Hopf Algebróides de Lu

A seguinte denição, citada em ([18], Denição 4.1), usa apenas uma estrutura de bialgebróide, enquanto que na denição de Hopf alge- bróide, usa-se duas estruturas. Embora o primeiro axioma da antípoda na denição de Hopf algebróide pode ser formulado também neste caso, algumas condições adicionais são necessárias para formular o segundo axioma.

Denição 3.11 Seja B um bialgebróide à esquerda sobre L, uma k- álgebra. Dizemos que B é um Hopf algebróide de Lu se existem S : B −→ B e uma seção de k-módulos ξ, para o epimorsmo canônico π : B ⊗kB −→ B ⊗LB, ou seja, π ◦ ξ = IdB⊗LB, tais que, os seguintes axiomas são satisfeitos:

(i) S ◦ t = s;

(ii) µB◦ (S ⊗LB) ◦ ∆ = t ◦ ε ◦ S;

(iii) µB◦ (B ⊗LS) ◦ ξ ◦ ∆ = s ◦ ε.

Nenhuma das noções, Hopf algebróide e Hopf algebróide de Lu, é mais geral do que a outra. De fato, um exemplo de Hopf algebróide que não é Hopf algebróide de Lu é construído a seguir.

Exemplo 3.12 Seja k um corpo com característica diferente de dois. Considere a biálgebra de grupo kZ2, com estrutura de k-coanel dada

por ∆L(t) = t ⊗ te εL(t) = 1, em que t2= 1e como um k-bialgebróide

à esquerda, com estrutura de ke_{-anel (kZ}

2, η, η), em que η : k −→

kZ2 λ 7−→ λ1. Podemos também, munir kZ2 com uma estrutura de

k-bialgebróide à direita, com a mesma estrutura de ke_{-anel e com es-}

trutura de k-coálgebra (kZ2, ∆R, εR), em que ∆R(t) = −t ⊗ t, ∆R(1) =

1 ⊗ 1e εR(t) = −1e εR(1) = 1. Estas estruturas junto com a antípoda

S(t) := −t e S(1) := 1, constituem um Hopf algebróide, porém não satisfaz os axiomas de Hopf algebróide de Lu.

De fato, mostremos que os axiomas de Hopf algebróide são satisfeitos. Claro que a condição (i) é trivialmente satisfeita. Agora note que

(∆L⊗kkZ2)∆R(t) = (∆L⊗kkZ2)(−t ⊗ t)

= −t ⊗ t ⊗ t, por outro lado,

(kZ2⊗k∆R)∆L(t) = (kZ2⊗k∆R)(t ⊗ t)

= t ⊗ −t ⊗ t = −t ⊗ t ⊗ t.

Analogamente, mostra-se (∆R⊗k kZ2)∆L = (kZ2⊗k∆L)∆R. Agora

temos µ(kZ2⊗kS)∆R(t) = −tS(t) = t t = t2= 1 = εL(t)1 = η ◦ εL(t), também temos µ(S ⊗kkZ2)∆L(t) = S(t)t = −t t = −t2= εR(t)1 = η ◦ εR(t).

Pela k-linearidade de S, o axioma (iii) é satisfeito. Agora perceba que, a projeção canônica

π : kZ2⊗kkZ2−→ kZ2⊗LkZ2

é a identidade, desta forma, a única possibilidade para a seção ξ : kZ2⊗LkZ2−→ kZ2⊗kkZ2,

é a identidade. Portanto,

µ(kZ2⊗kS)∆L(t) = −1 6= 1 = η ◦ εL(t),

isto contradiz o fato que (HL, S) é um Hopf algebróide de Lu.

3.3.2 ×

R

-Hopf Álgebra

Sabemos da teoria de álgebras de Hopf que os coinvariantes do co- módulo regular de uma biálgebra H, sobre um anel comutativo k, são precisamente os múltiplos escalares da unidade. H é uma álgebra de Hopf se, e somente se, H é uma H-extensão Galois de k, ou seja, a aplicação Can : H ⊗K H −→ H ⊗k H, h ⊗ k 7−→ h(1)⊗ h(2)k, é

bijetiva. De fato, existe um isomorsmo em que a primeira álgebra é por composição e a segunda por convolução

H_Hom

H(H ⊗kH, H ⊗kH) ∼= Homk(H, H).

