At´e o momento tratou-se do campo eletromagn´etico livre no interior de uma cavidade, no entanto, tem-se interesse na intera¸c˜ao deste campo com um ´atomo. Neste intuito, uma forma de proceder seria partir da Lagrangeana Cl´assica e desta derivar a hamiltoniana do sistema para ent˜ao aplicar o procedimento de quantiza¸c˜ao de Dirac. Por´em, seguiremos outro caminho, atrav´es da introdu¸c˜ao de uma intera¸c˜ao ad hoc que torna o procedimento mais simples e proporciona interpreta¸c˜oes f´ısicas mais diretas.
No caso de termos um ´atomo no interior da cavidade, espera-se que o hamiltoniano total seja da forma:
ˆ
H = ˆHc+ ˆHa+ ˆHI, (A.32)
onde ˆHc ´e o hamiltoniano do campo na ausˆencia do ´atomo (eq. (A.31)), ˆHa o hamiltoniano do ´atomo na ausˆencia do campo e ˆHI o hamiltoniano que descreve a intera¸c˜ao do ´atomo com o campo.
O hamiltoniano ˆHadepende do ´atomo que ser´a considerado, mas isso n˜ao ser´a levado em conta neste momento, apenas que as autoenergias e autoestados deste hamiltoniano sejam conhecidos. As autoenergias e autoestados de ˆHa s˜ao denotados, respectivamente, por Ei e |ψii, tais que:
ˆ
Como os auto estados de ˆHa formam uma base completa, X
i
|ψii hψi| = I, pode-se reescrever ˆHa da seguinte forma:
ˆ
Ha=X i
Eiσii, (A.34)
onde os operadores σij s˜ao definidos como:
σij = |ψii hψj| .
O pr´oximo passo ´e determinar o hamiltoniano de intera¸c˜ao ˆHI. Como geralmente tem-se interesse em regimes onde o comprimento de onda do campo ´e da ordem de alguns milhares de angstrons (regime ´otico) e o tamanho t´ıpico de um ´atomo ´e da ordem de poucos angstrons, pode-se desprezar a varia¸c˜ao espacial dos campos ao longo da extens˜ao do ´atomo. Est´a condi¸c˜ao ´e formalmente expressa por ~k ·~r << 1, onde ~r ´e o vetor posi¸c˜ao do el´etron, e conhecida como aproxima¸c˜ao de dipolo. Nesta condi¸c˜ao o ´atomo ´e pontual do ponto de vista dos campos e assim ele pode ser tratado como um dipolo el´etrico.
Al´em disso, como as contribu¸c˜oes magn´eticas s˜ao muito menores que aquelas provenientes do termo de intera¸c˜ao do campo el´etrico com o dipolo atˆomico [43] a influˆencia do campo magn´etico pode ser desprezada. Portanto, o hamiltoniano de intera¸c˜ao ˆHI descreve a intera¸c˜ao de um dipolo atˆomico ~d com o campo el´etrico ~E.
No eletromagnetismo cl´assico a energia de intera¸c˜ao de um dipolo el´etrico com um campo el´etrico ´e:
HI = −~d · ~E, (A.35)
onde ~d ´e o vetor momento de dipolo do ´atomo.
