Hamiltoniano de Transferˆ encia - http://www.livrosgratis.com.br

Na constru¸cão de um Hamiltoniano geral, porém simples, consideremos os el´ e-trons de condu¸cão da banda ‘s’ como part´ıculas quase livres. De fato isto é válido para metais ferromagnéticos, de modo que levaremos em conta apenas a intera¸cão de troca (ou exchange) entre os elétrons ‘s’ quase livres, e os elétrons mais localizados da banda ‘d’, além da energia cinética dos elétrons ‘s’. Se o número de s´ıtios é muito grande podemos considerar um vetor densidade de spin para os elétrons ‘d’ sendo uma fun¸cão cont´ınua cont´ınua, em caso contrário somamos sobre todos os s´ıtios de forma discreta. O Hamiltoniano de um único elétron é mostrado abaixo:

H_e = p² 2m −

d³x⁰J(x,x⁰)S(x⁰)·~σ (1.14) ondeS(x⁰) é a densidade de spin da rede (elétrons ‘d’),J(x,x⁰) é a integral de troca e~σ é o operador de spin para os elétrons ‘s’, dado pelas matrizes de Pauli.

No contexto de Segunda Quantiza¸c˜ao [38] definimos os operadores de campo:

Ψ(x) =X

k,σ

c_kσϕ_k(x)χ_σ (1.15)

Ψ^†(x) =X

k,σ

ϕ^∗_k(x)χ^†_σc^†_kσ (1.16) ondec^†_kσ eckσ são os operadores de cria¸cão e aniquila¸cão fermiônicos,ϕ(x) a fun¸cão de ondas orbital e χ_σ o spinor de Pauli associado. Sem perder a generalidade, mas sendo bastante útil quando temos uma barreira de potencial, podemos fazer a seguinte separa¸cão para os operadores de campo:

Ψ(x) = Ψ_L(x) + Ψ_R(x) (1.17)

onde Ψ_L(x) é o conjunto de operadores à esquerda de uma barreira de potencial e ΨR(x) é o conjunto de operadores que age à direita de uma barreira de poten-cial, sendo que a barreira pode ser considerada suficientemente estreita para que possamos resolver o problema na interface através de um hamiltoniano de trans-ferência envolvendo os coeficientes de transmissão e reflexão para tunelamento. Os parâmetros efetivos da barreira serão conhecidos através da análise do fenômeno de tunelamento na barreira. A conversão do hamiltoniano eletrônico para as variáveis

de campo ´e mostrada abaixo H =

d³xΨ^†(x)H_e(x)Ψ(x), (1.18) onde H_e é o hamiltoniano eletrônico em considera¸cão, separável em um termo de origem cinética e outro de intera¸cão de troca:

H_cin^e = p² 2m H_exch^e =−

d³x⁰J(x,x⁰)S(x⁰)·~σ Consideremos cada um dos termos abaixo:

H_cin= Z

d³xΨ^†(x)p²

2mΨ(x) (1.19)

H_exch=− Z

d³x Z

d³x⁰J(x,x⁰)S(x⁰)·Ψ^†(x)~σΨ(x) (1.20) fazendo primeiramente a an´alise de (1.19), utilizando a separa¸c˜ao (1.17):

H_cin= Z

d³x(Ψ^†_L(x) + Ψ^†_R(x))p²

2m(Ψ_L(x) + Ψ_R(x)). (1.21) Procedendo com a expans˜ao dos termos, obtemos

Hcin = Z

d³x

Ψ^†_L(x)p²

2mΨL(x) + Ψ^†_R(x)p²

2mΨR(x)+

+Ψ^†_L(x)p²

2mΨR(x) + Ψ^†_R(x)p²

2mΨL(x)

O significado de cada termo é bastante claro e não necessita maiores explica¸cões.