Tal isomorsmo é dado por c

( ) : H_Hom

H(H ⊗kH, H ⊗kH) −→ Homk(H, H)

F 7−→ F ,b

tal que F (h) = (ε ⊗ H)F (h ⊗ 1b H). Com inversa denida por

f

( ) : Homk(H, H) −→ HHomH(H ⊗kH, H ⊗kH)

f 7−→ f ,e

tal que ef (h⊗k) = h(1)⊗f (h(2))k, para quaisquer h, k ∈ H. Este isomor-

smo relaciona a inversa da canônica com a antípoda. Motivado por esta caracterização de álgebras de Hopf, Schauenburg em [25] propôs a denição de ×R-Hopf álgebra. Para entendermos essa denição, preci-

samos de algumas denições e resultados da teoria de categorias. Denição 3.13 Sejam C e D categorias. Uma adjunção de C a D é uma tripla (F, G, φ), em que F : C −→ D e G : D −→ C são funto- res e φXY : Hom_D(F (X), Y ) −→ Hom_C(X, G(Y )) é uma família de

isomorsmos naturais, para quaisquer X ∈ C e Y ∈ D. Neste caso, dizemos que F é adjunto à esquerda de G e que G é adjunto à direita de F .

Denição 3.14 Seja C uma categoria monoidal. Para Y ∈ C, se o funtor − ⊗ Y : C −→ C é adjunto à esquerda, denotamos seu adjunto à

direita por homC(Y, −) :C −→ C e chamamos de hom-funtor interno à direita. Se o funtor − ⊗ Y é adjunção à esquerda para todo Y ∈ C, então dizemos que C é fechada à direita.

Sejam X, Y objetos em C. Por resultados de funtores adjuntos, um hom-funtor interno à direita homC(Y, −)vem com um morsmo adjun- ção ev : homC(Y, X) ⊗ Y −→ X, com a seguinte propriedade universal: Para cada Z ∈ C e e : Z ⊗Y −→ X, existe único f : Z −→ homC(Y, X), tal que e = ev ◦ (f ⊗ Y ). Tal propriedade universal, é válida para qual- quer adjunção (F, G, φ). A demonstração deste fato, pode ser encon- trada em ([29], Teorema 2.28).

Seja R uma álgebra sobre um anel comutativo k. Considere a ca- tegoria dos Re_{-módulos à esquerda}

ReM, esta categoria pode ser vista como a categoria dos R-bimódulos, pois se M ∈ ReM, para quaisquer r, r0∈ Re m ∈ M, denimos r·m·r0_{= (r⊗r}0_{)m. Então}

ReM é monoidal com o produto tensorial ⊗Re unidade monoidal R. É possível mostrar

que a categoria monoidal (ReM, ⊗_R)é fechada, com hom-funtor interno hom_ReM(N, P ) =RopHom(N, P ), para quaisquer N, P ∈_ReM, em que a estrutura de Re_{-módulo à esquerda é dada por}

((r0⊗ r)f )(n) = r0f (rn), para quaisquer r, r0 _{∈ R, f ∈}

RopHom(N, P )e n ∈ N.

Se H é uma álgebra de Hopf sobre k, então o k-módulo Homk(V, W )

de morsmos k-lineares, possui uma estrutura canônica de H-módulo à esquerda, denida por (hf)(v) = h(1)f (S(h(2))v), para quaisquer

h ∈ H, f ∈ Homk(V, W ) e v ∈ V . Com esta estrutura, Homk(V, W )

dene um hom-funtor interno na categoria dos H-módulos à esquerda. Agora, em contrapartida, uma biálgebra não precisa ser uma álgebra de Hopf para que sua categoria de módulos seja fechada. Porém, a próxima proposição mostrará que a categoria de módulos sobre uma biálgebra B ou até mesmo sobre um R-bialgebróide à esquerda é fechada. Proposição 3.15 Seja B um R-bialgebróide à esquerda. Então a ca- tegoria BM, dos B-módulos à esquerda, é fechada à direita com hom-

funtor interno à direita dado, para quaisquer N, P ∈BM, por

hom_BM(N, P ) =B Hom(B ⊗RN, P ),

em que B⊗RN é um B-bimódulo com estrutura de B-módulo à esquerda

dada, para quaisquer b, b0 _{∈ B e n ∈ N, por}

e estrutura de B-módulo à direita dada por (b0⊗Rn) / b = b0b ⊗Rn.

