Grelhas polares modificadas

Uma vez que a grelha polar convencional demonstra-se particularmente ineficiente na amos- tragem do espaço de Fourier, afectando a qualidade da interpolação para a grelha Cartesiana, vários autores propuseram a utilização de grelhas polares modificadas no sentido de melhorar a distribuição das amostras e tornar a interpolação mais rápida e precisa. Em todos os casos, o erro de interpolação pode ser ulteriormente reduzido recorrendo ao refinamento da grelha na direcção radial, obtido através de zero padding das projecções.

u v u v a) b) c) u v d) u v

Figura 6.3: Exemplos de grelhas polares sobrepostas à grelha Cartesiana. a) Grelha polar convencional. b) Grelhas polares intercaladas com um offset radial entre amostras em ângulos alternados. c) Grelha ”polar quadrada” com amostras calculadas às intersecções com quadrados concentricos. d) Grelha polar modificada para projecções de linograma.

Grelhas polares intercaladas

Lewitt, em [81], demonstra que o desempenho do método de Fourier pode ser melhorado intercalando duas grelhas polares no espaço de Fourier segundo o esquema ilustrado na figura 6.3-b. Este padrão pode ser obtido por translação das amostras no espaço de Fourier em projecções alternadas, isto é, a transformada de Fourier unidimensional das projecções pares (por exemplo) deverá ser calculada com um offset de metade da distância radial entre amostras

(∆σ = b

q) relativamente às projecções ímpares, calculando Rθif((j+

1

2)∆σ), j = −q, ..., q, para

i par e Rθif(j∆σ), j = −q, ..., q, para i ímpar.

Sendo que: Rθf((j + 1 2)∆σ) = 1 √ 2π∆s q  l=−q

Rθ(l∆s)e−iπ∆σl∆se−i2πj∆σl∆s, (6.1)

o cálculo das amostras translacionadas não implica elevados custos computacionais já que

pode ser efectuado por FFT da função Rθ(l∆s)e−iπ∆σl∆s.

A grelha polar, assim modificada, permite uma considerável diminuição da distância mé- dia entre amostras, que pode ser ulteriormente reduzida utilizando, em combinação, a técnica de zero padding das projecções. Entre as possíveis funções de interpolação, Lewitt experi- mentou a interpolação por nearest neighbour, aplicada aos quatro pontos mais próximos, e a

interpolação bilinear aplicada (sempre aos quatro pontos mais próximos) nas direcções radial e angular em sequência.

Grelha polar quadrada

Considere-se um padrão de amostragem do domínio de Radon baseado na geometria paralela e no qual a distância entre raios projecção consecutivos varia de um factor cos α para projecções

com orientação α ∈ [−π

4,π4) e sin α para projecções com orientação α ∈ [π4,34π). O efeito no

domínio de Fourier pode ser observado na figura 6.3-c, onde as amostras são distribuídas sobre uma grelha polar quadrada (grelha de quadrados concêntricos). A vantagem da grelha polar quadrada, que se deve a Pasciak [90], reside na possibilidade de se realizar a interpolação para

a grelha Cartesiana numa só dimensão (na vertical para ângulos entre −π

4 e π4 e na horizontal

para ângulos entre π

4 e 34π) sendo suficiente a utilização de uma função de interpolação de

ordem mais baixa (por exemplo, linear).

É interessante reparar em como a mesma distribuição de amostras no domínio de Fourier pode ser obtida a partir de um conjunto de dados projecção convencional paralelo (sinograma) através da aplicação da transformada chirp-z, com a desejada distância radial entre amostras no espaço de Fourier, em lugar da transformada de Fourier uni-dimensional.

Grelha de linograma

Neste caso, o padrão de amostragem do domínio de Radon baseia-se nas chamadas projecções de linograma que são adquiridas variando a distância entre raios projecção consecutivos de

um factor cos α para α ∈ [−π

4,π4) e sin α para α ∈ [π4,34π) e, ao mesmo tempo, considerando

ângulos de projecção não equidistantes, mas com incrementos variáveis de um factor tan α

para α ∈ [−π

4,π4) e de um factor cot α para α ∈ [π4,34π).

A transformada de Fourier uni-dimensional das projecções de linograma fornece, no domí-

nio de Fourier, o resultado esquematizado na figura 6.3-d, onde nos sectores entre −π4,π4



e 3

4π,54π 

as amostras são equidistribuídas ao longo de linhas radiais e verticais enquanto

nos sectores π 4,34π  e5 4π,74π 

as amostras são equidistribuídas ao longo de linhas radiais e horizontais. Este padrão é parecido com o de figura 6.3-c com a diferença que as amostras não são uniformemente distribuídas na direcção angular e, por isso, não podem ser obtidas simplesmente aplicando a transformada chirp-z ao conjunto de projecções convencionais pa- ralelas como naquele caso. Aqui, a única alternativa à aquisição de projecções de linograma, é a reamostragem prévia do espaço de Radon (rebinning) de sinograma para linograma.

Neste caso, como no caso da grelha polar quadrada, a interpolação para a grelha Cartesiana pode ser realizada numa só direcção (vertical ou horizontal).

Grelha para interpolação exclusivamente angular

Este tipo de grelha, que se deve a Fourmont [36], é concebida de maneira a poder-se realizar a interpolação exclusivamente na direcção angular, sendo o padrão de amostragem determinado numa fase de pre-processamento. Para cada ponto P da grelha Cartesiana que se pretende avaliar, determinam-se os dois segmentos radiais mais próximos no sistema de coordenadas polares angularmente discretizado e, ao longo destes segmentos, os pontos (representados por bolinhas pretas na figura 6.4) com a mesma coordenada radial de P . O resultado é uma grelha polar com amostras irregularmente distribuídas na direcção radial.

Figura 6.4: O padrão de amostragem proposto por Fourmont.

O método proposto aplica-se a conjuntos de dados convencionais paralelos e pode implementar- se segundo o seguinte algoritmo:

Algoritmo 6.1.2 (Fourmont)

1. Determinação do padrão de amostragem no espaço de Fourier e dos coeficientes de interpolação, associados a cada par de pontos para permitir o cálculo da correspondente amostra na grelha Cartesiana (em pre-processamento)

2. Cálculo, para cada projecção, da transformada de Fourier uni-dimensional só nos pontos determinados ao passo 1 (FFT NER 1D)

3. Determinação das amostras na grelha Cartesiana, através de interpolação linear dos pares de amostras associadas utilizando os coeficientes de interpolação pré-calculados ao passo 1

4. Transformada inversa de Fourier bidimensional (IFFT 2D).

Repare-se que o padrão de amostragem no espaço de Fourier e os coeficientes de in- terpolação linear, obtidos ao passo 1, são univocamente determinados pelas características geométricas do conjunto de projecções (nomeadamente, número de projecções e de amostras por projecção), de maneira que podem ser pré-calculados para ser utilizados sempre que a geometria se mantenha inalterada.