Tem-se para os operadores campo:

Ψ_R(x) =X

k,σ

c^R_kσϕ^R_k(x)χ_σ (1.22)

Ψ^†_R(x) =X

k,σ

ϕ^R∗_k (x)χ^†_σc^R†_kσ (1.23) Ψ_L(x) =X

k,σ

c^L_kσϕ^L_k(x)χ_σ (1.24) Ψ^†_L(x) =X

k,σ

ϕ^L∗_k (x)χ^†_σc^L†_kσ (1.25)

13 Após inserirmos as expressões (1.22)-(1.25) no Hamiltoniano, o resultado para os termos que não envolvem transferência de um lado a outro é o seguinte:

d³xΨ^†_α(x)p²

2mΨ_α(x) = X

kσ,k⁰σ⁰

c^α†_kσc^α_k0σ⁰

d³xϕ^α∗_k (x)p²

2mϕ^α_k0(x)χ^†_σχ_σ⁰

onde α=L, R denota o eletrodo esquerdo (L) ou direito (R). Os spinores de Pauli obedescem a seguinte rela¸c˜ao

χ^†_σχ_σ⁰ =δ_σσ⁰

e para fun¸c˜oes de ondas planas o operador momentum pode ser dado da forma abaixo

p=−i~∇=−i~k sendo o resultado final:

d³xϕ^α∗_k (x)p²

2mϕ^α_k0(x) = ~²k² 2m δ_kk⁰

Considerando-se as rela¸c˜oes acima tem-se o seguinte resultado:

H_cin^R +H_cin^L =X

kσ,α

~²k² 2m c^α†_kσc^α_kσ

Os termos que realmente interessam na transferência, ou seja, nas propriedades de transporte, que são os termos de tunelamento, são analisados abaixo:

d³xΨ^†_L(x)p²

2mΨR(x) = X

kσ,k⁰σ⁰

c^L†_kσc^R_k⁰_σ⁰ Z

d³xϕ^L∗_k (x)p²

2mϕ^R_k⁰(x)χ^†_σχσ⁰

e Z

d³xΨ^†_R(x)p²

2mΨL(x) = X

kσ,k⁰σ⁰

c^R†_kσc^L_k⁰_σ⁰ Z

d³xϕ^R∗_k (x)p²

2mϕ^L_k⁰(x)χ^†_σχσ⁰

Vamos analisar apenas uma das integrais, já que a outra resultará em uma ex-pressão semelhante. Novamente as rela¸cões entre spinores são válidas e temos por-tanto:

d³xΨ^†_L(x)p²

2mΨR(x) = X

kk⁰σ

c^L†_kσc^R_k⁰_σ Z

d³xϕ^L∗_k (x)p²

2mϕ^R_k⁰(x)

Definimos agora o coeficiente de transmiss˜ao de tunelamento direto (sem spin-flip, ou seja sem invers˜ao de spin):

t^d_kk0 =< k, L|H_cin|k⁰, R >=

d³xϕ^L∗_k (x)p²

2mϕ^R_k0(x) (1.26) e dessa forma o resultado final para os termos de transferência cinéticos é:

H_cin^L↔R=X

kk⁰σ

t^d_kk0(c^L†_kσc^R_k0σ +c^R†_k0σc^L_kσ) (1.27) Somando ambos os termos temos a parte cin´etica do Hamiltoniano:

H_cin= X

kσ,α=(L,R)

~²k²

2m c^α†_kσc^α_kσ+X

kk⁰σ

t^d_kk0(c^L†_kσc^R_k0σ +c^R†_k0σc^L_kσ) (1.28) Os termos seguintes são os termos de troca (1.20), que levam em conta a intera¸cão do elétron com mágnons, nos quais pode haver spin-flip no tunelamento. Utilizando (1.17)

H_exch =− Z

d³x Z

d³x⁰J(x,x⁰)S(x⁰)·(Ψ^†_L(x) + Ψ^†_R(x))~σ(Ψ_L(x) + Ψ_R(x)) (1.29) Novamente haverá 4 termos a serem analisados. Iniciamos pelos termos em que não há intera¸cão com a barreira:

H_exch^α =− Z

d³x Z

d³x⁰J(x,x⁰)S(x⁰)·Ψ^†_α(x)~σΨ_α(x) (1.30) que são corre¸cões à energia do elétron em cada um dos lados da barreira, devido à intera¸cão de troca em cada lado.

