Faremos nesse cap´ıtulo a constru¸c˜ao de dois funtores, ambos da categoria dos corpos de caracter´ıstica diferente de dois na categoria dos grupos abelianos. Um resultado que ser´a central no estudo que segue ´e o Teorema de Wedderburn. Vejamos o que esse teorema nos diz.
Teorema 4.1. (Teorema de Wedderburn) Seja A ∈ ACS(F ). Ent˜ao existem um inteiro n ≥ 1 e uma ´algebra com divis˜ao D ∈ ACS(F ) tais que
A ' Mn(D).
Al´em disso, n ´e unicamente determinado e D ´e ´unico a menos de isomorfismo.
Uma demonstra¸c˜ao desse importante resultado encontra-se no Apˆendice A. Chamare- mos a ´algebra D, unicamente determinada pelo Teorema de Wedderburn, de ´algebra b´asica da ´algebra A.
1. ´Algebras Centrais Simples Proposic¸˜ao 4.2. A, B ∈ ACS(F ) ⇒ A ⊗ B ∈ ACS(F ).
Essa proposi¸c˜ao ´e um caso particular da Proposi¸c˜ao 4.37. Por esse motivo n˜ao incluiremos sua demonstra¸c˜ao aqui.
Proposic¸˜ao 4.3. Se D ∈ ACS(F ) ´e uma ´algebra com divis˜ao ent˜ao Mn(D) ∈
ACS(F ).
Demonstrac¸˜ao. Da Proposi¸c˜ao A.5 temos Mn(D) ' F ⊗ Mn(F ).
Desse modo, pela proposi¸c˜ao anterior, ´e suficiente provarmos que Mn(F ) ∈ ACS(F ).
Para isso, consideremos as matrizes eij que assumem valor um na entrada (i, j) e zero
nas demais. Como sabemos, o conjunto de todas essas matrizes formam uma base do F -espa¸co vetorial Mn(F ). Seja
P 1≤λ,µ≤nαλµeλµ um elemento t´ıpico de Z(Mn(F )). Ent˜ao, eij à X 1≤λ,µ≤n αλµeλµ ! = n X µ=1 αjµeiµ, 47
e à X 1≤λ,µ≤n αλµeλµ ! eij = n X λ=1 αλieλj, logo n X µ=1 αjµeiµ = n X λ=1 αλieλj.
comparando os coeficientes temos αjµ = 0 sempre que µ 6= j e αjj = αii. Assim, de
fato Z(Mn(F )) = F · In. Resta-nos demonstrar que Mn(F ) ´e simples. Suponhamos
ent˜ao a um ideal bilateral de Mn(F ) n˜ao nulo. Digamos que
P 1≤λ,µ≤nαλµeλµ ∈ a com αij 6= 0. Ent˜ao α−1ij epi( X λ,µ αλµeλµ)ejp = epp
est´a em a para 1 ≤ p ≤ n. Portanto, a identidade e11+ . . . + enn est´a em a. ¤
Proposic¸˜ao 4.4. Seja A ∈ ACS(F ). Ent˜ao Aop ∈ ACS(F ) e A⊗
FAop ' Mn(D),
onde n = dimF(A).
Uma consequˆencia do Teorema de Wedderburn ´e a seguinte
Proposic¸˜ao 4.5. Sejam A, B ∈ ACS(F ). As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equiva- lentes:
(1) As ´algebras b´asicas de A e B s˜ao isomorfas.
(2) Existe uma ´algebra com divis˜ao D ∈ ACS(F ) e inteiros positivos m e n tais que A ' Mm(D) e B ' Mn(D).
(3) Existem inteiros positivos r e s tais que A ⊗ Mr(F ) ' B ⊗ Ms(F ).
Esse resultado nos sugere a seguinte defini¸c˜ao
Definic¸˜ao 4.6. Dizemos que A, B ∈ ACS(F ) s˜ao semelhantes (e denotamos A ∼ B) se satisfazem as condi¸c˜oes equivalentes do Corol´ario 4.5.
Claramente, pela Proposi¸c˜ao 4.5(1), ∼ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia sobre ACS(F ). Denotaremos a classe de A ∈ G(F ) por [A] e ACS(F )/ ∼ por B(F ). Definamos
· : B(F ) × B(F ) → B(F ) por
[A] · [B] = [A ⊗ B].
Essa opera¸c˜ao est´a bem definida e vale o seguinte resultado.
Proposic¸˜ao 4.7. (B(F ), ·) ´e um grupo abeliano com identidade [F ] e opera¸c˜ao inversa [A]−1 = [Aop].
Demonstrac¸˜ao. Primeiro verificaremos que o produto est´a bem definido. Pela Proposi¸c˜ao 4.2, se A, B ∈ ACS(F ) ent˜ao A ⊗ B tamb´em pertence a ACS(F ). Al´em disso, A ∼ A0 e B ∼ B0 implicam as existˆencias de M
r(F ), Ms(F ), Mk(F ) e Ml(F )
tais que A ⊗ Mr(F ) ' A0⊗ Ms(F ), B ⊗ Mk(F ) ' B0⊗ Ml(F ) e dai
A ⊗ B ⊗ Mrk(F ) ' (A ⊗ Mr(F )) ⊗ (B ⊗ Mk(F ))
' (A0⊗ M
s(F )) ⊗ (B0⊗ Ml(F ))
' A0⊗ B0⊗ M sl(F ).
A associatividade e a comutatividade de ⊗ s˜ao transportadas para esse produto; A ⊗ F ' A implica que [F ] = 1. Finalmente, da Proposi¸c˜ao 4.4 temos A ⊗F Aop '
Mn(F ) ∼ F . ¤
Definic¸˜ao 4.8. B(F ) ´e chamado o grupo de Brauer do corpo F .
