Hipoelipticidade global com Perda de Derivadas

Nesta se¸cão, iremos estudar a regularidade global de operadores pseudodiferenciais. Para o caso não periódico sugerimos o leitor ver [Pa].

Defini¸c˜_{ao 2.8 Dizemos que um operador pseudodiferencial a(x, D) ∈ Dp}σ TN

´e globalmente hipoel´ıptico com perda de r derivadas (0 ≤ r < +∞) se

∀t ∈ R, ∀u ∈ D′(TN_{), a(x, D)u ∈ H}t(TN_{) =⇒ u ∈ H}t+σ−r(TN). (2.6) Quando 0 ≤ r < σ, escrevemos ǫ = σ − r e, neste caso, dizemos que o operador a(x, D) ´e globalmente hipoel´ıptico com ganho de ǫ derivadas, e (2.6) toma a seguinte forma

∀t ∈ R, ∀u ∈ D′_(TN_{), a(x, D)u ∈ H}t_(TN_{) =⇒ u ∈ H}t+ǫ_(TN_). _(2.7)

Para o estudo de classes de operadores com ganho de derivadas sugerimos os artigos [BCCJ] e [ChC].

Proposi¸c˜_{ao 2.9 Seja a(x, D) ∈ Dp}σ TN

um operador pseudodiferencial que é globalmente hipoel´ıptico com perda de r derivadas. Então, a(x, D) é um operador globalmente C∞ _{hipoel´ıptico}

em TN_{, ou seja, se u ∈ D}′ _TN _{e a(x, D)u ∈ C}∞ _TN_{, ent˜ao u ∈ C}∞ _TN_.

Demonstra¸c˜_{ao. Seja a(x, D) ∈ Dp}σ TN

um operador pseudodiferencial que ´e globalmente hipoel´ıptico com perda de r derivadas e u ∈ D′ _TN _{tal que a(x, D)u ∈ C}∞ _TN_{. Para}

verificarmos que u ∈ C∞ _TN _{vamos mostrar que u ∈ H}t _TN _{para todo t ∈ R fixado.}

Como a(x, D)u ∈ C∞ _TN_{, ent˜ao a(x, D)u ∈ H}t−σ+r _TN_{. Segue da hip´otese de a(x, D) ser}

globalmente hipoel´ıptico com perda de r derivadas que u ∈ Ht−σ+r+σ−r _TN _{= H}t _TN_{. A}

Proposi¸c˜_{ao 2.10 Seja a(x, D) ∈ Dp}σ TN

um operador pseudodiferencial que ´e globalmente hipoel´ıptico com perda de r derivadas. Se b(x, D) ∈ Dpσ′ TN com σ′ < σ − r, ent˜ao c(x, D) =

a(x, D) + b(x, D) ∈ Dpσ TN

e ´e um operador pseudodiferencial globalmente hipoel´ıptico com perda de r derivadas.

Demonstra¸c˜_{ao. Sejam a(x, D), b(x, D), c(x, D) como no enunciado acima, seja u ∈ D}′ _TN

tal que c(x, D)u ∈ Ht _TN _{e seja δ ∈ R tal que u ∈ H}δ _TN_{. ´}_{E f´acil de ver que a ordem de}

c(x, D) tamb´em ´e igual a σ e, portanto, devemos mostrar que u ∈ Ht+σ−r _TN_{. Note que}

a(x, D)u = c(x, D)u − b(x, D)u ∈ Hs0 _TN_, _(2.8)

com s0 = min{t, δ − σ′}, j´a que c(x, D)u ∈ Ht TN

por hip´otese e b(x, D)u ∈ Hδ−σ′

TN pela Proposi¸cão 2.4. Se s0 = t, então como a(x, D) é globalmente hipoel´ıptico com perda de r

derivadas e possui ordem σ, temos que u ∈ Ht+σ−r _TN_{, o que conclui a demonstra¸c˜ao. Se s} 0 =