H_exch^α =− X

kσ,k⁰σ⁰

c^α†_kσc^α_k⁰_σ⁰ Z

d³x Z

d³x⁰Jα(x,x⁰)ϕ^α∗_k ϕ^α_k⁰Sα(x⁰)·χσ †~σχσ⁰

Agora utilizamos a seguinte expans˜ao:

~σ=σ_xe_x+σ_ye_y+σ_ze_z =σ₊e₊+σ−e−+σ_ze_z onde temos:

σ±=σ_x±iσ_y e±= 1

√2(ex∓iey) e as rela¸c˜oes de produto escalar:

e±·e± = 0

15 e±·e∓ = 1

As opera¸cões com spinores de Pauli também são conhecidas:

χ^†_σσ_zχ_σ⁰ =σδ_σσ⁰ (1.31) χ^†_σσ₊χ_σ⁰ =δσ↑δ_σ⁰↓ (1.32) χ^†_σσ−χ_σ⁰ =δσ↓δ_σ⁰↑ (1.33) Podemos finalmente escrever

χ^†_σ~σχ_σ⁰ =δσ↑δ_σ⁰↓e₊+δσ↓δ_σ⁰↑e−+σδ_σσ⁰e_z (1.34) sendo o resultado (1.34) muito importante e ser´a utilizado futuramente. Agora temos

H_exch^α =− X

kσ,k⁰σ⁰

c^α†_kσc^α_k0σ⁰

Z d³x

d³x⁰J_α(x,x⁰)ϕ^α∗_k ϕ^α_k0S_α(x⁰)·(δ_σ↑δ_σ⁰_↓e₊+δ_σ↓δ_σ⁰_↑e₋+σδ_σσ⁰e_z) Fa¸camos o spin local estar orientado na dire¸c˜aoz longe da interface com a

bar-reira, ou seja:

S_α(x⁰)·(δσ↑δ_σ⁰↓e₊+δσ↓δ_σ⁰↑e−+σδ_σσ⁰e_z) = σS_α^z(x⁰)δ_σσ⁰ ficando para o termo de troca a express˜ao abaixo

H_exch^α =− X

kσ,k⁰σ⁰

c^α†_kσc^α_k0σ⁰

Z d³x

d³x⁰J_α(x,x⁰)ϕ^α∗_k ϕ^α_k0σS_α^z(x⁰)δ_σσ⁰

Somando sobre os spins reduzimos a express˜ao para H_exch^α =−X

kσ

σc^α†_kσc^α_kσ Z

d³x Z

d³x⁰J_α(x,x⁰)ϕ^α∗_k (x)ϕ^α_k(x)S_α^z(x⁰)

e definimos a separa¸c˜ao de energia devido ao termo de troca, que remove a de-generescˆencia de spin:

∆_α = Z

d³x Z

d³x⁰J_α(x,x⁰)ϕ^α∗_k (x)ϕ^α_k(x)S_α^z(x⁰) (1.35) ent˜ao o Hamiltoniano longe da barreira fica corrigido pelo fator abaixo:

H_exch^α =−X

kσ

σ∆_αc^α†_kσc^α_kσ (1.36)

Prosseguindo com os c´alculos, tem-se os termos de tunelamento com spin-flip, dados por:

H_exch^R↔L =− Z

d³x Z

d³x⁰J(x,x⁰)S(x⁰)·(Ψ^†_L(x)~σΨR(x) + Ψ^†_R(x)~σΨL(x)) (1.37) Substituimos (1.22)-(1.25), e utilizamos (1.31)-(1.33), (1.34) e as rela¸cões do produto escalar para obter, agora na região de barreira, com mágnons:

S_α(x⁰)·(δσ↑δ_σ⁰↓e₊+δσ↓δ_σ⁰↑e−+σδ_σσ⁰e_z) =δσ↑δ_σ⁰↓S⁻(x⁰)+δσ↓δ_σ⁰↑S⁺(x⁰)+σS_α^z(x⁰)δ_σσ⁰ Fazemos aqui também a separa¸cão entre os termos de spin local do lado direito e do lado esquerdo e supomos não haver intera¸cão de troca no interior da barreira, que é constitu´ıda normalmente de material isolante:

