Métodos de decomposição baseados em relaxação são frequentemente usados para particionar um problema em subproblemas mais fáceis, onde a integralidade das variáveis ou restrições rígidas são relaxadas (NOOR-E-ALAM; DOUCETTE, 2012). A heurística relax-and-fix, escrita em Wolsey (1998), consiste na decomposição de um modelo de programação inteira mista (MIP) de larga escala em vários subproblemas menores disjuntos. O tamanho limitado desses problemas permite a utilização de métodos exatos para sua solução. Embora a heurística vise obter uma solução viável, ela não garante a resolução do problema de forma ótima.
Estratégias do tipo R&F têm sido utilizadas com sucesso para resolver problemas cujas decisões são tomadas ao longo de um horizonte de tempo, onde cada decisão tem um impacto nas decisões futuras. Esse impacto tende a diminuir ao longo do horizonte de tempo (OLIVEIRA et. al, 2014). Exemplos de utilização do R&F
pode ser encontradas em: Belvaux e Wolsey (2000), Mercé e Fontan (2003), Ferreira
et al. (2010), Wu, Shi e Song (2012), Oliveira, Souza e Yunes (2014), Oliveita et al.
(2014), Baena e González (2015), Roshani, Gliglio e Paolucci (2017), Chen e Hao (2018) e Oliveira e Scarpin (2017, 2020, 2021).
A heurística R&F propõe solucionar o problema em etapas, sendo que cada etapa resolve de forma exata um subproblema derivado do original. A R&F é um método de decomposição do problema original, baseado no particionamento das variáveis binárias e/ou inteiras em 𝑅 conjuntos disjuntos, para resolver iterativamente uma sequência de MIP de dimensões menores. Observa-se que as variáveis são particionadas em três subconjuntos, onde apenas um desses mantém suas restrições de integralidade ou binárias, enquanto os demais conjuntos são fixados ou relaxados. O processo de relaxação das variáveis binárias consiste em torná-las contínuas no intervalo [0,1] e das variáveis inteiras em torná-las contínuas não negativas (ℝ+).
Desse modo, a estratégia R&F é uma heurística construtiva, isto é, em cada iteração resolve-se um problema parcial fixando estrategicamente um conjunto de variáveis obtidas em iterações anteriores (OLIVEIRA; SOUZA; YUNES, 2014).
Considerando um MIP e supondo que um conjunto de variáveis binárias e/ou inteiras são particionadas em 𝑅 conjuntos disjuntos 𝑄1, 𝑄2, ..., 𝑄𝑅, então resolve-se
sequencialmente os 𝑅 MIP, denotados por 𝑀𝐼𝑃𝑟 com 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅. Observa-se que 𝑅 determina o número de iterações da heurística.
Primeiro, resolve-se o problema 𝑀𝐼𝑃1 semi-relaxado, em que variáveis
pertencentes ao conjunto 𝑄1 são mantidas binárias e/ou inteiras e relaxa-se as demais
variáveis. A solução para esse problema fornece valores para as variáveis de decisões relacionadas ao conjunto 𝑄1. Estas serão fixadas nas iterações seguintes gerando o
𝑀𝐼𝑃2. No problema 𝑀𝐼𝑃2 as variáveis pertencentes ao conjunto 𝑄1 são fixadas, as
pertencentes ao conjunto 𝑄2 são mantidas inteiras e/ou binárias e relaxa-se as
demais. Para um subproblema 𝑀𝐼𝑃𝑟, com 2 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅, têm-se as variáveis associadas a 𝑄1∪ … ∪ 𝑄𝑟−1, fixadas de acordo com as soluções obtidas na resolução dos
𝑀𝐼𝑃𝑟(𝑟 = 1, … , 𝑟 − 1) anteriores. Adiciona-se a restrição de integralidade, às variáveis de 𝑄𝑟 e mantêm-se relaxadas as variáveis de 𝑄 − (𝑄1 ∪ … ∪ 𝑄𝑟) .