Demonstração: Primeiro, note que para quaisquer M, N, P ∈ BM,

m ∈ M e n ∈ N temos que

ϕ : M ⊗RN −→ (B ⊗RN ) ⊗BM

m ⊗Rn 7−→ (1B⊗Rn) ⊗Bm,

é um isomorsmo de B-módulos à esquerda. De fato, para quaisquer m ∈ M, n ∈ N e b ∈ B, dena

ϕ−1: (B ⊗RN ) ⊗BM −→ M ⊗RN

(b ⊗Rn) ⊗Bm 7−→ b . m ⊗Rn.

Agora, lembre que a estrutura de R-bimódulo em um B-módulo à es- querda qualquer M, é dada, para quaisquer r, r0 _{∈ Re m ∈ M, por}

r · m · r0= s(r)t(r0) . m.

Mostremos que ϕ está bem denida. De fato, ϕ é R-balanceada, ϕ(m · r, n) = (1B⊗Rn) ⊗ m · r = (1B⊗Rn) ⊗ t(r) . m = (1B⊗Rn) / t(r) ⊗ m = (t(r)1B⊗Rn) ⊗ m = (1B· r ⊗Rn) ⊗ m = (1B⊗Rr · n) ⊗ m = ϕ(m, r · n).

Portanto, existe única ϕ : M ⊗RN −→ (B ⊗RN ) ⊗BM, que satisfaz

ϕ(m ⊗R n) = (1B ⊗R n) ⊗B m, para quaisquer m ∈ M e n ∈ N.

Mostremos que ϕ é morsmo de B-módulos à esquerda. De fato, para quaisquer m ∈ M, n ∈ N e b ∈ B, temos ϕ(b . (m ⊗Rn)) = ϕ(b(1). m ⊗Rb(2). n) = (1B⊗Rb(2). n) ⊗Bb(1). m = (1B⊗Rb(2). n) / b(1)⊗Bm = (b(1)⊗Rb(2). n) ⊗Bm = b . (1B⊗Rn) ⊗Bm

= b . ϕ(m ⊗Rn).

Mostremos agora que ϕ−1 _{está bem denida. De fato, para quaisquer}

r ∈ R, m ∈ M, n ∈ N e b, b0 _{∈ B, temos que ϕ}−1 _{é R-balanceada e}

B-balanceada ϕ−1((b · r, n), m) = (b · r) . m ⊗Rn = t(r)b . m ⊗Rn = t(r) . (b . m) ⊗Rn = (b . m) · r ⊗Rn = (b . m) ⊗Rr · n = ϕ−1((b, r · n), m), ϕ−1((b, n), b0. m) = bb0. m ⊗Rn = ϕ−1((bb0⊗Rn), m) = ϕ−1((b ⊗Rn) / b0, m). Portanto, temos (ϕ ◦ ϕ−1)((b ⊗Rn) ⊗Bm) = ϕ(ϕ−1((b ⊗Rn) ⊗Bm)) = ϕ(b . m ⊗Rn) = (1B⊗Rn) ⊗Bb . m = (1B⊗Rn) / b ⊗Bm = (b ⊗Rn) ⊗Bm,

por outro lado, temos

(ϕ−1◦ ϕ)(m ⊗Rn) = ϕ−1((1B⊗Rn) ⊗Bm)

= 1B. m ⊗Rn

= m ⊗Rn.

Dena agora, para quaisquer M, N, P ∈ BM, a aplicação

θ : BHom(M ⊗RN, P ) −→ BHom((B ⊗RN ) ⊗BM, P )

f 7−→ θ(f ) = f ◦ ϕ−1.