S⁺ =S_L⁺+S_R⁺ S⁻ =S_L⁻+S_R⁻ S^z =S_L^z +S_R^z e ap´os os c´alculos obtemos:

H_exch^L↔R=−X

kk⁰

Z d³x

d³x⁰J(x,x⁰)×

×n

ϕ^L∗_k (x)ϕ^R_k0

c^L†_k↓c^R_k0↑(S_L⁺(x⁰) +S_R⁺(x⁰))+

+c^L†_k↑c^R_k0↓(S_L⁻(x⁰) +S_R⁻(x⁰)) + (S_L^z(x⁰) +S_R^z(x⁰))(c^L†_k↑c^R_k0↑−c^L†_k↓c^R_k0↓) + ϕ^R∗_k (x)ϕ^L_k⁰

c^R†_k↓c^L_k⁰_↑(S_L⁺(x⁰) +S_R⁺(x⁰))+

+c^R†_k↑c^L_k0↓(S_L⁻(x⁰) +S_R⁻(x⁰)) + (S_L^z(x⁰) +S_R^z(x⁰))(c^R†_k↑c^L_k0↑−c^R†_k↓c^L_k0↓)o

(1.38) Adicionando os dois termos do hamiltoniano, verificamos a existˆencia de termos de cada um dos lados da barreira e os termos de transferˆencia:

H =H_L+H_R+HL↔R=H₀+H_I H0 =HL+HR

H_I =HL↔R

17 Finalmente chegamos a:

H0 = X

kσ,α=(L,R)

Ekσc^α†_kσc^α_kσ (1.39) onde

E_kσ = ~²k²

2m −σ∆_α e ∆_α j´a definido na equa¸c˜ao (1.35).

Como estamos interessados nos fenômenos de transporte, ou seja, transferência de elétrons de um lado a outro da barreira, apenas o hamiltoniano de intera¸cão será necessário na análise:

HI =X

kk⁰σ

t^d_kk⁰(c^L†_kσc^R_k⁰_σ +c^R†_k0σc^L_kσ)−

−X

kk⁰

Z d³x

d³x⁰J(x,x⁰)×

×n

ϕ^L∗_k (x)ϕ^R_k⁰

c^L†_k↓c^R_k⁰_↑(S_L⁺(x⁰) +S_R⁺(x⁰))+

+c^L†_k↑c^R_k⁰_↓(S_L⁻(x⁰) +S_R⁻(x⁰)) + (S_L^z(x⁰) +S_R^z(x⁰))(c^L†_k↑c^R_k⁰_↑−c^L†_k↓c^R_k⁰_↓) + ϕ^R∗_k (x)ϕ^L_k0

c^R†_k↓c^L_k0↑(S_L⁺(x⁰) +S_R⁺(x⁰))+

+c^R†_k↑c^L_k0↓(S_L⁻(x⁰) +S_R⁻(x⁰)) + (S_L^z(x⁰) +S_R^z(x⁰))(c^R†_k↑c^L_k0↑−c^R†_k↓c^L_k0↓)o

(1.40) Podemos colocar em uma forma um pouco mais compacta a express˜ao acima:

H_I =X

kk⁰σ

t^d_kk⁰(c^L†_kσc^R_k⁰_σ +c^R†_k0σc^L_kσ)−

−X

kk⁰

Z d³x

d³x⁰J(x,x⁰)×

×n

ϕ^L∗_k (x)ϕ^R_k0

c^L†_k↓c^R_k0↑(S_L⁺(x⁰) +S_R⁺(x⁰))+

+c^L†_k↑c^R_k0↓(S_L⁻(x⁰) +S_R⁻(x⁰)) + (S_L^z(x⁰) +S_R^z(x⁰))(c^L†_k↑c^R_k0↑−c^L†_k↓c^R_k0↓)