Para a quantiza¸c˜ao desta hamiltoniana ´e introduzido o operador mo- mento de dipolo:
ˆ
d=X
ij
A. Quantiza¸c˜ao do campo eletromagn´etico numa cavidade perfeitamente condutora52
onde
~
dij = hψi| ˆd |ψii = ~d∗ij. (A.37) O operador campo el´etrico ´e obtido por meio da seguinte express˜ao:
ˆ
E = −∂ ˆA
∂t, (A.38)
onde o operador ˆA ´e dado pela eq. (A.30). Assim,
ˆ E = X k r ~ 2ǫ0L3ωk n
iωkˆak(t)ei~k·~r− iωkˆa†k(t)e
−i~k·~ro~ǫ
k. (A.39)
Usando as eqs. (A.36) e (A.39) o hamiltoniano de intera¸c˜ao ˆHI obtido a partir da hamiltoniano cl´assica (eq. A.35) ´e:
ˆ HI = −ˆd · ˆE = −i~X ij X k r ωk 2ǫ0~L3 n ˆ
akσijdij~ ei~k·~r− ˆak†σijdij~ e−i~k·~ro~ǫk
= ~X
i,j X
k n
gk,i,jˆakσij + gk,i,j∗ aˆ†kσij o
, (A.40)
onde gk,i,j = gk,i,j(~r) ´e a constante de acoplamento ´atomo-campo:
gk,i,j(~r) = −i r ωk 2ǫ0~L3e i~k·~rdij~ · ~ǫk, (A.41)
a qual depende da frequˆencia ωk do modo, do volume da cavidade, do momento de dipolo ~dij e do vetor posi¸c˜ao ~r.
Trajet´orias Quˆanticas
A equa¸c˜ao mestra nos d´a a evolu¸c˜ao de um ensemble (um conjunto de estados puros: uma mistura estat´ıstica) ao invˆes da evolu¸c˜ao de um ´unico estado puro. Por´em, j´a ´e poss´ıvel observar experimentalmente a evolu¸c˜ao de um ´unico elemento do ensemble em um meio dissipativo como, por exemplo, a observa¸c˜ao experimental de saltos quˆanticos na fluorescˆencia de um ´unico ´ıon de trˆes n´ıveis [58, 59]. Tal fato manifestou o interessante em uma equa¸c˜ao com a qual fosse poss´ıvel obter a evolu¸c˜ao de um ´unico vetor de estado no contexto de sistema abertos. Em 1992, I.C. Percival sugeriu que uma equa¸c˜ao de Schr¨odinger estoc´astica (uma equa¸c˜ao n˜ao-linear para o vetor de estado com um termo aleat´orio) poderia ser utilizadas para este fim [?]. Ao mesmo tempo, H. J. Carmichael, inspirado pela teoria de fotodetec¸c˜ao, propˆos uma abordagem an´aloga, a qual denominou de “trajet´orias quˆanticas” [53].
O m´etodo das trajet´orias quˆanticas (TQ) ´e uma abordagem que permite descrever a dinˆamica de um estado puro no caso de sistemas abertos. Esse tratemento via TQ ´e equivalente `aquele proveniente da equa¸c˜ao mestra no li- mite em que toma-se a m´edia sobre muitas trajet´orias, como ser´a demonstrado abaixo. Al´em de se poder tratar a evolu¸c˜ao de estados puros, o m´etodo das TQ proporciona uma fant´astica t´ecnica de simula¸c˜ao computacional para equa¸c˜oes mestras. Isso ocorre pois vamos lidar o tempo todo com vetores de estado e n˜ao com operadores densidade e portanto, se o espa¸co de Hilbert do sistema tem dimens˜ao N ent˜ao teremos que obter a solu¸c˜ao de um sistema de N equa¸c˜oes e
B. Trajet´orias Quˆanticas 54
n˜ao N2 como no caso da equa¸c˜ao mestra.