Proposic¸˜ao 4.9. Se A ∈ ACS(F ) e B ´e uma sub´algebra simples de A ent˜ao: (1) CA(B) ´e simples;
(2) B = CA(CA(B));
(3) dim A = dim B · dim CA(B).
Corol´ario 4.10. Se B ⊆ A e A, B ∈ ACS(F ) ent˜ao CA(B) ∈ ACS(F ) e
B ⊗ CA(B) ' A.
Proposic¸˜ao 4.11. Temos as seguintes propriedades:
(1) Se A, B ∈ ACS(F ), ent˜ao A ' B se, e somente se, [A] = [B] em B(F ) e dimA = dimB.
(2) Toda classe em B(F ) ´e representada por uma ´algebra com divis˜ao que ´e unica a menos de isomorfismos.
Demonstrac¸˜ao. (1) Se [A] = [B] ent˜ao A ' Mn(D) e B ' Mm(D); dimA =
dimB implica m = n e da´ı temos A ' B. Reciprocamente, A ' B implica A ' B ' Mn(D) e dai, [A] = [B] e dimA = dimB.
(2) Consequˆencia imediata do Teorema de Wedderburn. ¤ Corol´ario 4.12. Se F ´e um corpo algebricamente fechado ent˜ao B(F ) = {1} Demonstrac¸˜ao. ´E suficiente provarmos que F ´e a ´unica F -´algebra com divis˜ao. Consideremos ent˜ao D uma F -´algebra com divis˜ao de dimens˜ao n e x ∈ D um elemento n˜ao nulo. O conjunto {1, x, . . . , xn} ´e linearmente dependente. Logo, pode-
mos escolher ϕ(t) ∈ F [t] polinˆomio minimal que anula x. Como F ´e algebricamente fechado temos que ϕ(t) = t − a ∈ F [t]. Portanto, x ∈ F. ¤
Observac¸˜ao 4.13. Uma outra tradu¸c˜ao desse teorema ´e que F algebricamente fechado implica que toda ´algebra central simples sobre F ´e isomorfa a Mn(F ) para
algum n ≥ 1.
Vale apena mencionar aqui tamb´em o Teorema de Tsen, segundo o qual o grupo de Brauer do corpo de fun¸c˜oes racionais de uma curva alg´ebrica irredut´ıvel sobre um corpo algebricamente fechado ´e trivial. Para a demonstra¸c˜ao desse resultado consultar [10]. Outra classe de corpos que apresentam grupo de Brauer trivial ´e a dos corpos finitos. Vejamos essa afirma¸c˜ao atrav´es do seguinte
Teorema 4.14. (Pequeno Teorema de Wedderburn) Seja D uma ´algebra com divis˜ao sobre um corpo finito F . Ent˜ao D ´e um corpo.
Demonstrac¸˜ao. Uma observa¸c˜ao ´obvia ´e que o centro de uma ´algebra com divis˜ao ´e um corpo. Sendo assim, definamos n = dimZ(D)D. Digamos que |Z(D) = q|
(uma potˆencia de primo ≥ 2). Temos a seguinte equa¸c˜ao de classes para o grupo D∗
|D∗| = qn− 1 = q − 1 + X C(a)6=D∗
[D∗ : C(a)]
onde a varia sobre o conjunto (n˜ao vazio) dos representantes das classes de conjuga¸c˜ao de D∗. Escrevamos r = r(a) = dim
Z(D)C(a). Ent˜ao 1 ≤ r ≤ n e r|n. Reescrevendo
a equa¸c˜ao das classes temos
(24) qn− 1 = q − 1 +X qn− 1
qr− 1.
Como r|n, temos a seguinte fatora¸c˜ao em Z[x] xn− 1 = Φ
n(x)(xr− 1)h(x) (h(x) ∈ Z[x])
onde Φn(x) ´e o n-´esimo polinˆomio ciclotˆomico. Essa equa¸c˜ao implica que cada (qn−
1)/(qr − 1) ´e um inteiro divis´ıvel por Φ
n(q). De (24) segue que Φn(q)|(q − 1). Em
particular,
q − 1 ≥ |Φn(q)| =
Y
|q − ζ|,
onde ζ varia sobre todas as n-´esimas ra´ızes da unidade. Se n > 1 e q ≥ 2 temos um absurdo pois nesse caso |q − ζ| > q − 1 ≥ 1 para cada ζ. Portanto, D = Z(D). ¤ Finalizaremos essa se¸c˜ao com alguns resultados que indicam a possibilidade de atacar o problema da classifica¸c˜ao das ´algebras centrais simples por meio de m´etodos da teoria de Galois.
Teorema 4.15. Seja A uma F -´algebra de dimens˜ao finita. Ent˜ao A ´e uma ´algebra central simples se, e somente se, existe um extens˜ao de corpos K|F finita tal que A se decomp˜oe sobre K.
Antes de provar esse teorema discutiremos o seguinte lema:
Lema 4.16. Sejam A uma F -´algebra de dimens˜ao finita e K|F uma extens˜ao de corpo finita. Ent˜ao A ∈ ACS(F ) se, e somente se, A ⊗F K ∈ ACS(K)
Demonstrac¸˜ao. Se a ´e um ideal bilateral n˜ao trivial de A ent˜ao a⊗FK tamb´em
´e um ideal bilateral de A ⊗FK. Da mesma maneira, se A n˜ao ´e central ent˜ao A ⊗FK
tamb´em n˜ao ´e central. Portanto, A ⊗F K ∈ ACS(K) implica A ∈ ACS(F ).