δ − σ′, ent˜ao a(x, D)u ∈ Hδ−σ′ TN nos garante que u ∈ Hδ−σ′+σ−r TN = Hδ+σ−r−σ′ TN. Segue de (2.8) que a(x, D)u ∈ Hs1 _TN_{, sendo que s}

1 = min{t, δ+σ−r−2σ′}. Se s1 = t, ent˜ao

pelo mesmo argumento utilizado acima, garantimos que u ∈ Ht+σ−r _TN _{e a demonstra¸c˜ao}

acabou. Caso contr´ario, a(x, D)u ∈ Hδ+σ−r−2σ′

TN e, portanto, u ∈ Hδ+2σ−2r−2σ′

TN. Como por hip´otese σ′ _{< σ − r, obtemos que σ − r − σ}′ _{> 0; portanto, repetindo o argumento}

acima, ap´os um n´_{umero finito de passos, iremos concluir que u ∈ H}t+σ−r _TN_{e a demonstra¸c˜ao}

est´a completa.

Lema 2.11 Sejam a(x, D) ∈ Dpσ TN

um operador pseudodiferencial que ´e globalmente hipoel´ıptico com perda de r derivadas e seja σ′ _{< σ −r. Ent˜ao, para todo t ∈ R, existe C = C}

t> 0

de modo que

kuk_t+σ−r ≤ C ka(x, D)ukt+ kukt+σ′

, ∀ u ∈ C∞ TN. (2.9) Demonstra¸c˜_{ao. Sejam t ∈ R e u ∈ C}∞ _TN _{dados. Definimos o conjunto F}

t(TN) =

v ∈ Ht+σ′

TN: a(x, D)v ∈ Ht _TN _{. Definimos ainda a seguinte norma em F} t(TN):

|||v||| ˙= kvkt+σ′+ ka(x, D)vk_t, ∀ u ∈ Ft.

Mostraremos agora que Ft(TN), ||| · |||

´e um espa¸co de Banach.

Suponha que {uj}j seja um sequˆencia de Cauchy em Ft(TN). Ent˜ao {uj} e {a(x, D)uj}

s˜ao sequˆencias de Cauchy em Ht+σ′

Ht+σ′ TNe v ∈ Ht _TN_{tais que u} j −→ u em Ht+σ ′ TNe a(x, D)uj −→ v em Ht TN . Em particular, uj −→ u e a(x, D)uj −→ v em D′ TN

e, como a(x, D)uj −→ a(x, D)u em D′ TN

(Proposi¸c˜ao 2.6), segue da unicidade do limite em D′_(TN_{) que a(x, D)u = v ∈ H}t _TN_{. Assim,}

u ∈ Ft(TN) e como as sequˆencias kuj − uk_t+σ′ e ka(x, D)uj− a(x, D)uk_t convergem a zero em

C ent˜ao |||uj − u||| −→ 0 e temos que a sequˆencia {uj}j converge para u em Ft(TN). Isso

demonstra que Ft(TN) ´e um espa¸co de Banach.

Como a(x, D) ´e globalmente hipoel´ıptico com perda de r derivadas, segue que se u ∈ Ft(TN),

ent˜ao a(x, D)u ∈ Ht _TN _{e, portanto, u ∈ H}t+σ−r _TN_{. Ou seja, F}

t(TN) ⊂ Ht+σ−r TN

. Mostraremos agora que a inclus˜ao i : Ft(TN) −→ Ht+σ−r(TN) ´e cont´ınua utilizando o

Teorema do Gr´afico Fechado. Suponha que uj −→ u em Ft(TN) e i(uj) = uj −→ v em

Ht+σ−r _TN_{. Assim, u ∈ F}

t(TN) e a convergˆencia uj −→ u em Ft(TN) implica que uj −→ u

em Ht+σ′

TN. Logo, uj −→ u e i(uj) −→ v em D′ TN

. Segue da unicidade do limite que v = u, ou seja, i(u) = v. A demonstra¸cão que o gráfico de i é fechado está completa; portanto, i é uma aplica¸cão cont´ınua.

A desigualdade do enunciado é consequência imediata da continuidade da aplica¸cão i defi-

nida acima, e a demonstra¸c˜ao do lema est´a completa.

