Defini¸c˜ao 2.7. SejamReS an´eis.
1. Umhomomorfismo de an´eis ´e uma func¸˜aoϕ:R→S que satisfaz:
i ϕ(a+b) = ϕ(a) +ϕ(b),∀a, b∈R.
ii ϕ(ab) =ϕ(a)ϕ(b),∀a, b∈R
2. Okernelde um homomorfismo de aneisϕ ´e o conjunto de todos ele-mentosx∈Rtais queϕ(x) = 0. Denotamos esse conjunto porkerϕ.
3. Chamamos deisomorfismoum homomorfismo de anelϕ:R→Sque
´e bijetivo. DenotamosR ∼=Squando tal bijec¸˜ao existir.
Proposi¸c˜ao 2.4. SejamReSan´eis eϕ:R →Sum homomorfismo. Ent˜ao:
(1) ϕ(0R) = 0S.
(2) ϕ(−a) =−ϕ(a),∀a∈R.
Demonstra¸c˜ao. (i)Temos queϕ(OR) =ϕ(0R+ 0R) =ϕ(0R) +ϕ(0R). Desde que ϕ(0R) ∈ S eS ´e um anel, segue queϕ(OR) = ϕ(0R) +ϕ(0R)implica emϕ(0R) = 0S.
(ii)Temos queϕ(0R) = ϕ(a+ (−a)) = ϕ(a) +ϕ(−a). Pelo item (i)temos que0S =ϕ(a) +ϕ(−a). Portantoϕ(−a) =−ϕ(a).
Proposi¸c˜ao 2.5. SejamReSan´eis e sejaϕ:R →Sum homomorfismo.
1. Im(ϕ)´e um subanel deS.
2. kerϕ´e um subanel deR. Al´em disso, seα ∈ kerϕ, ent˜aorα∈ kerϕpara todor∈R.
Demonstra¸c˜ao. (1) PelaProposi¸c˜ao 2.4(1),0S ∈ Im(ϕ). Tomex, y ∈ Im(ϕ).
Ent˜ao existem r, s ∈ R tais que ϕ(r) = x e ϕ(s) = y. Assim, pela Pro-posi¸c˜ao 2.4(2), x−y=ϕ(r)−ϕ(s) = ϕ(r) +ϕ(−s) = ϕ(r+ (−s)). Tamb´em temos que xy = ϕ(r)ϕ(s) = ϕ(rs).Da´ı temos que x−y, xy ∈ Im(ϕ). Por-tanto, pelaProposi¸c˜ao 2.3Im(ϕ) ´e um subanel deS.
(2) Pela Proposi¸c˜ao 2.4(1) temos que 0R ∈ kerϕ. Sejam x, y ∈ kerϕ. Ent˜ao ϕ(x) = ϕ(y) = 0. Segue que ϕ(x − y) = ϕ(x) − ϕ(y) = 0 e ϕ(xy) =ϕ(x)ϕ(y) = 0, logox−y∈ kerϕexy ∈kerϕ. Portanto, pela Pro-posi¸c˜ao 2.3kerϕ ´e um subanel deR. Analogamente, para qualquerr ∈ R temos ϕ(rx) = ϕ(r)ϕ(x) = ϕ(r)0 = 0 e ϕ(xr) = ϕ(x)ϕ(r) = 0ϕ(r) = 0.
Portantorx, xr ∈kerϕ.
Defini¸c˜ao 2.8. SejaRum anel, sejaI ⊂R.
1. Dizemos queI ´e umideal a esquerdadeR serx ∈I para todor ∈ R, ou seja,R·I ⊂I.
2. Dizemos queI ´e umideal a direitadeRsexr∈I para todor∈R, ou seja,I·R⊂I.
3. SeI ´e um ideal simultaneamente a direita e a esquerda deR, dizemos queI ´e umidealdeR, isto ´e,R·I ⊂I eI·R⊂I.
Defini¸c˜ao 2.9. SejaRum anel e sejax∈R.
1. O idealI =xR ´e ditoideal principal `a esquerda gerado porx. 2. O idealI =Rx ´e ditoideal principal `a direita gerado porx.
Defini¸c˜ao 2.10. SejaRum anel eM um ideal deR. Dizemos queM ´e um ideal maximaldeR seM 6=R e se os ´unicos ideiais que cont´emM s˜aoM e R.
Defini¸c˜ao 2.11. UmDom´ınio Ideal Princial´e um dom´ınio de integridade no qual todo ideal ´e principal.
Proposi¸c˜ao 2.6. SejaI um ideal do anel com unidadeR.
1. I =Rse, e somente se,u∈I comu∈Ruma unidade qualquer.
2. Seja R um anel comutativo. Ent˜ao R ´e um corpo se, e somente se, seus
´unicos ideais s˜ao{0R}eR.
Proposi¸c˜ao 2.7. (1)(⇒)SuponhaI =R. Ent˜ao1R ∈R=I.
(⇐) Suponha que u ∈ I ´e uma unidade com iverso v e tome r ∈ R. Assim, r =r(vu) = (rv)u∈I, logoR⊂I. E comoI ⊂Rtemos, portanto, queI =R.