Para provarmos a rec´ıproca ´e suficiente verificar o caso onde A = D ∈ ACS(F ) ´e uma ´algebra com divis˜ao. Sobre essa hip´otese, se w1, . . . , wn ´e uma F -base de K
ent˜ao 1 ⊗ w1, . . . , 1 ⊗ wn´e uma D-base de D ⊗FK como um espa¸co vetorial esquerdo.
Dado um elemento x =Pni=1αi(1 ⊗ wi) ∈ Z(D ⊗F K), para cada d ∈ D n˜ao nulo a
rela¸c˜ao x = (d−1⊗ 1)x(d ⊗ 1) = Pn
i=1(d−1αid)(1 ⊗ wi) implica d−1αid = αi. Como
D ´e central sobre F , os αi ∈ F, assim D ⊗F K ´e central sobre K. Agora, se b ´e
um ideal bilateral n˜ao nulo de D ⊗F K gerado por z1, . . . , zr, podemos assumir os zi
D-linearmente independentes e estende-los a uma D-base de D ⊗F K pela adjun¸c˜ao
de alguns dos elementos 1 ⊗ wi, digamos, 1 ⊗ wr+1, . . . , 1 ⊗ wn. Assim, para 1 ≤ i ≤ r
podemos escrever 1 ⊗ wi = n X j=r+1 αij(1 ⊗ wj) + yi
onde yi ´e uma combina¸c˜ao D-linear dos zi. Aqui y1, . . . , yr s˜ao linearmente indepen-
dentes (porque assim s˜ao 1 ⊗ w1, . . . , wr), e por isso formam uma D-base de b. Como
b ´e um ideal bilateral, para algum d ∈ D devemos ter d−1y
id ∈ b para 1 ≤ i ≤ r e
desse modo existem βil ∈ D com d−1yid =
P
βilyl. Podemos escrever essa rela¸c˜ao
como (1 ⊗ wi) − n X j=r+1 (d−1αijd)(1 ⊗ wj) = r X l=1 βil(1 ⊗ wl) − r X l=1 βil n X j=r+1 αlj(1 ⊗ wj),
pela qual, usando a independˆencia dos 1 ⊗ wj tem-se βii = 1, βil = 0 para l 6= i e
d−1α
ijd = αij, i.e, αij ∈ F. Isso significa que b pode ser gerada por elementos de K
(vista como uma F -sub´algebra de D ⊗F K via a imers˜ao w 7→ 1 ⊗ w). Como K ´e um
corpo, devemos ter a ∩ K = K, e da´ı b = D ⊗F K. ¤
Passemos agora a demonstra¸c˜ao de 4.15.
Demonstrac¸˜ao. A suficiˆencia segue do lema acima e da Proposi¸c˜ao 4.3. Para a necessidade, notemos primeiro que denotando por F o fecho alg´ebrico de F o lema acima com a Observa¸c˜ao 4.13 implica que A ⊗FF ' Mn(F ) para algum n ≥ 1. Agora
observemos que toda extens˜ao de corpo finita K de F est´a contida em F . A inclus˜ao induz uma fun¸c˜ao injetiva A⊗FK → A⊗FF e A⊗FF aparece como uni˜ao dos A⊗FK.
Desse modo, para uma extens˜ao finita K|F suficientemente grande contida em F a ´algebra A ⊗F K cont´em os elementos e1, . . . , en2 correspondente a base canˆonica de
Mn(F ), via o isomorfismo A ⊗F Mn(F ), e al´em disso os elementos aij que ocorrem
nas rela¸c˜oes eiej =
P
aije1 e definem a multiplica¸c˜ao tamb´em est˜ao contidos em K.
A aplica¸c˜ao que envia os ei nos elementos da base canˆonica de Mn(K) induz ent˜ao
um K-isomorfismo A ⊗F K ' Mn(K). ¤
Corol´ario 4.17. Se A ∈ ACS(F ) ent˜ao sua dimens˜ao sobre F ´e um quadrado. O inteiro √dimFA ´e chamado o grau de A.
A proposi¸c˜ao a seguir informa que a extens˜ao da Proposi¸c˜ao 4.15 pode ser suposta separ´avel.
Proposic¸˜ao 4.18. (Noether-K¨othe) Toda F -´algebra central simples se de- comp˜oe sobre alguma extens˜ao K|F separ´avel sobre F.
Demonstrac¸˜ao. Consultar [9].
¤ Corol´ario 4.19. Uma F -´algebra de dimens˜ao finita A ´e central simples se, e somente se, existe um inteiro n > 0 e uma extens˜ao galoisiana finita K|F tal que A ⊗F K ´e isomorfo ao anel de matrizes Mn(K).
Demonstrac¸˜ao. Consequˆencia do Teorema 4.15, Proposi¸c˜ao 4.18 e do fato da teoria de Galois segundo o qual toda extens˜ao de corpo finita e separ´avel ´e pode ser imersa em uma extens˜ao Galoisiana.
¤ Proposic¸˜ao 4.20. Seja A ∈ C(F ) contendo uma F -sub´algebra comutativa K a qual ´e uma extens˜ao galoisiana finita de F de grau n. Ent˜ao K ´e um corpo spliting de A.
Demonstrac¸˜ao. Vide [9]. ¤
2. O Grupo B(R)
Definic¸˜ao 4.21. (Tripla Hamiltoniana) Seja A uma R-´algebra com identidade e. Trˆes elementos u, v, w ∈ A formam um tripla Hamiltoniana se verificam as nove condi¸c˜oes de Hamilton
∗ u v w
u −e w −v
v −w −e u
Isso significa que idenficando e, u, v e w com os elementos e1, e2, e3 e e4 de
H, respectivamente, temos um isomorfismo entre a sub´algebra de A gerada por < e, u, v, w > e H, como vamos provar abaixo em 4.22.
