Grupos com r Coberturas Irredundantes

4.5

Grupos com r Coberturas Irredundantes

Finalizaremos nosso trabalho deixando a seguinte pergunta: Para um inteiro

fixo r > 1 , podemos determinar os grupos com exatamente r coberturas ir- redundantes por subgrupos pr´oprios?

Para motiv´a-los a investiga¸c˜ao deste questionamento, mostraremos que para qualquer inteiro r ≥ 1, existe um grupo com exatamente r coberturas irre- dundantes por subgrupos pr´oprios. Mas antes introduziremos um resultado que ser´a ´util na constru¸c˜ao do exemplo.

Lema 4.22. Seja G um grupo abeliano finito e n um inteiro positivo, ent˜ao

os subconjuntos Gn_{= {g}n _{; g ∈ G} e G[n] = {g ∈ G ; g}n_{= 1} s˜ao subgrupos}

de G e G

G[n] ∼= G

n_.

Demonstra¸c˜ao. Sejam g1, g2 ∈ G, ent˜ao ´e f´acil ver que gn1, g2n ∈ Gn. Agora

note que

g₁n· (g₂n)−1 = g₁n· (g₂−1)n= (g1· g−12 )n ∈ Gn.

Mas ent˜ao Gn _{≤ G.}

Considere g1, g2 ∈ G[n], logo

(g1· g−12 )n = gn1 · (g2−1)n = gn1 · (g2n)−1 = 1

donde conclu´ımos que G[n] ≤ G.

Como G ´e abeliano, segue que Gn_{, G[n] E G.}

Agora seja ϕ : G → Gn _{dada por ϕ(a) = a}n_{. Logo, para quaisquer a, b ∈ G}

temos que ϕ(ab) = (ab)n _{= a}n_bn_{, isto ´e, ϕ ´e um homomorfismo. Por outro}

lado, temos Ker(ϕ) = {a; an _{= 1} = G[n]. Portanto, pelo Primeiro Teorema}

dos Isomorfismos, G G[n] ∼= G

n_.

Exemplo 4.23. O grupo H ∼= Cpr × C

p possui exatamente r coberturas

irreduntantes por subgrupos pr´oprios.

Faremos indu¸c˜ao sobre r para provarmos este fato. Para r = 1, temos H ∼= Cp× Cp que ´e unicamente coberto pelo Teorema 4.16.

Afirma¸c˜ao 1: H cont´em exatamente p subgrupos c´ıclicos de ordem pr_.

De fato, um elemento n˜ao trivial de H tem a forma (ai_{, b}j_{), onde 1 ≤ i ≤}

(i) o(ai_{, b}j_{) = p}r _{se, e somente se, p∤ i, ou seja, (i, p) = 1.}

Para verificarmos isso, basta analisarmos como se comporta a primeira componente do par (ai_{, b}j_{), pois (b}j₎pα

= 1, para todo j = 1, ..., p − 1 e

para todo α = 1, ..., r. Note que:

pr _{= o(a}i_{) =} pr

(pr_{, i)} ⇔ (p

r_{, i) = 1 ⇔ (p, i) = 1.}

∴o(ai_{, b}j_{) = p}r _{⇔ (p, i) = 1 com 1 ≤ i ≤ p}r−1_.

(ii) h(ai_{, b}j_{)i = h(a, b}m_{)i onde j ≡ im(mod p).}

De fato, como (i, p) = 1, segue-se que existe m tal que j ≡ mi(mod p). Da´ı, j = mi+pk, logo (ai_{, b}j_{) = (a}i_{, b}mi_{) = (a, b}m₎i_{. Portanto, (a}i_{, b}j_{) ∈}

h(a, bm_{)i. Como o(a}i_{, b}j_{) = p}r _{= o(a, b}m_{), conclu´ımos que h(a}i_{, b}j_{)i =}

h(a, bm_)i.

(iii) Sejam (a, bi_{), (a, b}j_{) ∈ H, com i 6= j. Ent˜ao h(a, b}i_{)i 6= h(a, b}j_)i.

De fato, suponha h(a, bi_{)i = h(a, b}j_{)i com i 6= j. Ent˜ao (a, b}i_{) ∈}

h(a, bj_{)i, logo (a, b}i_{) = (a, b}j₎t _{= (a}t_{, (b}j₎t_{), para algum inteiro t. Da´ı,}

a = at _{e b}i _{= (b}j₎t_{, disto segue que a}t−1_{= 1 e portanto p}r _{divide t − 1,}

ou seja, t = spr _{+ 1, para algum inteiro s, donde, b}i _{= (b}j₎spr

+1 ₌

(bp₎pr−1_s

(bj_{) = b}j_{, um absurdo.}

Conclu´ımos que os subgrupos c´ıclicos de ordem pr _{em H s˜ao:}

h(a, 1)i, h(a, b)i, h(a, b2_{)i, ..., h(a, b}p−1_)i,

que s˜ao exatamente p subgrupos. Portanto, segue a afirma¸c˜ao.

