2. AS BASES DOS MODELOS DE AVALIAÇÃO DE ACTIVOS DO TIPO C-CAPM
2.8. HANSEN-JAGANNATHAN DISTANCE E EQUAÇÕES DE EULER
Um outro tema que importa referir, visto que os modelos de avaliação de activos são uma aproximação à realidade e além de se testar se determinado modelo é verosímil face aos dados reais, tem a ver com a aferição da qualidade do modelo, comparando o desempenho com modelos alternativos, implicando um teste de especificação do modelo.
A métrica desenvolvida em 1997, Hansen-Jagannathan distance (HJ-distance), tem sido usada para o diagnóstico e como ferramenta de selecção de modelos. Na prática é realizado um teste para aferir se dois modelos têm HJ-distance igual, pois a comparação das HJ-distance não é por si esclarecedora, pois a diferença entre os dois modelos poder não ser estatisticamente significativa. Pela sua relevância para trabalhos futuros a esta investigação, é aprofundado este conceito de HJ-distance, embora o trabalho empírico desenvolvido nesta tese não se baseie neste método.
Hansen e Jagannathan (1997), sugerem uma solução para comparar modelos Mt
( )θ
j , ondeθ
jsão parâmetros do “j
th SDF model”, usando a distância métrica (HJ distance):( )
j T( )
j T T( )
j T g G g Distθ
θ
θ
θ 1 ´ min − ≡ (17)A minimização é baseada na aplicação standard do GMM mas com uma matriz não óptima, WT =GT−1. Esta matriz, não óptima, já não depende dos parâmetros
θ
j, e a métrica DistTé comparável entre modelos.Assim, a métrica “HJ distance” tem utilidade para: - Comparação entre modelos.
- Evidencia uma medida do “model misspecification”, pois mede a distância entre o SDF do modelo e o ponto mais próximo de todos os SDF´s associados aos assets.
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A métrica de Hansen-Jagannathan reconhece explicitamente que todos os modelos, sendo abstrações da realidade, são mal especificados, e fornece assim um método para comparar modelos avaliando qual o que apresenta erros de especificação menores. Esta abordagem de quantificação e comparação de erros de especificação dos modelos é muito relevante para a investigação econométrica no âmbito do asset pricing, permitindo um upgrade aos testes de OID, que verificam se um determinado modelo é verdadeiro contra a hipótese de ter algum erro de especificação, o que, se por definição todos têm erros, não acrescenta valor significativo.
Isto vem colocar grande interesse no trabalho empírico com base em metodologias de comparação de modelos (competing misspecified models), reduzindo interesse em testes de hipóteses de modelos individuais ou se determinado modelo é especificado sem erro. Contudo, a abordagem de HJ tem uma limitação. Não fornece um método para comparar as HJ distance estatisticamente. Permite saber se uma determinada HJ distance é menor ou maior que outra, mas serão estatisticamente diferentes?
Chen e Ludvigson (2009) desenvolveram um procedimento estatístico para comparar HJ distances de K modelos competitivos. A vantagem desta abordagem é que pode ser usada para comparar qualquer número de múltiplos modelos competitivos de forma geral, com qualquer lei estacionária para os dados.
Suponhamos que se pretende comparar as HJ distance de vários modelos estimados usando esta técnica.
Define-se ad2j,T - squared HJ distance do modelo j:
( )
(
)
2 2 ,T T j j Dist d ≡θ
(18)A técnica assenta nos passos seguintes:
1. Definição do modelo benchmark com menor (HJ dist)2entre os k modelos d2j,T. 2. Hipótese nula é d12,T −d22,T ≤0, onde d2 T2, é o modelo seguinte com menor (HJ
dist)2. 3. Estatística de teste: 22, 2 , 1T T W d d T T ≡ − .
4. Se a hipótese nula é verdadeira, o valor TWnão deve ser grande, dado o erro da amostra.
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5. Dada a distribuição TW, rejeitar a hipótese nula se TW > th
95 percentil da distribuição TW .
Esta distribuição apresenta alguns problemas, calculando-se a distribuição via “block bootstrapping” (Chen e Ludvigson, 2009). Isto é valido para a maioria das aplicações, seja modelos paramétricos ou semi-paramétricos.
Este método de comparação estatística da HJ distance, segue a recomendação de Hansen-Jagannathan (1997), segundo a qual todos os modelos são mal especificados e são avaliados consoante a magnitude do seu erro de especificação, mas acrescenta algo novo permitindo uma avaliação estatística dos modelos. Este método pode ser usado complementarmente ou em vez do teste simples sobre especificação do modelo, mas só se aplica a casos onde se utiliza a matriz não óptima.
Outra razão para usar uma matriz não óptima reside no evitar problemas econométricos para amostras pequenas. Usar a matriz identidade revela-se mais robusto para amostras pequenas e permite investigar a performance do modelo para portfolios economicamente interessantes. Contudo, com WT =Ivai-se condicionar a função objetivo do GMM, visto estar dependente dos “initial test assets”.
Em qualquer aplicação empírica deve-se considerar estas questões e decidir se se pretende dar enfâse ao teste do modelo para se ajustar aos originais “test assets economically” ou à robustez da performance do modelo para os “test assets”.
Noutro âmbito de avaliação da qualidade dos modelos importa também reter o seguinte. Hansen e Singleton (1982), mostraram as dificuldades do modelo standard C-CAPM em explicar dados empíricos. Estas conclusões derivaram da investigação com base nas equações de Euler usando instrumentos,
x
t, para capturar a conditioning information sobre a qual os investidores têm as suas expectativas.Outra limitação empírica difícil de explicar mesmo para outros modelos, é a dimensão significativa dos “unconditional Euler equation errors” quando aplicado numa lógica cross-section dos asset returns (com instrumentos
x
ta ser um vector de 1´s).Lettau e Ludvigson (2009) mostraram que mesmo com valores livres paraβ e
γ
os erros são grandes, ou seja, ao contrário do EPP de Mehra e Prescott (1985), os significativos “Euler errors” não podem ser resolvidos com elevados valores de aversão ao risco.38
Os “Euler equation errors” podem ser interpretados economicamente como os “pricing errors”, pois são muito semelhantes em valor, sendo os últimos a diferença entre a média dos seus excess returns históricos sobre o EP (prémio de risco) do modelo.
Lettau e Ludvigson (2009) estimaram os erros da equação de Euler para dois conjuntos de asset returns, tendo concluído que o valor dos pricing errors nunca se aproxima de 0, para qualquer valor do CRAR. Ou seja, ao contrário do EPP, os erros da equação de Euler não se resolvem com valores de CRAR grandes.
Concluindo, explicar porque é que no standard CCAPM as unconditional equations de Euler são violadas, para qualquer valor dos parâmetros de preferências do modelo, permanece em aberto, tendo-se apostado em desenvolver novas formulações para as preferências e não tanto em explicar os “large unconditional Euler equation erros”.
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