Seja
(25) Im(A) = {v ∈ A : v2 ∈< e > e v /∈< e > \0}.
O conjunto Im(A) se diz parte imagin´aria de A. Claramente < e > ∩Im(A) = {0}
e se v ∈ Im(A), ent˜ao αv ∈ Im(A) para cada α ∈ R. A terminologia ´e baseada na observa¸c˜ao que no caso A = C ou H, existe um espa¸co de vetores imagin´arios, no sentido que se v 6∈< e >, ent˜ao v2 ∈< e >= R. Observamos os seguintes resultados;
Proposic¸˜ao 4.22. Seja A uma R-´algebra com identidade e.
(1) Se v, u ∈ Im(A) s˜ao linearmente independentes, ent˜ao e, v e u s˜ao linear- mente independentes.
(2) se v, u, v + u ∈ Im(A), ent˜ao
(26) u ∗ v + v ∗ u ∈< e >;
(3) Se A n˜ao tem divisores de zero, para cada elemento v ∈ Im(A) temos v2 =
−ωe com ω > 0. Em particular se Im(A) 6= ∅, existe u ∈ Im(A) tal que u2 = −e.
(4) se u, v, w ∈ A ´e uma tripla Hamiltoniana, ent˜ao o homomorfismo de R- ´algebras
ϕ : H → A
definido por ϕ(e1) = e, ϕ(e2) = u, ϕ(e3) = v, ϕ(e4) = w ´e injetor e o
subespa¸co < u, v, w > est´a contido em Im(A).
Demonstrac¸˜ao. Suponhamos que v = αe + βu. Teremos 2αβu = v2− α2e − β2u2 ∈< e >
e portanto αβ = 0, pela defini¸c˜ao de elementos puramente imagin´arios. Pela hip´otese, α 6= 0 porque v e u s˜ao linearmente independentes. A condi¸c˜ao β = 0 implicaria v 6∈ Im(A). Portanto (1) est´a provada. A segunda parte segue observando-se que
u ∗ v + v ∗ u = (u + v)2− u2− v2 ∈< e > .
Seja v ∈ Im(A). Por defini¸c˜ao v2 = αe com α ∈ R. Se α ≥ 0, α = β2, β ∈ R e
teremos
Disso segue v = βe ou v = −βe e v n˜ao pertenceria a Im(A). Seja α = −ω com ω > 0 e ω = γ2. O elemento u = γ−1v ´e tal que u2 = −e.
Pela defini¸c˜ao de tripla Hamiltoniana, ϕ ´e um homomorfismo de R-´algebras. A injetividade de ϕ ´e equivalente a mostrar que e, u, v e w s˜ao linearmente indepen- dentes em A. Os vetores u e v s˜ao linearmente independetes porque se v ∈< u >, teremos w = u ∗ v = v ∗ u = −w e portanto w = 0, contradizendo w2 = −e 6= 0. A
primeira parte mostra que e, u e v s˜ao linearmente independentes. Se w ∈< e, u, v >, existiriam ´unicos α, β, γ ∈ R tais que
w = αu + βv + γe. Multiplicando essa rela¸c˜ao por u, teremos
−v = −αe + βw + γu,
que implicaria, pela unicidade das constantes, β2 = −1. Essa contradi¸c˜ao prova a
asser¸c˜ao, enquanto uma conta direta prova que (αu + βv + γw)2 ∈< e >. ¤
A no¸c˜ao de tripla de Hamilton deve a sua importˆancia ao seguinte resultado de existˆencia.
Proposic¸˜ao 4.23. Seja A uma R-´algebra alternante sem divisores de zero e com identidade e. Seja U ⊆ Im(A) um subespa¸co de dimens˜ao dois de A. Para cada elemento u ∈ U tal que u2 = −e, existe v ∈ U tal que u, v e u ∗ v formam uma tripla
Hamiltoniana em A.
Demonstrac¸˜ao. A Proposi¸c˜ao 4.22 garante a existˆencia de v0 ∈ U tal que u ∗
v + v ∗ u = βe. Seja v = v0 + δu com δ = −β(2α)−1, onde u2 = αe. Se verifica
facilmente que u ∗ v = −v ∗ u. Mostramos que se w = u ∗ v, ent˜ao w2 = −e. De
v ∗ w2 = (v ∗ w) ∗ w = u ∗ w = −v, deduzimos v(w2 + e) = 0 e portanto w2 = −e
porque A n˜ao tem divisores de zero. ¤
O seguinte resultado de Frobenius mostra a importˆancia da no¸c˜ao de elemento imagin´ario.
Teorema 4.24. (Lema de Frobenius) Seja A uma R-´algebra quadr´atica. Ent˜ao Im(A) ´e um subespa¸co vetorial de A e
A =< e > ⊕Im(A).
Demonstrac¸˜ao. Sejam u, v ∈ Im(A). ´E suficiente mostrar que u + v ∈ Im(A) porque αu ∈ Im(A) para cada u ∈ Im(A) e para cada α ∈ R. Se u e v s˜ao linearmente
dependentes, teremos v = αu e u + v = (1 + α)u ∈ Im(A). Sejam u e v linearmente independentes. Sendo A quadr´atica,
(u + v)2 = α
1e + β1(u + v), (u − v)2 = α2e + β2(u − v).
Isso implica
(β1+ β2)u + (β1 − β2)v = 2u2+ 2v2− (α1+ α2)e ∈< e > .
