GUM suplemento Método de Monte Carlo

A simulação de Monte Carlo tem este nome devido à famosa roleta de Monte Carlo, no Principado de Mônaco. A simulação de Monte Carlo é basicamente um experimento amostral cujo objetivo é estimar a distribuição de resultados possíveis da variável na qual se está interessado (variável de saída), com base em uma ou mais variáveis de entrada, que se comportam de forma probabilística de acordo com alguma distribuição estipulada (Evans e Olson,1998).

Entretanto Vose (2000), define a simulação de Monte Carlo como sendo uma abordagem que emprega a utilização de números aleatórios para solução de problemas. Ainda relatam que a simulação de Monte Carlo foi utilizada no período da Segunda Guerra Mundial para solucionar problemas relacionados com o desenvolvimento da bomba atômica, principalmente na resolução de integrais de funções matemáticas de difícil solução analítica.

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Outros autores como Atanassov e Dimov (2008) definem a simulação de Monte Carlo como um método para solução de problemas utilizando variáveis randômicas, através da matemática computacional.

O método de Monte Carlo tem sido usado desde anos 1990 para análise de incertezas (Valdés et al, 2009). Em 2008 o BIPM publicou a primeira edição do Suplemento 1 sobre métodos numéricos para propagação das distribuições, do Guia para Expressão da Incerteza de Medição, intitulado “Guide to the Expression of Uncertatinty

in Measurement”– Propagation of distributions using a Monte Carlo method (Guia de

Expressão da Incerteza na Medição – Propagação das distribuições usando o método de Monte Carlo), JCGM 101 (2008).

Para Suzuki et al (2009) e Possolo (2009), a simulação de Monte Carlo (SMC), utiliza o conceito de distribuição de probabilidade de cada fonte de incerteza e é propagada através da equação da medição, diferente da propagação das incertezas das grandezas de entrada como faz o GUM.

A Figura 2.20 apresenta o comparativo entre o método tradicional (GUM) e a simulação de Monte Carlo (SMC).

Figura 2.20 Comparativo entre o método GUM (propagação das incertezas) – esquerda e a simulação de Monte Carlo (propagação das distribuições) – direita Fonte: JCGM

101 (2008)

O conceito de propagação de distribuições utilizado pela Simulação de Monte Carlo consiste primeiramente em assumir distribuições de probabilidade apropriadas (como retangular, normal, triangular, entre outras) para as fontes de incerteza do ensaio ou calibração. Essas distribuições são, então, propagadas através da equação da medição

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e os valores para a média e desvio-padrão dos resultados são estimados. A incerteza do ensaio ou da calibração é calculada de acordo com o nível de confiança desejado (normalmente 95%), após um grande número de repetições executadas (Cox e Harris, 2006). Desta forma, a distribuição da grandeza de saída não é assumida como distribuição gaussiana, como acontece no método do GUM, mas calculada a partir das distribuições de probabilidade das grandezas de entrada, (JCGM 101 2008).

Alguns autores como Rezaie et al (2007), Moscati et al (2004), e Valdés et al (2009) apresentam de forma resumida as etapas do método de Monte Carlo para a determinação da incerteza de medição. Tudo começa com a definição do mensurando, depois segue o estabelecimento do modelo do processo de medição, a identificação das variáveis de entrada que contribuem para a incerteza, a identificação das funções de densidade de probabilidade correspondente a cada fonte de entrada, a determinação do número de iterações, geração de números aleatórios considerando cada tipo de distribuição para se obtiver a função densidade probabilidade (pdf) da grandeza de saída, extração de valores da variável usada na simulação, o cálculo do valor médio da grandeza de saída, e o desvio padrão o qual é assumida como a incerteza padrão, é feito com estes variáveis respostas atribuídas um intervalo de abrangência pela incerteza expandida.

Para Konrath (2008) ressalta dois aspectos importantes no processo de cálculo da incerteza de medição pelo método de Monte Carlo: a influência do número de simulações (M) e a definição do intervalo de abrangência.

A Figura 2.21 apresenta o efeito de M sobre a distribuição empírica de uma variável normalmente distribuída, com média μ = 10 e desvio padrão s = 1. A linha de gráficos superior apresenta o histograma (à esquerda) e a distribuição de frequências acumuladas correspondentes (à direita), obtidos com uma amostra de tamanho M = 50. A linha de gráficos inferior mostra os resultados de uma simulação realizada com uma amostra bem maior, M = 104 (Konrath, 2008).

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Figura 2.21. Distribuições empíricas obtidas com geração de números aleatórios com distribuição normal N(10,1) para tamanhos distintos de amostras (M=50, na posição

superior e M=104 na posição inferior) Fonte: Konrath, 2008

A figura anterior mostra que a distribuição de frequências acumuladas fica afetada com a redução do tamanho da amostra. A intensidade do ruído amostral e a redução na amplitude dos valores obtidos são significativas quando se trabalha com amostras de tamanho reduzido. Assim, o aumento do tamanho amostral M produzirá uma diminuição do ruído amostral, resultando em estimativas mais confiáveis do valor do mensurando e da incerteza de medição associada.

Outros exemplos são apresentados para o cálculo de incerteza utilizando amostras de tamanho M = 105 ou M = 106, (JCGM 101, 2008), mas os tempos de espera ficam longos devido ao processamento dos modelos matemáticos complexos, o código do programa e o software utilizado. O GUM Suplemento estabelece que o valor de M de interações pode ser considerado igual a 106 ou ainda determinado em função da precisão do valor de incerteza.

Existem muitos estudos com aplicações com o método de Monte Carlo para determinação da incerteza de medição. Por exemplo, na área de estudo de química Herrador e González (2004) aplicaram a simulação de Monte Carlo em ensaios analíticos com o objetivo de comparar o resultado obtido com a abordagem tradicional

Valores da Quantidade de Saída

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do GUM. Outra aplicação foi feita para avaliação da incerteza na calibração de um multímetro e de um peso padrão Moscati et al (2004). Souza e Ribeiro (2006) utilizaram o método de Monte Carlo para determinação da incerteza de medição na calibração de um multímetro convencional em comparação com o método GUM.

Couto et al (2006) utilizaram o método de Monte Carlo em comparação ao método GUM para determinação da incerteza em ensaios mecânicos, em especial ensaio de dureza Brinell, torque e tração. Concluíram que para ambos os métodos e ensaios mecânicos avaliados, as incertezas determinadas são análogas, sendo assim os autores recomendam a aplicação do método para determinação da incerteza de medição em ensaios mecânicos.

Outros autores como Valdés et al., (2009) aplicaram o método de Monte Carlo para estimar a incerteza associada a medições efetuadas com paquímetros e micrômetros, concluindo pela agilidade e facilidade de utilização do método, principalmente frente aos sistemas de medição nos quais se desconhece o modelo matemático que relaciona as variáveis de entrada e saída. Com base em estudos utilizados com o método Monte Carlo, pode ser comprovada à aplicabilidade do método na determinação da incerteza de medição na área de calibração e de ensaios.

2.6 AVALIAÇÃO DA NORMALIDADE DOS DADOS E ANÁLISE