(2)(⇒) Suponha queR ´e um corpo. Ent˜ao todo elemento n˜ao nulo deR ´e uma unidade. Ent˜ao qualquer idealI deRcont´em unidades. Assim, por (1) temos que I =R.
(⇐) Suponha que os ´unicos ideais de R s˜ao {0R} e R. Seja u ∈ R n˜ao nulo e considere Ru o ideal principal gerado por u. Ent˜ao u 6∈ {0R}. Assim, por hip´otese, temos queRu =R. Da´ı1R ∈Ru, logo, existev ∈ Rtal que1R = vu. Portanto,R ´e um corpo.
Defini¸c˜ao 2.12. SejaRum anel e sejaIum ideal deR. Definimos a relac¸˜ao, ser, s∈R
r ≡s mod I ⇐⇒ r−s∈I.
Observa¸c˜ao 2.1. A relac¸˜ao ≡ mod I ´e de equivalˆencia. De fato, dados quaisquerr, s, t∈I, temos
1. r−r= 0R ∈I ⇐⇒ r≡r mod I. A relac¸˜ao ´e reflexiva.
2. Ser−s∈I, ent˜ao−(r−s) =s−r∈ I. Logor≡ s mod I, implica ems≡s modI. ´E uma relac¸˜ao sim´etrica.
3. Ser≡s modI es ≡t mod I, ent˜aor−s, s−t ∈I. Assim,r−t= (r−s) + (s−t)∈I, logor≡r mod I. ´E uma relac¸˜ao transitiva.
Observa¸c˜ao 2.2. Sejam R um anel e I um ideal de R. De forma an´aloga
`a Defini¸c˜ao 1.11, o conjunto r := {x ∈ R|x ≡ r modI} ´e classe de equi-valˆencia de r ∈ R. Veja que, r ≡ s mod I se, e somente se, r−s ∈ I e, por isso, tamb´em denotaremos r = r+I = {r+s| ∈ I}. Assim como na Defini¸c˜ao 1.13,R/I :={r|r ∈R} ´e oconjunto quocientedeRpelo idealI. Proposi¸c˜ao 2.8. SejamRum anel eI um ideal deR. Ser ≡r0 mod I es ≡s0 mod I, ent˜ao,
(i) r+s=r0+s0 modI.
(ii) r·s ≡r0·s0 mod I.
Demonstra¸c˜ao. Suponha v´alida a hip ´otese.
(i)Desde que r ≡ r0 mod I es ≡ s0 mod I, segue que r−r0, s−s0 ∈ I. Assim,(r+s)−(r0+s0) = (r−r0) + (s−s0)∈I. Portanto,r+s≡r0+s0 mod I.
(ii)Sejama, b∈J, r =r0+aes=s0+b. Assim, rs−r0s0 = (r0+a)(s0+b)−r0s0
=r0s0+r0b+as0+ab−r0s0
=r0b+as0+ab.
Portanto, comoa, b∈I eI ´e um ideal, concluimos quers−r0s0 ∈I. Corol´ario 2.8.1. SejamRum anel eI um ideal deR. Ser=r0 es =s0, ent˜ao,
(i) r+s=r0+s0. (ii) r·s =r0·s0.
Demonstra¸c˜ao. Segue direto daProposi¸c˜ao 2.8.
Proposi¸c˜ao 2.9. SejaR um anel eI um ideal deR. Ser = r+I eR/I ={r : r ∈R}, ent˜ao:
(1) + :R/I ×R/I →R/I
(r, s)7→r+s e ·:R/I×R →R/I (a, b)7→a·b definem duas opera¸c˜oes(soma e produto) emR/I.
(2) (R/I,+,·)´e um anel.
(3) 1R´e a unidade deR/I.
(4) SeR ´e comutativo, ent˜aoR/I tamb´em o ´e.
Demonstra¸c˜ao. (1) PeloCorol´ario 2.8.1as regrasr+s =r+ser·s =r·s definem operac¸ ˜oes emR/I.
(2) Sejam r, s, t ∈ R. Vamos mostrar que (R/I,+) ´e um grupo abeliano.
Temos,
(r+s)t =r+s+t
= (r+s) +t
=r+ (s+t)
=r+s+t =r+ (s+t).
Logo, vale a associatividade. Tamb´em,
0R+r = 0R+r=r=r+ 0R=r+ 0R. Ent˜ao, existe elemento neutroOR ∈R/I.. Segue,
r+−r=r−r= 0R=−r+r=−r=r.
Assim, existe elemento neutro para qualquer elemento emR/I. Por final, r+s =r+s=s+r=s+r.
Portanto, vale a comutatividade. Agora vamos mostrar que vale as pro-priedade de anel em relac¸˜ao a multiplicac¸˜ao. Temos que,
(r·s)·t=r·s·t
= (r·s)·t
=r·(s·t)
=r·s·t =r·(s·t).
Logo, vale a associtividade. Temos, 1R·r= 1R·r
=r
=r·1R =r·1R.