A Proposi¸c˜ao 4.22 garante que β1+β2 = β1−β2 = 0, i.e. β1 = β2 = 0 e (u+v)2 = α1e.
Pela Proposi¸c˜ao 4.22 u + v 6∈< e > e portanto u + v ∈ Im(A).
Seja v ∈ A \ Im(A). Por hip´otese v2 = αe + βv e portanto (v − β/2e)2 =
(α + β2/4)e. O fato que v − βe 6∈< e > implica que v − βe ∈ Im(A), i.e. A =< e >
+Im(A) e portanto A =< e > ⊕Im(A). ¤
Podemos finalmente provar o seguinte interessante resultado.
Teorema 4.25. (Frobenius, 1877) Seja A 6= 0 uma R-´algebra associativa, quadr´atica e sem divisores de zero. Ent˜ao a menos de isomorfismos A ´e uma das seguintes R-´algebras: R, C ou H.
Em particular uma R-´algebra com divis˜ao associativa de dimens˜ao finita ´e isomorfa a uma das R-´algebras acima.
Demonstrac¸˜ao. Seja n = dim (A) ≥ 1. Se n = 1, ´e imediato deduzir que o homomorfismo ϕ : A → R definido por ϕ(e) = 1 ´e um isomorfismo de R-´algebras. Seja n = 2. Pelo Lema de Frobenius temos Im(A) 6= ∅ e portanto existe u ∈ A tal que u2 = −e. Seja ϕ : C → A definido por ϕ(1) = e e ϕ(i) = u. O homorfismo de
R-espa¸cos vetoriais ´e um homomorfismo de ´algebras que ´e injetor porque e e u s˜ao linearmente independentes. Sendo n = 2, ϕ ´e um isomorfismo e estamos no caso 2).
Seja n ≥ 3. Sendo que dim (Im(A)) ≥ 2, A cont´em uma tripla Hamiltoniana u, v, w ∈ Im(A) e uma sub´algebra isomorfa a H, vide Proposi¸c˜ao 4.22 e . Seja x ∈ Im(A) qualquer. Pela Proposi¸c˜ao 4.22 existem α, β, γ ∈ R tais que
(27) x ∗ u + u ∗ x = αe , x ∗ v + v ∗ x = βe , x ∗ w + w ∗ x = γe.
Multiplicando a direita a primeira equa¸c˜ao por v e multiplicando a esquerda a segunda equa¸c˜ao por u, deduzimos
x ∗ w + (u ∗ x) ∗ v = αv , u ∗ (x ∗ v) + w ∗ x = βu e portanto
pela associatividade de A. A ´ultima equa¸c˜ao combinada com a terceira em (27) fornece
2x ∗ w ∈< e, u, v >
e enfim −2x = x ∗ w2 ∈< u, v, w >, i.e. Im(A) =< u, v, w > e A ' H. ¤
Corol´ario 4.26. B(R) ' Z2.
Demonstrac¸˜ao. Do teorema anterior segue que as ´unicas ´algebras com divis˜ao centrais simples s˜ao R e H. Tamb´em temos [R] 6= [H]. Assim, o n´umero de elementos de B(R) ´e igual a dois. Da´ı segue o isomorfismo
B(R) ' Z2.
¤ Uma observa¸c˜ao que decorre do Teorema da Linearidade e do Corol´ario 2.18 do cap´ıtulo 3 ´e que cada ´algebra de quat´ernio com divis˜ao representa um elemento em B(F ) de ordem 2, como ´e o caso de H na proposi¸c˜ao acima.
3. ´Algebras Graduadas
Definic¸˜ao 4.27. Dizemos que uma ´algebra A de dimens˜ao finita ´e uma F - ´algebra Z2-graduada se existem A0, A1 ⊆ A tais que:
(1) A = A0⊕ A1;
(2) F = F · 1 ⊆ A0
(3) AiAj ⊆ Ai+j (onde os subescritos s˜ao tomados m´odulo 2).
A decomposi¸c˜ao A = A0 ⊕ A1 com as propriedades da defini¸c˜ao acima ´e dita uma
Z2-gradua¸c˜ao da ´algebra A.
Nesse texto consideraremos apenas ´algebras Z2-graduadas. Por esse motivo, ire-
mos nos referir a elas apenas por ´algebras graduadas.
Os elementos de h(A) = A0∪ A1 s˜ao chamados de elementos homogˆeneos. Para
cada a ∈ h(A) escrevemos ∂(a) = i se a ∈ Ai (i = 0, 1). Em 0, a ”fun¸c˜ao grau”∂ n˜ao
est´a bem definida por´em, esse fato n˜ao trar´a nenhum transtorno.
Exemplo 4.28. Seja A uma ´algebra graduada. Definimos a ´algebra oposta graduada de A como sendo a ´algebra graduada A∗ que como conjunto coincide com
A, possui gradua¸c˜ao dada por
(A∗)0 = {a : a ∈ A0} (A∗)1 = {a : a ∈ A1}
e multiplica¸c˜ao induzida por
Exemplo 4.29. Sejam Fn = V
0⊕ V1 A = Mn(F ) e
Ai = {B ∈ Mn(F ) | Bx ∈ Vi+j ∀x ∈ Vj, }.
A decomposi¸c˜ao A = A0 ⊕ A1 ´e uma gradua¸c˜ao da ´algebra A. Se V0 =< e1 > ⊕ <
e3 > ⊕ . . . e V1 =< e2 > ⊕ < e4 > ⊕ . . . denotaremos A com essa gradua¸c˜ao por
c Mn(F ).