Garantimos ainda que estes subgrupos s˜ao maximais em H, pois tˆem ´ındice

p primo, portanto fazem parte de qualquer cobertura irredundante de H. Afirma¸c˜ao 2: Os elementos x de h(a, bi_{)i de ordem p}s _{com s < r, s˜ao da}

forma (at_{, 1).}

Com efeito, se x ∈ h(a, bi_{)i e o(x) = p}s_{, ent˜ao x = (a, b}i₎t _{para algum inteiro}

t e xps = (atps , (bi₎tps ) = (atps , (bp₎itps−1 ) = (atps , 1). ∴atps

= 1 ⇒ pr_|tps _{⇒ p}r−s_{|t ⇒ t = mp}r−s_{, para algum inteiro m.}

Da´ı teremos x = (at_{, b}it_{) = (a}t_{, b}impr−s

) = (at_{, (b}p₎pr−s−1_mi

) = (at_{, 1).}

Afirma¸c˜ao 3: Hp_{H[p] ´e o ´unico subgrupo de H que ´e isomorfo a C}

pr−1×C_p

e cont´em todos os elementos de ordem menor que pr_.

De fato, ´e claro que Hp_{H[p] ≤ H onde}

• Hp _{= {(a}i_{, b}j₎p_{; (a}i_{, b}j_{) ∈ H}}

= {(api_{, b}pj_{); (a}i_{, b}j_{) ∈ H}}

4.5 Grupos com r Coberturas Irredundantes Como p = o(ai_{) =} pr (pr_{, i)} ⇔ (p r_{, i) = p}r−1 _{⇔ i = sp}r−1_{, 0 ≤ s ≤ p − 1,} temos • H[p] = {(ai_{, b}j_{); o(a}i_{, b}j_{) = p}} = {(apr−1_s , bj_{), 0 ≤ s ≤ p − 1 , 0 ≤ j ≤ p − 1}.}

Um elemento de Hp_{H[p] ´e da forma:}

(api, 1)·(atpr−1, bj) = (ap(pr−2t+i), bj) = (apk, bj); 0 ≤ k ≤ pr−1−1 e 1 ≤ j ≤ p−1.

Note ainda que Hp_{H[p] ´e um subgrupo pr´oprio de H, j´a que (a, b}j_{) /∈ H}p_H[p].

Agora, vamos a prova da afirma¸c˜ao:

(i) Hp_{H[p] ∼= C} pr−1× C_p. A aplica¸c˜ao ϕ : Cpr−1× C_p → HpH[p], (api, bj) 7→ (api, bj) ´e um isomorfismo. Com efeito, ϕ ´e um homomorfismo: ϕ((api_{, b}j_{) · (a}pi′ , bj′ )) = ϕ(ap(i+i′₎ , bj+j′ ) = (ap(i+i′), bj+j′) = (api, bj)(api′, bj′) = ϕ(api, bj) · ϕ(api′, bj′)

ϕ ´e claramente injetiva; ϕ ´e sobrejetiva;

Como ϕ ´e injetiva segue que pr _{= |C}

pr−1×C_p| ≤ |HpH[p]| < |H| = pr+1,

e isso implica que |Hp_{H[p]| = p}r_{. Portanto, H}p_{H[p] ∼= C}

pr−1× C_p.

(ii) Hp_{H[p] cont´em todos os elementos de ordem menor que p}r _{em H.}

De fato, seja (ai_{, b}j_{) ∈ H com o(a}i_{, b}j_{) = p}α_{, α < r, ou seja (1, 1) =}

(ai_{, b}j₎pα

= (aipα

, bjpα

). ∴aipα

Da´ı, ai _{= a}spr−α = a( k z }| { spr−α−1)p ∴(ai_{, b}j_{) = (a}kp_{, b}j_{) = (a}kp_{, 1) · (1, b}j_{) ∈ H}p_H[p]. (iii) Unicidade de Hp_H[p].

Seja K ∼= Cpr−1× C_p contendo todos os elementos de ordem menor que

pr _{de H. Ent˜ao , H}p_{H[p] ⊆ K (j´a que todo elemento de H}p_{H[p] tem}

ordem menor que pr_{) e como |H}p_{H[p]| = p}r _{= |C}

pr−1 × C_p| = |K|, segue que K = Hp_H[p]. Observe que H = Hp_{H[p] ∪} p [ i=1

hcii, onde hcii = h(a, bj)i com 1 ≤ j ≤ p − 1,

´e irredundante. De fato, ´e claro que hcii * HpH[p]. Agora, se HpH[p] ⊆ p [ i=1 hcii, ent˜ao H = p [ i=1 hcii e |H| =      p [ i=1 hcii      < p X i=1 |hcii|, pois 1 ∈ hcii ∩ hcji, portanto pr+1 _{< p · (p}r_{). Absurdo.}

Por indu¸c˜ao Cpr−1× C_p tem r − 1 coberturas irredundantes. Cada uma destas

H1∪ H2∪ ... ∪ Hk com os p subgrupos hcii de ordem pr forma uma cobertura

para H.