No que segue, mostraremos um resultado importante para a sequˆencia. Primeiro, recorda- mos que se a(x, D) ∈ Dpσ TN

é um operador pseudodiferencial que é globalmente hipoel´ıptico com perda de r derivadas então a(x, D) é globalmente C∞_{hipoel´ıptico em T}N _{e, portanto, ker}

a(x, D) ⊂ C∞_(TN_{). Denotaremos por V o ortogonal de Ker a(x, D) em H}t+σ−r_(TN_{) com t ∈ R.}

Proposi¸c˜_{ao 2.12 Seja a(x, D) como no Lema 2.11 e t ∈ R fixado. Ent˜ao, existe C}1 > 0 tal

que

kuk_t+σ−r ≤ C1ka(x, D)ukt, ∀ u ∈ V ∩ C∞ T N_.

Demonstra¸c˜_{ao. Suponha que a conclusão da proposi¸cão seja falsa. Então dado c = ℓ, ℓ ∈} {1, 2, . . . }, existe uℓ ∈ V ∩ C∞ TN

tal que kuℓk_t+σ−r > ℓ ka(x, D)uℓkt. Normalizando uℓ ∈

Ht+σ−r _TN _{e continuando a chamar a nova sequˆencia por {u}

ℓ}ℓ, conclu´ımos que existe uma

sequˆencia {uℓ}ℓ ⊂ V ∩ C∞ TN

, ||uℓ||t+σ−r = 1 de modo que

ka(x, D)uℓk_t<

ℓ, ∀ ℓ ∈ N. (2.10)

Em particular, a(x, D)uℓ −→ 0 em D′ TN

. Al´em disso, para σ′ _{< σ −r temos H}t+σ−r_(TN_{) ֒→}

Ht+σ′

(TN_{) e ku}

o Lema de Rellich nos garante que existe u0 ∈ Ht+σ ′ TNtal que uℓ −→ u0 em Ht+σ ′ TN. Em particular, uℓ−→ u0 em D′ TN

, o que nos d´a a(x, D)uℓ −→ a(x, D)u0 em D′ TN

. Portanto, segue da unicidade do limite em D′_(TN_{) que a(x, D)u}

0 = 0, ou seja, u0 ∈ ker a(x, D).

Por outro lado, usando (2.9), temos

kuℓk_t+σ−r ≤ C ka(x, D)uℓkt+ kuℓkt+σ′

Fazendo ℓ −→ +∞ e usando (2.10), segue que 1 ≤ C ku0kt+σ′, o que nos garante que u0 6=

0. Por´em, como uℓ ∈ V para todo ℓ e V ⊂ Ht+σ−r TN

´e fechado, segue que u0 ∈ V =

(ker a(x, D))⊥ em Ht+σ−r TN. Assim teremos que u0 ∈ ker a(x, D) ∩ (ker a(x, D))⊥ = {0},

portanto, obtemos uma contradi¸cão visto que u0 6= 0. A demonstra¸cão está completa.

2.2.1 Resolubilidade global

Iremos considerar um operador peseudodiferencial a(x, D) ∈ Dpσ TN

e vamos definir quando este operador é globalmente resolúvel em D′_(TN_{). Nosso objetivo é encontrar condi¸cões}

para a tal resolubilidade global de a(x, D), i.´e., considerando a(x, D) : D′_(TN_{) −→ D}′_(TN_),

dada f ∈ C∞_(TN_{) procuramos u ∈ D}′_(TN_{) tal que a(x, D)u = f . ´}_{E f´acil ver que existem}

condi¸cões naturais de compatibilidade sobre f para a solu¸cão u existir, mais precisamente Lema 2.13 Seja f ∈ C∞_(TN_{). Se existir u ∈ D}′_(TN_{) tal que a(x, D)u = f então devemos ter}

w.f = 0

para toda w ∈ C∞_(TN_{) satisfazendo} t_{a(x, D)w = 0 onde} t_{a(x, D) : C}∞_(TN_{) −→ C}∞_(TN_).