Exemplo 4.30. Consideremos a extens˜ao quadr´atica A = F (√a). Podemos fazer A uma F -´algebra graduada declarando A0 = F e A1 = F ·
√
a. Para ilustrar o uso dessa gradua¸c˜ao usamos a nota¸c˜ao A = F h√ai. Analogamente, para a ´algebra B = F ⊕ F e sujeita as rela¸c˜oes e2 = 1 e ∂(e) = 1 tamb´em utilizaremos a nota¸c˜ao
B = F h√1i.
Exemplo 4.31. A ´algebra dos quat´ernios C =¡a,bF ¢possui uma gradua¸c˜ao dada pela decomposi¸c˜ao C = C0⊕ C1, onde
C0 = F ⊕ F · k
e
C1 = F i ⊕ F j.
A ´algebra dos quat´ernios com essa gradua¸c˜ao ser´a denotada por C =a,bF i.
Exemplo 4.32. Sejam A, B duas ´algebras graduadas. Podemos induzir uma multiplica¸c˜ao sobre A ⊗ B atrav´es de
(a ⊗ b)(a0⊗ b0) = (−1)∂b∂a· aa0⊗ bb0. Mediante esse produto, a decomposi¸c˜ao
A ⊗ B = X j+k≡0(mod2) Aj⊗ Bk ⊕ X j+k≡1(mod2) Aj ⊗ Bk
fornece uma gradua¸c˜ao `a ´algebra A ⊗ B. Denotaremos a ´algebra graduada assim obtida por A b⊗B e a chamaremos de produto tensorial graduado.
Diremos que um subespa¸co S ⊆ A ´e graduado se ele ´e a soma direta das interse¸c˜oes Si = S ∩ Ai. Escreveremos h(S) := S ∩ h(A). As no¸c˜oes de sub´algebra graduada,
ideal laterais graduados, etc, tem significados ´obvios.
Definic¸˜ao 4.33. Seja S ⊆ A um subespa¸co graduado. O centralizador grad- uado de S ´e o subespa¸co graduado bCA(S) tal que
c ∈ h(C) ⇔ cs = (−1)∂c∂ssc ∀s ∈ h(S).
No caso particular S = A denotaremos CA(S) por bZ(A) e o chamaremos de centro
Observac¸˜ao 4.34. Para um subespa¸co graduado de uma F -´algebra graduada A temos:
(1) bCA(S) ´e uma sub´algebra graduada.
(2) S ∩ A1 = {0} ⇒ bCA(S) = CA(S).
Definic¸˜ao 4.35. Uma F -´algebra graduada A ´e dita graduada central se b
Z(A) = F · 1. Quando os ´unicos ideais bilaterais graduados de A s˜ao os triviais dizemos que A ´e uma ´algebra graduada simples. Finalmente, se A ´e ´algebra grad- uada central e ´algebra graduada simples dizemos nesse caso que ela ´e uma ´algebra graduada central simples.
O conjunto das ´algebras graduadas centrais simples sobre um corpo F ser´a rep- resentado por AGCS(F ).
´
E imediato observar que 4.29, 4.30 e 4.31 s˜ao exemplos de ´algebras graduadas centrais simples. No Exemplo 4.28, A ∈ AGCS(F ) implica A∗ ∈ AGCS(F ).
Observac¸˜ao 4.36. A decomposi¸c˜ao dada a A ⊗ B no exemplo 4.32 tamb´em fornece uma gradua¸c˜ao a A ⊗ B munido da multiplica¸c˜ao usual. Entretanto, ape- sar dos c´alculos serem mais f´aceis, nessa situa¸c˜ao n˜ao ´e verdade que o produto de duas ´algebras graduadas centrais simples tamb´em seja uma ´algebra graduada central simples.
Dizemos que uma ´algebra graduada ´e concentrada no grau 0 se A1 = {0}.
Qualquer ´algebra B est´a associada a uma ´algebra graduada (B) tal que (B)0 = B e
(B)1 = {0}. Obviamente, se A ´e uma ´algebra concentrada no 0 ent˜ao Z(A) = bZ(A)
e as no¸c˜oes de ´algebra graduada central, ´algebra graduada simples, ´algebra graduada central simples coincidem, respectivamente, com as no¸c˜oes de ´algebra central, ´algebra simples e ´algebra central simples.
Teorema 4.37. Sejam A, B ´algebras graduadas e A0 ⊆ A, B0 ⊆ B sub´algebras
graduadas, ent˜ao:
(1) bCA b⊗B(A0⊗Bb 0) = bC
A(A0) b⊗ bCB(B0)
(2) Se A ∈ AGCS(F ) e B ´e ´algebra graduada simples ent˜ao A b⊗B ´algebra grad- uada simples.
Demonstrac¸˜ao. (1) A inclus˜ao ” ⊇ ” segue de c´alculos rotineiros. Para esta- belecer a inclus˜ao contr´aria, consideremos {b1, . . . , bn} uma base homogˆenea de B.
Dado um elemento homogˆeneo e ∈ bCA b⊗B(A0⊗Bb 0), escreveremos
e =
n
X
i=1
onde ai ∈ h(A). Temos
∂(ai) + ∂(bi) ≡ ∂(e)(mod2)
para cada i.