Sabe-se que a dificuldade na resolução de problemas de otimização inteiro-misto está associada as variáveis de decisões e seus relacionamentos nas restrições. Quanto maior o número de variáveis mais difícil tende a ser sua resolução. Portanto,
a heurística R&F tem por objetivo tornar a resolução de um 𝑀𝐼𝑃𝑟 mais fácil, uma vez
que o número de variáveis associadas ao submodelo é menor que as associadas ao 𝑀𝐼𝑃 original.
Com a resolução do 𝑀𝐼𝑃𝑅 espera-se determinar uma solução factível para o
𝑀𝐼𝑃 original. Uma descrição formal do algoritmo R&F pode ser observada no QUADRO 2.
QUADRO 2 - ALGORITMO CLÁSSICO RELAX-AND-FIX Particione as variáveis em 𝑅 conjuntos disjuntos Q𝑟, 𝑟 = 1, … , 𝑅
Para 𝒓 = 𝟏, … , 𝑹 faça
Relaxe as variáveis pertencentes a 𝑄𝑖, 𝑖 = 𝑟 + 1, … , 𝑅
se 𝒓 > 𝟏
Fixe as variáveis pertencentes a 𝑄𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑟 − 1, conforme a solução dos 𝑀𝐼𝑃𝑟 anteriores
Fim Se
Resolva o 𝑀𝐼𝑃𝑟 gerado
se 𝑀𝐼𝑃𝑟 infactível então
O particionamento não foi capaz de determinar uma solução viável
Exit para Fim Se
𝑟 = 𝑟 + 1
Fim Para
FONTE: O autor (2021).
Uma das desvantagens no uso da heurística R&F é a possibilidade de gerar uma solução inviável. Isto significa que, em uma dada iteração 𝑟, o respectivo subproblema 𝑀𝐼𝑃𝑟 pode ser infactível e o método termina sem uma
solução factível completa. A fim de evitar esta solução, pode-se adicionar um passo ao algoritmo clássico, que consiste em fixar parte da solução da iteração anterior e não todos os valores obtidos para as variáveis (FEDERGRUEN; MEISSNER; TZAUR, 2007). Escudeiro e Salmeron (2005) apresentam um algoritmo mais robusto para R&F denominado Enchanced Fix-and-Relax (EFR), nessa abordagem ao se obter uma solução infactível para o 𝑀𝐼𝑃𝑟 é realizado um retrocesso, resolvendo na próxima
iteração os subproblemas 𝑀𝐼𝑃𝑟−1 e 𝑀𝐼𝑃𝑟 conjuntamente. Na pior das hipóteses, esta
heurística acaba por resolver o modelo original.
A escolha das partições das variáveis do 𝑀𝐼𝑃 afetam o desempenho da heurística. Portanto, a partição do problema deve contemplar as características e
particularidades de cada problema, visando gerar soluções factíveis e de boa qualidade. Diversos métodos de partição das variáveis são apresentados na literatura. Entre esses, destaca-se a estratégia de decomposição das variáveis por períodos, proposta em Dillenberg, Escudeiro e Wu (1994), para a resolução de um modelo de dimensionamento de lotes. Devido à facilidade de execução e bons resultados obtidos, a estratégia tem sido aludida em diversos trabalhos desde então. Outras estratégias de decomposição são apresentadas com estratégias de decomposição em períodos, itens, classes iguais e níveis (CUNHA, 2013; FERREIRA, 2007). É comum, ainda, a combinação de duas ou mais dessas estratégias para a formulação de estratégias híbridas (ULBRICHT, 2015; MERCÉ; FONTAN, 2003).
A escolha do critério de fixação das variáveis tem forte influência no grau de dificuldade do subproblema gerado, podendo até mesmo eliminar a solução ótima do 𝑀𝐼𝑃 original. Para reduzir essa possibilidade, Cunha (2013) descreve uma estratégia que seleciona um conjunto de soluções mais promissoras, criando um conjunto de solução a cada iteração. O autor salienta a importância em controlar o tamanho desse conjunto, pois este pode crescer exponencialmente a cada iteração do algoritmo, essa estratégia foi chamada de relax-and-fix Forward Orientada a períodos com Pool de soluções.