual a 128 N. Em Netuno, onde

g = 11 m/s2 a mesma pessoa pesaria 882 N. Contudo, isto n˜ao significa

que uma pessoa ficar´a mais magra ao viajar de Netuno para a Lua!