Afirma¸c˜ao 4: Quaisquer duas coberturas irredundantes distintas de Hp_H[p],

produzem duas coberturas irredundantes distintas para H. De fato, sejam

C1 : H1 ∪ H2∪ ... ∪ Hs = HpH[p] e C2 : K1∪ K2∪ ... ∪ Kn = HpH[p]

duas coberturas irredundantes distintas de H = Hp_{H[p]. Ent˜ao,}

f C1 : H1∪ H2∪ ... ∪ Hs∪ p [ i=1 hcii = H e fC2 : K1∪ K2∪ ... ∪ Kn∪ p [ i=1 hcii = H

s˜ao duas coberturas para H. Essas duas coberturas se tornar˜ao irredundantes quando eliminamos os poss´ıveis Hi’s e Ki’s que est˜ao em

p

[

i=1

hcii.

Perceba que:

4.5 Grupos com r Coberturas Irredundantes

De fato, estes subgrupos s˜ao da forma hxi × hyi, com o(x) = pα _{e o(y) = p}β

e α, β < r.

• Se x, y ∈

p

[

i=1

hcii, ent˜ao x = (at, 1) e y = (ak, 1), portanto hxi × hyi ⊆

h(a, 1)i, contrariando o fato de hxi × hyi ser n˜ao c´ıclico;

• Seja Hj = hxi × hyi, sendo C1 irredundante, existe h ∈ Hj \

[ i6=j Hi e h /∈ p [ i=1 hcii. Se h ∈ p [ i=1

hcii, ent˜ao h = (at, 1) = (aps, 1) = (ap, 1)s ∈ h(ap, 1)i,

mas |h(ap_{, 1)i| = p}r−1 _{e ent˜ao h(a}p_{, 1)i⋖ H}p_{H[p], portanto h(a}p_{, 1)i deve fa-}

zer parte de toda cobertura irredundante de Hp_{H[p], ou seja, h(a}p_{, 1)i = H} i

para algum i 6= j, visto que Hj ´e n˜ao c´ıclico e da´ı h ∈ Hi com i 6= j, o que

contraria h /∈[ i6=j Hi. Portanto Hj * [ i6=j Hi∪ p [ i=1 hcii.

De modo an´alogo mostra-se que Kj = hexi × heyi*

[ i6=j Ki∪ p [ i=1 hcii.

Como as coberturas C1 e C2 s˜ao distintas, ent˜ao existe Hz em C1, para

algum z, tal que Hz 6= Kj para todo j. Do mesmo modo, existe um Kl em

C2, para algum l, tal que Kl6= Hi para todo i.

(ii) Hz e Kl n˜ao est˜ao simultaneamente em p

[

i=1

hcii.

De fato, temos dois casos a considerar:

Caso (1) Um dos subgrupos Hz ou Kl n˜ao ´e c´ıclico.

Neste caso, um dos subgrupos Hz ou Kl n˜ao est´a contido em p

[

i=1

hcii (pelo

item (i)) ;

Caso (2) Hz e Kl s˜ao ambos c´ıclicos.

Suponha Hz, Kl ⊆ p

[

i=1

hcii, ent˜ao Hz = h(at, 1)i e Kl = h(as, 1)i = hgi.

Claramente ocorrer´a Hz ⊆ Kl ou Kl ⊆ Hz, pois o(ha, 1i) = pr. Supo-

nha Hz ⊆ Kl = hgi, logo g ∈ H1 ∪ H2 ∪ ... ∪ Hs = HpH[p]. Se hgi ⊂

H2 ∪ H3 ∪ ... ∪ Hs, ent˜ao Hz ⊂ H2 ∪ H3 ∪ ... ∪ Hs, um absurdo pois C1 ´e

irredundante, logo Hz = Kl, o que contraria a hip´otese. De modo an´alogo

Portanto as novas coberturas A1 e A2 de H obtidas ao eliminar as poss´ıveis

redundˆancias de fC1 e de fC2, s˜ao irreduntantes e distintas pelo item (ii).

Da Afirma¸c˜ao 4 conclu´ımos que H possui r − 1 coberturas irredundantes do tipo A1 que juntamente com aquela obtida inicialmente formam no total

r coberturas irredundantes para H.

Reciprocamente, qualquer cobertura irredundante de H consiste dos p subgru- pos de ordem pr _{e de subgrupos de H}p_{H[p] cobrindo aqueles elementos de H}

que n˜ao pertecem a

p [ i=1 hcii. Seja H = H1 ∪ H2 ∪ ... ∪ Hs ∪ p [ i=1

hcii uma cobertura irredundante de H, ´e

claro que a ordem de qualquer elemento de Hi, para todo i, ´e menor que pr,

logo Hi ⊂ HpH[p] para todo i.

Da´ı, HpH[p] = (H1∪...∪Hs∪ p [ i=1 hcii)∩HpH[p] = H1∪...∪Hs∪ p [ i=1 (hcii∩HpH[p]),

eliminando possivelmente alguns subgrupos do tipo hcii ∩ HpH[p] obtemos

uma cobertura irredundante de Hp_{H[p]. De modo que qualquer cobertura}

Referˆencias Bibliogr´aficas

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