+H.c.o

(1.41) Agora realizaremos uma transforma¸cão de Holstein-Primakoff [40] para possibi-litar a quantiza¸cão da magnetiza¸cão S em ondas de spin, mais adiante, e levaremos em conta termos em primeira ordem apenas:

S_j⁺ =√ 2S

1−a^†_ja_j 2S

1/2

a_j ≈√

2Sa_j (1.42)

S_j⁻ =√ 2Sa^†_j

1− a^†_ja_j 2S

1/2

≈√

2Sa^†_j (1.43)

S_j^z =S−a^†_ja_j (1.44)

onde a aproxima¸cão se faz válida pelo fato de que a^†_ja_j/(2S)1 no caso de baixas temperaturas, e fenômenos de intera¸cão em segunda ordem serão desprez´ıveis.

Nas vari´aveis de Holstein-Primakoff fica-se com:

H_I =X

kk⁰σ

t^d_kk0(c^L†_kσc^R_k0σ +c^R†_k0σc^L_kσ)−

−X

kk⁰

Z d³x

d³x⁰J(x,x⁰)×

×n

ϕ^L∗_k (x)ϕ^R_k0

c^L†_k↓c^R_k0↑(p

2S_La_L(x⁰) +p

2S_Ra_R(x⁰))+

+c^L†_k↑c^R_k0↓(p

2S_La^†_L(x⁰) +p

2S_Ra^†_R(x⁰))+

+(S_L^z(x⁰) +S_R^z(x⁰))(c^L†_k↑c^R_k0↑−c^L†_k↓c^R_k0↓)

+H.c.o

(1.45) Uma segunda transforma¸cão é poss´ıvel, para as variáveis de mágnons, que são excita¸cões de ondas de spin interagindo com os elétrons por absor¸cão ou emissão [40-43] (para uma breve descri¸cão da teoria de mágnons ver também [44]):

a(x⁰) = 1

√ N

exp[−iq·x⁰]b_q

a^†(x⁰) = 1

√N X

exp[iq·x⁰]b^†_q Fazendo a mudan¸ca para as vari´aveis dos m´agnons, tem-se:

H_I =X

kk⁰σ

t^d_kk0(c^L†_kσc^R_k0σ +c^R†_k0σc^L_kσ)−

−X

kk⁰

Z d³x

d³x⁰J(x,x⁰)×

×n

ϕ^L∗_k (x)ϕ^R_k0

√ N

exp[−iq·x⁰]c^L†_k↓c^R_k0↑(p

2S_Lb^L_q+p

2S_Rb^R_q)+

+ 1

√N X

exp[iq·x⁰]c^L†_k↑c^R_k0↓(p

2S_Lb^L†_q +p

2S_Rb^R†_q )+

S_L+S_R− 1 N

qq⁰

exp[i(q−q⁰)·x⁰](b^R†_q b^R_q0 +b^L†_q b^L_q0)

(c^L†_k↑c^R_k0↑−c^L†_k↓c^R_k0↓)

+H.c.o (1.46) Os termos acima podem ser reagrupados de forma a colocar a soma nos momentos qdos m´agnons em evidˆencia:

H_I =X

kk⁰σ

t^d_kk0(c^L†_kσc^R_k0σ +c^R†_k0σc^L_kσ)−

− 1

√N X

kk⁰q

Z d³x

d³x⁰J(x,x⁰)ϕ^L∗_k (x)ϕ^R_k0(x)e^−iq·x⁰

c^L†_k↓c^R_k0↑(p

2S_Lb^L_q+p

2S_Rb^R_q)

−

− 1

√N X

kk⁰q

Z d³x

d³x⁰J(x,x⁰)ϕ^L∗_k (x)ϕ^R_k0(x)e^iq·x⁰

c^L†_k↑c^R_k0↓(p

2S_Lb^L†_q +p

2S_Rb^R†_q )

−

−1 N

kk⁰q

Z d³x

d³x⁰J(x,x⁰)ϕ^L∗_k (x)ϕ^R_k0(x)×

SL+SR−X

q⁰

e^i(q−q⁰^)·x⁰(b^R†_q b^R_q⁰ +b^L†_q b^L_q⁰)