Para qualquer a0 ∈ h(A0), a defini¸c˜ao de bC
A b⊗B(A0⊗Bb 0) nos fornece a equa¸c˜ao
(a0⊗ 1)e = (−1)∂(e)∂(a0)
e(a0⊗ 1)
e isso implica que
(−1)∂(e)∂(a0)Xn i=1 (−1)∂(a0)∂(b i)a ia0⊗ bi = n X i=1 (−1)∂(a0)∂(a i)a0a i⊗ bi. Consequentemente, a0ai = (−1)∂(a 0)∂(a i)a ia0
e isso significa que ai ∈ bCA(A0) para todo i. Em particular, e ∈ bCA(A0) b⊗B. Agora
considere c1, . . . , cr uma base homogˆenea de bCA(A0). Expressando e como
e =
r
X
j=1
cj⊗ dj
onde dj ∈ h(B). Usando a equa¸c˜ao
(1 ⊗ b0)e = (−1)∂(e)∂(b0)e(1 ⊗ b0) com b0 ∈ B e repetindo os c´alculos acima, temos d
j ∈ bCB(B0). Assim, e ∈
b
CA(A0) b⊗ bCB(B0) como quer´ıamos.
(2) Consideremos I 6= 0 um ideal graduado em A b⊗B. Cada elemento homogˆeneo z ∈ I pode ser escrito na forma
z =
r
X
i=1
ai⊗ bi onde ai ∈ h(A) e bi ∈ h(B).
De todos os elementos homogeneos de I escolhamos z que tenha escrita como acima com r m´ınimo. Como z tem grau fixado, temos:
∂(ai) + ∂(bi) ≡ ∂(z)(mod2).
(28)
Nossa observa¸c˜ao agora ´e que os a0
is (e analogamente os b0is) s˜ao linearmente inde-
pendentes. Suponhamos o contr´ario. Ent˜ao, renumerando se nescess´ario, ter´ıamos a1 =
Pr
i=2αiai, implicando que a1, . . . , ar tem o mesmo grau. Reescrevamos z por
z = r X i=2 ai⊗ (αb1+ bi). O fato dos a0
is terem o mesmo grau e as equa¸c˜oes (28) implicam que os b0is tamb´em
do r. O conjunto C = ( X j cja1dj; cj, dj ∈ A )
´e um ideal graduado de A, logo C = A. Assim, deve existir uma equa¸c˜ao X j cja1dj = 1 cj, dj ∈ h(A). Consideremos cjzdj = r X i=1 (−1)∂(bi)∂(dj)c jaidj⊗ bi.
Somando em j e multiplicando o resultado por (−1)∂(b1)∂(dj) obtemos
z1 = i ⊗ b1+ r X i=2 a0 i⊗ bi onde ai = P
j±cjaidj. Como ∂(cj) + ∂(dj) ≡ ∂(a1)(mod2) independente do j, temos
que cada a0
i´e homogˆeneo. Al´em disso, z1´e diferente de zero pois os b0is s˜ao linearmente
independentes. Passamos de z para um elemento z1 com as mesmas propriedades.
Agora fazendo o mesmo procedimento para b1 podemos encontrar z0 com as mesmas
propriedades de z tal que
z0 = 1 ⊗ 1 +Xa0
i⊗ b0i (ai ∈ h(A), bi ∈ h(B).
Fazendo a considera¸c˜ao do grau temos ∂(a0
i) ≡ b0i(mod2). Para qualquer elemento
a ∈ h(A) calculemos az0− z0a ∈ I ∩ h(A b⊗B). O resultado ´e
X (aa0 i) − (−1)∂(b 0 i)∂(a)a0 ia ⊗ b0i.
Pela escolha de r, conclu´ımos que aa0
i = (−1)∂(a
0 i)∂(a)a0
ia, i.e, ai ∈ bZ(A). Como A
´e ´algebra graduada central, a0
i ∈ F. Mas {1, a02, . . . , a0r} ´e linearmente independente.
Assim devemos ter r = 1, i.e., 1 ∈ I. ¤
Teorema 4.38. Sejam A, B ´algebras graduadas. Suponha que exista um ele- mento z ∈ Z(A0) tal que z2 = 1 e za1 = −a1z para cada a1 ∈ A1. Ent˜ao existe um
isomorfismo de ´algebras graduadas
A b⊗B ' A ⊗ B.
Demonstrac¸˜ao. Consideremos a seguinte sub´algebra B0 = 1 b⊗B
0+ z b⊗B1 ⊆ A b⊗B.
Ora B0 e A = A b⊗1 comutam elemento com elemento, pois
para cada a1 ∈ A e b1 ∈ B1. Logo, B0 e A geram A b⊗B como uma ´algebra. Assim,
existe um isomorfismo de ´algebras graduadas A ⊗ B0 ' A b⊗B. Finalmente, a regra
b0+ b1 7→ 1 ⊗ b0+ z ⊗ b1 (bi ∈ Bi)
claramente define um isomorfismo da ´algebra graduada B em B0. Portanto, obtemos
A b⊗B ' A ⊗ B.
¤ Corol´ario 4.39. Sejam B, C ´algebras graduadas onde C1 = 0. Ent˜ao existe
um isomorfismo de ´algebras graduadas c
Mr(C) b⊗B ' cMr(C) ⊗ B
Corol´ario 4.40. Para qualquer ´algebra graduada B, existem isomorfismos de ´algebras graduadas
c
Mr(F ) b⊗B ' cMr(F ) ⊗ B ' cMr(B)
Corol´ario 4.41. Mcr(F ) b⊗ cMs(C) ' cMr(F ) ⊗ cMs(C) ' cMrs(C) para cada
´algebra graduada C.
Teorema 4.42. Sejam A, B ´algebras graduadas. Suponha que existe um ele- mento z ∈ A1∩ Z(A) tal que z2 = −1. Ent˜ao existe um isomorfismo (de ´algebras n˜ao
graduadas)
(A b⊗B)0 ' A0⊗ B.
