1.5 Aplica¸c˜ oes: Propriedades refletoras
1.5.3 Hip´ erbole
Proposi¸c˜ao 1.16. Se o raio de luz for dirigido a um dos focos de um espelho hip´erbolico ser´a refletida em dire¸c˜ao ao outro foco, veja no figura (1.44).
Figura 1.44: Superf´ıcie refletora hiperb´olica
Demonstra¸c˜ao. Sejam F1 e F2 os focos da hiperbole, P um ponto qualquer da elipse, r a reta
que a fonte luminosa esteja apontada para o foco F1. Assim, considere o ponto N pertencente a
reta n no qual P est´a entre F1 e N e o ponto em r tal que P est´a entre R e F2. Por fim, sejam a
reta t bissetriz no ˆangulo \RP N e os pontos T e T0 em t, com P entre eles e T0 no mesmo semiplano do ponto N determinado pela reta r.
Pela Proposi¸c˜ao (1.10), tem-se que t ´e a reta tangente `a hip´erbole no ponto P , al´em disso perceba que os ˆangulos \RP T0 e \T0P N tem a mesma medida, mas \RP T0 = \F
2P T , pois s˜ao opostos
pelo v´ertice, logo \RP T0= \F
2P T . Portanto, segue o resultado pela 2a Lei de Reflex˜ao.
A proposi¸c˜ao indica que todo sinal luminoso ou sonoro que apontado para o foco de uma superf´ıcie refletora hiperb´olica ser´a refletido para o outro foco. O chamado telesc´opio de reflex˜ao utiliza esta propriedade uma vez que ´e constitu´ıdo, basicamente, por dois espelhos: o maior, que ´e parab´olico, o outro menor, que ´e hiperb´olico. Os dois espelhos est˜ao dispostos de maneira que al´em dos eixos coincidirem, o foco da par´abola est´a no mesmo lugar que o da hip´erbole, como mostra a figura (1.45).
Assim, quando os raios de luz refletem no espelho parab´olico, pela propriedade refletora da par´abola, eles s˜ao direcionados para o foco. P´orem, como o foco da par´abola ´e o mesmo foco da hi´erbole, pela propriedade refletora desta, os raios de luz refletem no espelho hiperb´olico e seguem a dire¸c˜ao pora o outro foco da hip´erbole. Os raios de luz passam atrav´es de um orif´ıcio no centro do espelho prim´ario, atr´as do qual est´a uma lente-ocular que permite corrigir ligeiramente a trajet´oria da luz, que chega finalmente aos olhos do observador ou `a part´ıcula fotogr´afica. A vantagem deste telesc´opio consiste em possuir um comprimento menor do que os telesc´opios de refra¸c˜ao, que s˜ao de lentes el´ıpticas, mas que possuem o mesmo poder de amplifica¸c˜ao.
Cap´ıtulo 2
Abordagem anal´ıtica
A Geometria Anal´ıtica tamb´em denominada de Geometria Coordenada foi descrita pela pri- meira vez na famosa obra Discours de la M´ethode do fil´osofo, f´ısico e matem´atico Ren´e Descartes (1596 -1650). Descartes, por vezes chamado de ”o fundador da Filosofia Moderna”e ”o pai da matem´atica moderna”, obteve reconhecimento matem´atico com a publica¸c˜ao desta obra na qual sugeriu a fus˜ao da ´algebra com a geometria. Neste contexto, conceitos da geometria s˜ao analisados por meio de processos alg´ebricos, ou seja, s˜ao utilizados m´etodos e s´ımbolos alg´ebricos para repre- sentar e resolver problemas geom´etricos. Sua importˆancia est´a presente no fato de que estabelece uma correspondˆencia entre equa¸c˜oes alg´ebricas e curvas geom´etricas.
