Histogramas e distribuição de probabilidade

Com a construção do histograma é possível verificar quais os valores, ou a faixa de valores, que possui maior frequência dentro do conjunto de dados. Assim, pode-se concluir como o conjunto de resultados está distribuído.

Juntamente com o histograma, a distribuição de probabilidade busca representar o comportamento do conjunto de dados, sendo que a curva de distribuição de probabilidade tem uma representação continua dos dados. Logo, a curva de distribuição de probabilidade que melhor representará o conjunto de dados será aquela que tiver um bom ajuste ao histograma.

O cálculo da variável Erro do Modelo é feito para cada uma das seis formulações semi-empíricas. Sendo assim, realizou-se o procedimento de construção do histograma e verificação de distribuição de probabilidade para cada uma das formulações. O teste de Kolmogorov-Smirnov foi aplicado para oito distribuições (Normal, Lognormal, Frechét, Gumbel, Weibull, Gama, Extremo Valor e Rayleigh), verificando-se quais hipóteses eram aceitas e sendo adotada a que obteve o maior grau de concordância entre a distribuição e o conjunto de dados.

No Gráfico 7 é apresentado o histograma da variável Erro do Modelo para a formulação empírica de Ahammed com a curva de distribuição Logormal que foi a que melhor se adequou ao conjunto de dados.

Gráfico 7 - Histograma da variável Erro do Modelo e distribuição de probabilidade lognormal para o formulação de Ahammed.

Pelo Gráfico 7, verifica-se que alguns valores de Erro são demasiadamente altos, como valores em torno de três, mas como pode ser visto no próprio gráfico, em torno de 70% dos valores situam-se entre 1,0 e 1,5.

Apresenta-se no Gráfico 8 o histograma da variável Erro do Modelo para a formulação semi-empírica BS-7910. Neste trabalho foi adotada a versão da norma atualizada em 2013, sendo a versão mais recente até a elaboração desta pesquisa. A distribuição Normal apresentou os melhores resultados no teste de aderência.

Gráfico 8 - Histograma da variável Erro do Modelo e distribuições de probabilidade normal para o modelo BS-7910.

FONTE: O Autor (2019).

Os dados obtidos com esta formulação se apresentam de forma menos concentrada, não havendo uma única faixa de valores que possui uma frequência elevada. Esta observação é evidenciada pelo fato de que a faixa de valores de Erro que fica entre 1,0 e 1,5 é a de maior representatividade e possui uma frequência menor que 30%. Tem-se na realidade três faixas de valores que somadas representam em torno de 80% dos valores, tais faixas englobam os valores de Erro de 0,5 até 2,0.

No Gráfico 9 pode ser visto o histograma da variável Erro do Modelo para a formulação semi-empírica B31G. Dentre as distribuições analisadas, a distribuição Frechet demonstrou os melhores resultados na descrição do comportamento dos dados.

Gráfico 9 - Histograma da variável Erro do Modelo e distribuições de probabilidade para o modelo B31G.

FONTE: O Autor (2019).

Na distribuição dos resultados, mais de 60% dos valores da variável Erro se agrupa em torno do valor unitário, estando num intervalo entre 0,5 e 1,5. Após o valor de 1,5 há uma tendência decrescente a medida que o valor da variável Erro aumenta. Mesmo assim, a citada formulação apresenta valores que podem ser considerados altos, demonstrando valores de Erro acima de 2,0 e chegando até valores acima de 3,0.

Comparando com resultados da literatura, tanto Zhou e Huang (2012) quanto Toto (2014) adotaram o mesmo tipo de distribuição de probabilidade para a formulação B31G, tendo sido adotada a Frechet como representante do comportamento.

No Gráfico 10 pode ser visto o histograma da variável Erro do Modelo para a formulação semi-empírica B31G Modificada. A distribuição Gumbel demonstrou o melhor comportamento no teste de aderência.

Gráfico 10 - Histograma da variável Erro do Modelo e distribuições de probabilidade Gumbel para o modelo B31G Modificada.

FONTE: O Autor (2019).

Os resultados obtidos assemelham-se aos resultados oriundos da formulação B31G. No entanto, representam um melhor ajuste, como pode ser constatado pelo fato dos valores de Erro não superam o patamar de 3,0. Diferente da formulação precedente, cujos valores atingiam a marca de 3,5.

Comparando com resultados da literatura, observa-se que tanto Zhou e Huang (2012) quanto Toro (2014) também concluem que a distribuição de probabilidade aplicada para a formulação B31G Modificada é a distribuição Gumbel.

No Gráfico 11 pode ser visto o histograma da variável Erro do Modelo para a formulação semi-empírica DNV RP-F101. A distribuição aplicada neste histograma foi a distribuição Lognormal.

Gráfico 11 - Histograma da variável Erro do Modelo e distribuições de probabilidade lognormal para o modelo DNV RP-F101.

FONTE: O Autor (2019).

Como pode ser visto no Gráfico 11, o comportamento desta variável é bastante satisfatório dentro da ideia central de cálculo do erro, que busca a condição onde a maior faixa de valores de Erro esteja próximo do valor unitário. Pode-se analisar que em torno de 60% dos valores estão na faixa do valor unitário, não havendo uma grande quantidade de altos valores de erro. Apenas 5% dos valores estão na faixa de 2,5, sendo todos os outros valores abaixo de 2,0.

Para este conjunto de resultados foi determinado que a distribuição Lognormal representa de forma eficiente o comportamento dos dados, sendo este o mesmo resultado encontrado por Zhou e Huang (2012) e Toro (2014).

No Gráfico 12 pode ser visto o histograma da variável Erro do Modelo para a formulação semi-empírica PCORRC. O citado gráfico apresenta um comportamento que pode ser considerado satisfatório, uma vez que aproximadamente 60% dos valores do erro estão na faixa entre 0,5 e 1,5. Os valores máximos para o erro também não se configuram em um patamar tão

elevado, estando abaixo de 2,5. A distribuição de probabilidade mais próxima à configuração do histograma foi a distribuição Lognormal.

Gráfico 12 - Histograma da variável Erro do Modelo e distribuições de probabilidade para o modelo PCORRC.

FONTE: O Autor (2019).

Observa-se que o resultado obtido para esta formulação está em conformidade com as conclusões encontradas por Toro (2014), no entanto destoam do obtido em Zhou e Huang (2012) que indicam a distribuição Gumbel como a distribuição que melhor se adéqua para a formulação PCORRC.

As divergências encontradas podem ser explicadas visto que a base de dados nos trabalhos não são as mesmas. Cada base de dados foi construída por uma quantidade diferente de ensaios laboratoriais retirados de diferentes fontes da literatura.

Nos seus estudos Toro (2014) utiliza defeitos reais, outros artificiais para constituir uma base de dados, chegando a utilizar 405 ensaios, para formulações que impõem delimitações. Como o caso da DNV RP-F101 que delimita uma relação mínima entre espessura do duto e profundidade do defeito, sendo utilizado em torno de 290 ensaios. A base de dados de Zhou e Huang (2012) é mais reduzida chegando, no máximo, a 150 ensaios. No entanto, no caso de

formulações com mais restrições utilizam-se em torno de 70 ensaios. A base de dados deste trabalho, composta por 84 experimentos, foi montada para que todos os dados atendessem aos critérios, podendo ser utilizada a mesma quantidade em todas as seis formulações.