(c^L†_k↑c^R_k⁰_↑−c^L†_k↓c^R_k⁰_↓) +H.c. (1.47) Em (1.47) o significado de cada um dos termos é bastante simples e não neces-sita maiores comentários. Vemos, entretanto, que o último termo contém intera¸cão com mágnons envolvendo cria¸cão e aniquila¸cão de mágnons de vetor de onda q di-ferentes. A expressão acima é completa, mas uma pequena simplifica¸cão pode ser feita, considerando que para o termob^†_qb_q⁰ a contribui¸cão significativa se dá apenas paraq=q⁰, conservando o número de mágnons. O que fazemos é desprezar termos envolvendo mais de um mágnon, então escrevemos:

H_I =X

kk⁰σ

t^d_kk0(c^L†_kσc^R_k0σ +c^R†_k0σc^L_kσ)−

− 1

√N X

kk⁰q

Z d³x

d³x⁰J(x,x⁰)ϕ^L∗_k (x)ϕ^R_k0(x)e^−iq·x⁰

c^L†_k↓c^R_k0↑(p

2S_Lb^L_q+p

2S_Rb^R_q)

−

− 1

√N X

kk⁰q

Z d³x

d³x⁰J(x,x⁰)ϕ^L∗_k (x)ϕ^R_k0(x)e^iq·x⁰

c^L†_k↑c^R_k0↓(p

2S_Lb^L†_q +p

2S_Rb^R†_q )

−

−1 N

kk⁰q

Z d³x

d³x⁰J(x,x⁰)ϕ^L∗_k (x)ϕ^R_k⁰(x)×

S_L+S_R−(b^R†_q b^R_q +b^L†_q b^L_q)

(c^L†_k↑c^R_k⁰_↑−c^L†_k↓c^R_k⁰_↓) +H.c. (1.48) Agora definimos o coeficiente de tunelamento dependente do spin (através da integral de exchange e da intera¸cão com os mágnons):

t^J_kk0q =− Z

d³x Z

d³x⁰J(x,x⁰)ϕ^L∗_k (x)ϕ^R_k0(x)e^iq·x⁰ (1.49) O hamiltoniano finalmente pode ser escrito na forma apresentada na literatura, como por exemplo na Ref. [50], utilizando a defini¸c˜ao (1.49):

HI =X

kk⁰σ

t^d_kk⁰(c^L†_kσc^R_k⁰_σ +c^R†_k0σc^L_kσ)+

+ 1

√ N

kk⁰q

t^J_kk0q

c^L†_k↓c^R_k0↑(p

2S_Lb^L_q+p

2S_Rb^R_q) +

+ 1

√ N

kk⁰q

t^J_kk0q

c^L†_k↑c^R_k0↓(p

2S_Lb^L†_q +p

2S_Rb^R†_q ) +

+1 N

kk⁰q

t^J_kk0q

S_L+S_R−(b^R†_q b^R_q +b^L†_q b^L_q)

(c^L†_k↑c^R_k0↑ −c^L†_k↓c^R_k0↓) +H.c. (1.50) ou ainda:

H_I =X

kk⁰σ

t^d_kk0(c^L†_kσc^R_k0σ +c^R†_k0σc^L_kσ)+

+ 1

√ N

kk⁰q

t^J_kk0q(c^L†_k↓c^R_k0↑+c^R†_k0↑c^L_k↓)(p

2S_Lb^L_q+p

2S_Rb^R_q)+

+ 1

√ N

kk⁰q

t^J_kk0q(c^L†_k↑c^R_k0↓+c^R†_k0↓c^L_k↑)(p

2S_Lb^L†_q +p

2S_Rb^R†_q )+

+1 N

kk⁰q

t^J_kk0q

S_L+S_R−(b^R†_q b^R_q +b^L†_q b^L_q)

(c^L†_k↑c^R_k0↑−c^L†_k↓c^R_k0↓+H.c.). (1.51) O passo seguinte é o cálculo das correntes de tunelamento. Isto será feito na próxima se¸cão.

No documento http://www.livrosgratis.com.br (páginas 30-40)