Dessa forma, neste cap´ıtulo, as cˆonicas ser˜ao vista do ponto de vista anal´ıtico. Assim, ´e ne- cess´ario que o leitor tenha conhecimento dos conceitos b´asicos da Geometria Anal´ıtica plana, para isso veja [2]. Al´em disso, alguns dos conhecimentos obtidos no cap´ıtulo 1 s˜ao pr´e-requisitos para compreender alguns dos resultados que ser˜ao expostos.
2.1
Equa¸c˜ao cartesiana geral de uma cˆonica
Foi visto no cap´ıtulo 1 que cˆonicas s˜ao curvas planas obtidas por interse¸c˜ao de um cone circular (neste caso reto) com um plano, como tamb´em foram mostrados resultados acerca do foco, reta diretriz e excentricidade. Um destes resultados foi a Proposi¸c˜ao (1.4) na qual afirma que sendo P um ponto qualquer da cˆonica, F um de seus focos (ou o ´unico) e D o ponto da reta diretriz d, tal que P D ´e perpendicular a d, tem-se ent˜ao que P DP F = , em que ≥ 0 ´e o valor da excentricidade associada a tal cˆonica.
Dessa forma, adotando um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas xOy e considerando que o ponto F tenha coordenadas F = (x0, y0) e a reta d tenha equa¸c˜ao d : ax + by + c = 0, tem-se
que P DP F = pode ser reescrito algebricamente da seguinte forma:
p(x − x0)2+ (y − y0)2 |ax+by+c|√
a2+b2
= . (2.1)
Assim desenvolvendo a equa¸c˜ao (2.1), tem-se que p(x − x0)2+ (y − y0)2 |ax+by+c|√ a2+b2 = ⇔ p (x − x0)2+ (y − y0)2 = |ax + by + c| √ a2+ b2 ⇔ (x − x0)2+ (y − y0)2 = 2 a2+ b2(ax + by + c) 2 ⇔
(x − x0)2+ (y − y0)2= (kax + kby + kc)2, com k2 =
2 a2+ b2.
Desta forma, tem-se que
(x − x0)2+ (y − y0)2= (px + qy + r)2, em que, p = ka q = kb r = kc Portanto, a equa¸c˜ao (2.2) reduz a equa¸c˜ao geral
Ax2+ Bxy + Cy2+ Dx + Ey + F = 0, (2.2) na qual, A = 1 − p2 B = −2pq C = 1 − q2 D = −2(x0+ pr) E = −2(y0+ qr) F = x20+ y20− r2
Assim, a equa¸c˜ao (2.2) ´e chamada de equa¸c˜ao cartesiana geral de uma cˆonica e pode representar desde pontos, retas e circunferˆencias, at´e as cˆonicas, alvo deste estudo, mas isto ser´a mostrado mais adiante.
Agora veja que a forma caracter´ıstica que identifica qual tipo de cˆonica se refere a equa¸c˜ao (2.1) est´a vinculada a escolha dos eixos coordenados e da constante positiva . De fato, considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais x0O0y0, no qual o eixo O0x0 cont´em o foco F e o eixo O0y0 coincide com a reta diretriz d, conforme figura (2.1).
Figura 2.1: Sistema de eixos x0O0y0
Dessa forma, seja P = (x0, y0) um ponto da cˆonica e a distˆancia OF = 2p. Note assim que a equa¸c˜ao (2.1) assume a forma,
P F P D = ⇔ p (x0− 2p)2+ (y0− 0)2 x0 !2 = 2 ⇔ (x0− 2p)2+ (y0)2 = (x0)22 ⇔ (x0)2− 4px0+ 4p2+ (y0)2 = (x0)22 ⇔ (1 − )2(x0)2− 4px0+ (y0)2 = −4p2 (2.3) Atrav´es da equa¸c˜ao (2.3) e dependendo do valor dado a constante pode-se ent˜ao deduzir a forma padr˜ao da equa¸c˜ao cartesiana de cada cˆonica em fun¸c˜ao do parˆametro p.
Veja ent˜ao a seguir a caracteriza¸c˜ao das trˆes cˆonicas almejadas, de acordo com o valor imposto `
a excentricidade .