Demonstrac¸˜ao. Definamos B0 = B
0⊕ zB1 ⊆ (A b⊗B)0.
B0 e A
0 comutam elemento com elemento, e eles geram (A b⊗B)0 como ´algebra. Desse
modo, A0⊗Bb 0 ' (A b⊗B)0. A regra
b0+ b1 7→ b0+ zb1
´e um isomorfismo de ´algebras de B em B0, pois
(z ⊗ b1)(z ⊗ c1) = −z2⊗ b1c1 = 1 ⊗ b1c1
4. Estrutura das ´Algebras Graduadas Centrais Simples
Proposic¸˜ao 4.43. Seja A uma ´algebra graduada simples, com A1 6= {0}. Ent˜ao
A2
1 = A0. Se I 6= {0} ´e ideal bilateral qualquer de A0, ent˜ao I + A1IA1 = A0 e
A1I + IA1 = A1.
Demonstrac¸˜ao. A2
1 = A0 segue dos fatos que A21 ⊆ A0 e A21 ⊕ A1 ´e um ideal
bilateral de A.
Agora considere o subespa¸co graduado
J = (I + A1IA1) ⊕ (A1I + IA1).
Checa-se facilmente que J ´e um ideal bilateral de A. Como J 6= {0}, devemos ter
J0 = A0 e J1 = A1 como desej´avamos. ¤
Proposic¸˜ao 4.44. Seja A uma ´algebra graduada simples, com A1 6= 0. Seja J um
ideal pr´oprio em A (n˜ao necessariamente graduado). Ent˜ao, as proje¸c˜oes πi : J → Ai
(i = 0, 1) s˜ao isomorfismos.
Demonstrac¸˜ao. O conjunto I = J ∩A0´e um ideal em A0. Pela Proposi¸c˜ao 4.43,
devemos ter I = {0}, e por outro lado J deve conter I+A1IA1 3 1. Tamb´em I0 = π0(j)
´e um ideal de A0 e n˜ao nulo pois J pode n˜ao ser, possivelmente, um subespa¸co
graduado. Assim, 4.43 implica A1I0A1 + I0 = A0. Mas, claramnete, A1I0A1 ⊆ I0,
e da´ı obtemos I0 = A
0. Estabelecemos assim a injetividade de π1 : J → A1 e a
sobrejetividade de π0 : J → A0. Mas
J ∩ A1 = A0· (J ∩ A1) = A1· A1· (J ∩ A1) ⊆ A1· (J ∩ A0) = {0}
logo, π1 : J → A1 ´e sobrejetiva. ¤
Proposic¸˜ao 4.45. Seja A uma ´algebra graduada simples. Suponha que A n˜ao ´e simples como uma ´algebra n˜ao graduada. Ent˜ao A0 ´e uma ´algebra simples e
A1 = A0· u, onde u ∈ Z(A) ∩ A1 e u2 = 1.
Demonstrac¸˜ao. Escolha qualquer ideal pr´oprio J em A (o qual existe por hip´oteses). Temos automaticamente A1 6= {0} e assim as duas proposi¸c˜oes pr´evias
se aplicam. Como π0 : J → A0 ´e um isomorfismo, J cont´em um ´unico elemento da
forma 1 + u (u ∈ A1). Mas J tamb´em cont´em u(1 + u) = u2 + u, da´ı devemos ter
u2 = 1. Claramente, temos que u ∈ Z(A). Para z ∈ A
0, J cont´em ambos
z(1 + u = z + zu); e (1 + u)z = z + uz.
Aplicando o isomorfismo π0, temos zu = uz. Analogamente, u comuta elemento
x = xu2 ∈ A
0u da´ı, A1 = A0u. Enfim, mostraremos que A0 ´e simples. Consideremos
I 6= {0} ser um ideal bilateral de A0. Ent˜ao,
A1IA1 = A0uIA0u = A0uIu = A0Iu2 = A0I = I.
Pelo Teorema 4.43, conclu´ımos que I = A0. ¤
Teorema 4.46. Seja A ∈ AGCS(F ) com A1 6= 0 e Z(A) = F ⊕ Z1, onde
Z1 ⊆ A1. Ent˜ao:
(1) Z1 = {0} se, e somente se, A ∈ ACS(F ).
(2) Z1 6= {0} se, e somente se, A0 ∈ ACS(F ).
Demonstrac¸˜ao. (1) se Z1 = {0}, a proposi¸c˜ao prescedente implica que A deve
ser simples, e desse modo A ∈ ACS(F ). A rec´ıproca ´e trivial.
(2) Supondo Z1 6= {0}, claramente existe um z1 ∈ Z1 tal que z21 6= 0. De fato,
se existir z1 ∈ Z1 tal que z21 = 0, ent˜ao Z(A) certamente n˜ao ´e uma corpo, e desse
modo A n˜ao ´e uma ´algebra simples (como ´algebras n˜ao graduadas). Nesse caso, pela Proposi¸c˜ao 4.45, existe u ∈ Z1 satisfazendo u2 = 1. Assim, realmente existe z1 tal
que z2
1 = a ∈ F∗. Como A1 = Aau = A1z12 ⊆ A0Z1, temos A1 = A0Z1. Isso implica
claramente que
Z(A0) ⊆ Z(A) ∩ A0 = F,
e dai segue que A0 ´e central sobre F. Reciprocamente, suponhamos A0 ∈ ACS(F ).
Assumamos que Z1 = 0. Ent˜ao A ∈ ACS(F ) por (1). Usando o Corol´ario 4.10
sabemos que CA(A0) ∈ ACS(F ) e A ' A0 ⊗ CA(A0) como ´algebras n˜ao graduadas.