Supondo que a dinˆamica do operador densidade do sistema ˆρ seja dada pela equa¸c˜ao mestra:
˙ˆρ = ihH, ˆˆ ρi+γ 2
2 ˆAˆρ ˆA†− ˆρ ˆA†A − ˆˆ A†Aˆˆρ, (B.1) onde ˆH ´e o hamiltoniano do sistema, ˆA um operador bosˆonico ou um operador fermiˆonico de dois n´ıveis (ˆσz ou ˆσ± ) e γ a taxa de decaimento associada ao processo. Podemos reescrever esta equa¸c˜ao da seguinte forma:
˙ˆρ + iHˆef fρ − ˆˆ ρ ˆHef f= γ ˆAˆρ ˆA†, (B.2) onde ´e definido o operador n˜ao-hermitiano:
ˆ
Hef f = ˆH − i γ 2Aˆ
†A.ˆ (B.3)
A trajet´oria quˆantica ´e gerada da seguinta maneira: dado o estado inicial |ψ(t)i, existem duas possibilidade. Primeira, o sistema evolui n˜ao-unitariamente segundo o hamiltoniano (B.3):
|ψ(t + δt)i = e−i ˆHhef fδt|ψ(t)i , (B.4)
ou sofre um “salto quˆantico” descrito como
|ψ(t + δt)i = ˆA |ψ(t)i . (B.5)
Observe que estas opera¸c˜oes s˜ao n˜ao-unit´arias e portanto a norma do vetor ´e alterada em cada passo, sendo necess´ario normaliz´a-lo. Para decidir entre as duas possibilidades ´e gerado um n´umero aleat´orio na entre 0 e 1 e este ´e comparado com a probabilidade de ocorrer um salto P . A probabilidade P de que ocorra ao menos um salto num dado intervalo de tempo ´e simplesmente quanto a norma do estado (B.4) diminui, ou seja
P = 1 − hψ(t + δt)|ψ(t + δt)i , (B.6)
sendo |ψ(t + δt)i dado por (B.4). Para δt pequeno a probabilidade P passa a ser dada por:
onde ´e poss´ıvel notar que a probabilidade diminui a medida que γ torna-se menor.
Assim, dado |ψ(t)i o estado evolu´ıdo |ψ(t + δt)i ´e obtido atrav´es do seguinte algoritmo:
1) Calcule a aprobabilidade P de que ocorra um salto segundo a eq. (B.7).
2) Gere um n´umero aleat´orio na entre 0 e 1 e compare com P . Decida qual das duas possibilidades ser´a usada como segue:
Se na < P ocorre um salto e o sistema colapsa no estado normalizado:
|ψi −→ q A |ψ(t)iˆ hψ(t)| ˆA†A |ψ(t)iˆ
.
Se na≥ P ent˜ao o sistema evolui segundo o hamiltoniano n˜ao-hermitiano (B.3). O estado normalizado ´e ent˜ao:
|ψi −→ e
−i ˆHef fδt|ψ(t)i
1 − P ,
ou, para δt pequeno,
|ψi −→ (1 − i ˆHδt − (γ/2)δt ˆA
†A) |ψiˆ
1 − P . (B.8)
3) Repita estes passos at´e obter uma trajet´oria completa.
Como mencionado no in´ıcio deste apˆendice os resultados obtidos via trajet´orias quˆanticas devem coincidir com aqueles obtidos atrav´es da equa¸c˜ao mestra. Para verificar isso, apresento agora uma demonstra¸c˜ao desse fato. A evolu¸c˜ao do operador densidade |ψi hψ| num intervalo ∆t ´e dada pela soma de duas possibilidades:
|ψi hψ| → P |ψsaltoi hψsalto| + (1 − P ) |ψsem−saltoi hψsem−salto| . (B.9) Usando (B.7) e (B.8) teremos
|ψi hψ| → γ∆t ˆA |ψi hψ| ˆA† (B.10)
B. Trajet´orias Quˆanticas 56
como consideramos ∆t pequeno ent˜ao
|ψi hψ| → |ψi hψ| − i∆thH, |ψi hψ|ˆ i (B.11)
+ γ
2∆t
2 ˆA |ψi hψ| ˆA†− |ψi hψ| ˆA†A − ˆˆ A†A |ψi hψ|ˆ , ou ∆ρ ∆t = i h ˆ H, ρi+γ 2 2 ˆAρ ˆA†− ρ ˆA†A − ˆˆ A†Aρˆ , (B.12) que torna-se a equa¸c˜ao mestra no limite de ∆t → 0.