Em vista do lema acima usaremos a seguinte nota¸c˜ao: Defini¸c˜ao 2.14 Seja

E(a(x, D)) =g ∈ C∞(TN) : Z

w.g = 0 para toda

w ∈ C∞(TN) tal que ta(x, D)w = 0 .

Defini¸cão 2.15 Dizemos que a(x, D) é globalmente resolúvel em D′_(TN_{), se para toda}

Teorema 2.16 Seja a(x, D) ∈ Dpσ TN

tal que t_{a(x, D) ´e globalmente hipoel´ıptico com perda}

de r derivadas. Então, a(x, D) é globalmente resolúvel em D′_(TN_).

Demonstra¸c˜_{ao. Seja f ∈ E(a(x, D)). Definimos}

hTf, ϕi =

TNf (x)ϕ(x)dx, ∀ ϕ ∈ C

∞ _TN_.

Observe que se ϕ ∈ C∞_(TN_{) ent˜ao para s ∈ R definimos t = −σ + r − s e obtemos}

|hTf, ϕi| ≤

TN|f(x)| |ϕ(x)| dx ≤ kfkskϕk−s = C kϕkt+σ−r

sendo que C = kfks. Usando a Proposi¸c˜ao 2.12 com ta(x, D) no lugar de a(x, D) podemos

concluir que |hTf, ϕi| ≤ C kϕk_t+σ−r ≤ C1 t_{a(x, D)ϕ} t, ϕ ∈ V ∩ C∞ T N_. _(2.11) com C1 = C1(||f||s, σ, r) > 0.

Consideramos o espa¸co {t_{a(x, D)ϕ : ϕ ∈ V ∩ C}∞ _TN_{}, sendo V dado antes da Proposi¸c˜ao}

2.12, munido da topologia induzida por Ht_(TN_{) e definimos a forma linear Φ sobre {}t_{a(x, D)ϕ :}

ϕ ∈ V ∩ C∞ _TN_{} dada por}

Φ(t_{a(x, D)ϕ) = hT}f, ϕi , ϕ ∈ V ∩ C∞ TN

. ´

E fácil ver que Φ está bem definida e segue de (2.11) que Φ é cont´ınua.

Pelo Teorema de Hahn-Banach, podemos estender Φ a um funcional linear cont´ınuo u : Ht _TN _{−→ C e, portanto, u ∈ (H}t_(TN₎₎′ ∼_{= H}−t_(TN_{) ⊂ D}′_(TN_).

Notemos que como V ⊕ ker t_{a(x, D) = H}t+σ−r_(TN_{) ent˜ao podemos escrever}

C∞(TN) = C∞(TN_{) ∩ H}t+σ−r(TN) =C∞(TN_{) ∩ V}_⊕C∞(TN_{) ∩ ker} ta(x, D) = C∞(TN_{) ∩ V}_{⊕ ker} ta(x, D),

poist_{a(x, D) ´e globalmente C}∞ _{hipoel´ıptico em T}N_.

Mostraremos, agora, que u ∈ D′ _TN _{satisfaz a(x, D)u = f . Se ϕ ∈ C}∞_(TN_{), ent˜ao}

segue da observa¸c˜ao acima que podemos escrever ϕ = ϕ0 + ϕ1 com ϕ0 ∈ C∞(TN) ∩ V e

e f ∈ E(a(x, D)), obtemos

ha(x, D)u, ϕi = u, ta(x, D)ϕ =u, ta(x, D)(ϕ0+ ϕ1)

=u, ta(x, D)ϕ0

= Φ(ta(x, D)ϕ0) = hTf, ϕ0i = hTf, ϕ0+ ϕ1i = hTf, ϕi = hf, ϕi ;

portanto, conclu´ımos que a(x, D)u = f . A demonstra¸c˜ao do Teorema 2.16 est´a completa.

No documento Hipoelipticidade global para sublaplacianos, perturbações de ordem inferior, resolubilidade e hipoelipticidade global para uma classe de campos vetoriais (páginas 48-53)