Assim,1R ´e o elemento neutro da multiplicac¸˜ao. Finalmente, r(s+t) =r(s+t)
=rs+rt
=rs+rt=r·s+r·t.
A demonstrac¸˜ao da distributividade `a direita ´e an´aloga, assim vale a dis-tributividade em R/I. Portanto, R/I ´e um anel. (3)Temos que 1R· r = 1R·r =r·1R·=r.
(4) ConsidereR um anel comutativo. Assimr·s = r·s = s·r = s·r.O que finaliza a demonstrac¸˜ao.
Teorema 2.1. Sejam R um anel comutativo com unidade e I um ideal de R.
Ent˜aoI ´e um ideal maximal deRse, e somente se,R/I ´e um corpo.
Demonstra¸c˜ao. (⇒)Suponha queI ´e um ideal maximal e seja06=r∈R/I. SeJ =Raum ideal pricipal gerado porr. Comoa= 1R·a∈J ⊂I+J :=
{r+s :r ∈I, s∈J}, temos queI+J ´e um ideal tal queI ⊂I+JeI+J 6=I e, al´em disso,a6= 0se, e somente se,a 6∈I.ComoI ´e maximal, temos que R = I +J e, assim, 1R ∈ I +J. Logo existem u ∈ I e v ∈ J tais que u+v = 1R. Contudo, temos J = Ra, assimv = rapara algumr ∈ R. Da´ı temos1R=u+v =u+rae segue que1R=u+ra=u+ra= 0 +ra=ra. Portanto, existe elemento inverso para qualquer a ∈ R/I em relac¸˜ao a multiplicac¸˜ao.
(Lef tarrow)Suponha queR/I ´e um corpo. Desde que1R,0R∈R/I, temos I 6=R. SeM 6=I ´e um ideal deReI ⊂M ⊂R, ent˜ao existem ∈M, m 6∈I, isto ´e, m 6= 0, m ∈ R/I. ComoR/I ´e um corpo, ent˜ao existen ∈ R/I tal que mn = 1R. Assim segue, mn ≡ 1 mod I se, e somente se,ab−1 ∈ I, ent˜ao existe i ∈ I tal que o = mn−1R, logo, 1R = mn−o. Desde que m ∈M eo∈I ⊂M temosmn, o∈M. Ent˜ao1R=mn−o ∈M. Portanto, pelaProposi¸c˜ao 2.6(1), temos queM =R.
Teorema 2.2. Primeiro teorema de homomorfismo Sejam R e S an´eis. Se ϕ : R →Sum homomorfismo de an´eis. Ent˜ao,
(1) Imϕ´e um subanel deS.
(2) kerϕ´e um ideal deR.
(3) ϕ´e injetiva se, e somente se,kerϕ={0R}. (4) R/kerϕ∼=Imϕ.
Demonstra¸c˜ao. (1) Desde queϕ ´e um homomorfismo, pelaProposi¸c˜ao 2.4 temos que ϕ(0R) = 0S. Tamb´em, dados quaisquerϕ(r), ϕ(s) ∈ Imϕ ⊂ S, temos que ϕ(r) − ϕ(s) = ϕ(r −s) ∈ Imϕ e ϕ(r)ϕ(s) = ϕ(rs) ∈ Imϕ.
Portanto, pelaProposi¸c˜ao 2.3concluimos que Imϕ´e um subanel deR.
(2) Temos que ϕ(0R) = 0S. Dados quaisquer a, b ∈ kerϕ, temos ϕ(a) = ϕ(b) = 0S e segue que ϕ(a − b) = ϕ(a)− ϕ(b) = 0S − 0S = 0S, logo a−b ∈ kerϕ. Agora tome r ∈ R ea ∈ kerϕ, ent˜ao ϕ(ar) = ϕ(a)ϕ(r) = 0Sϕ(r) = 0S. Analogamente temos ϕ(ra) = ϕ(r)ϕ(a) = ϕ(r)0S = 0S.Ou seja,ar, ra∈kerϕ. Portanto,kerϕ´e um ideal deR.
(3) (→) Suponha que ϕ ´e injetiva. Ent˜ao, desde que ϕ(0R) = 0S, temos Imϕ= 0R. (⇐) Suponha que Imϕ= 0R. Seϕ(r) =ϕ(s)comr, s∈R, segue queϕ(r)−ϕ(s) = ϕ(r−s) = 0S. Logor−s = 0Re, ent˜ao,r =s.
(4) SejaI = kerϕ. Defina uma func¸˜aof :R/kerϕ→Imϕdada porf(r) = ϕ(r). Vamos mostrar que a func¸˜ao est´a bem definida:
r =s ⇐⇒ r ≡s mod kerϕ
⇐⇒ r−s∈kerϕ
⇐⇒ ϕ(r−s) = 0R
⇐⇒ ϕ(r)−ϕ(s) = 0R
⇐⇒ ϕ(r) = ϕ(s)
⇐⇒ f(r) = ϕ(r) = ϕ(s) = f(s).
E tamb´em temos:
Imf ={f(r+I) :r+I ∈R/I}={ϕ(r) :r ∈R}=Imϕ.
Portanto,R/kerϕ∼=Imf.