Claro que θ(f) é morsmo de B-módulos à esquerda, pois é a com- posição de outros dois. Agora dena θ−1_{(g) = g ◦ ϕ, para todo g ∈} BHom((B ⊗RN ) ⊗BM ). Desta forma, temos

Analogamente, θ−1_{(θ(f )) = f. Segue portanto, o isomorsmo de B-}

módulos à esquerda

BHom(M ⊗RN, P ) ∼=BHom((B ⊗RN ) ⊗BM, P ).

Mostremos agora que, para quaisquer M, N, P ∈ BM e m ∈ M, n ∈ N,

b ∈ B, a aplicação c

( ) :BHom((B ⊗RN ) ⊗BM, P )−→BHom(M,BHom(B ⊗RN, P ))

F 7−→ F ,b

em que

b

F : M −→ BHom(B ⊗RN, P )

m 7−→ F (m),b

tal que F (m)(b ⊗b R n) = F ((b ⊗R n) ⊗B m), é um isomorsmo de

B-módulos à esquerda, com a estrutura de B-módulo à esquerda em

BHom(B ⊗R N, P ) dada por (b . f)(b0 ⊗R n) = f (b0b ⊗R n), para

quaisquer b, b0 _{∈ B e n ∈ N. Segue da maneira como foi denido,}

que para todo m ∈ M, F (m)b é R-balanceado. Mostremos então que é morsmo de B-módulos à esquerda. De fato, para quaisquer m ∈ M, n ∈ N e b, b0 ∈ B, temos

b

F (m)(b . (b0⊗Rn)) = F (b . (b0⊗Rn) ⊗Bm)

= b . F ((b0⊗Rn) ⊗Bm)

= b . bF (m)(b0⊗Rn)

Mostremos agora queFbé morsmo de B-módulos à esquerda. De fato, temos b F (b . m)(b0⊗Rn) = F ((b0⊗Rn) ⊗Bb . m) = F ((b0⊗Rn) / b ⊗Bm) = F ((b0b ⊗Rn) ⊗Bm) = bF (m)(b0b ⊗Rn) = b . bF (m)(b0⊗Rn) = (b . bF )(m)(b0⊗Rn). Agora dena f

( ) :BHom(M,BHom(B ⊗RN, P ))−→BHom((B ⊗RN ) ⊗BM, P )

tal que G((b ⊗e Rn) ⊗B m) = G(m)(b ⊗Rn), para quaisquer b ∈ B,

m ∈ M e n ∈ N. De maneira análoga a c( ) mostra-se que f( ) está bem denida. Desta forma, para quaisquer m ∈ M, n ∈ N, b ∈ B, e também para quaisquer G ∈ BHom(M,BHom(B ⊗RN, P )) e F ∈ BHom((B ⊗RN ) ⊗BM, P ), temos

b_e

G(m)(b ⊗Rn) = eG((b ⊗Rn) ⊗Bm)

= G(m)(b ⊗Rn),

segue que bG = Ge , por outro lado, temos e

b

F ((b ⊗Rn) ⊗Bm) = bF (m)(b ⊗Rn)

= F ((b ⊗Rn) ⊗Bm),

segue portanto, eF = Fb . Concluímos assim, que

BHom((B ⊗RN ) ⊗BM, P ) ∼=BHom(M,BHom(B ⊗RN, P )).

Ou seja,

BHom(M ⊗RN, P ) ∼= BHom(M,BHom(B ⊗RN, P )).

Para salvar a ideia de que uma álgebra de Hopf está relacionada com o fato de sua categoria de módulos ser fechada, precisamos ob- servar que o hom-funtor interno na categoria de módulos sobre uma álgebra de Hopf, está relacionado com o hom-funtor interno na catego- ria subjacente de k-módulos. Esta relação se dá via a propriedade de que, o funtor esquecimento HM −→ kM preserva hom-funtores inter-

nos, no sentido da próxima denição.

Denição 3.16 Seja F : C −→ D um funtor monoidal entre categorias monoidais fechadas à direita. Para X, Y ∈ C, considere

ξ :F(hom_C(Y, X)) −→ hom_D(F(Y ), F(X)), o único morsmo para o qual o diagrama abaixo comuta

F(homC(Y, X)) ⊗F(Y )ξ⊗F(Y )//

∼₌



hom_D(F(Y ), F(X)) ⊗ F(Y )

ev0



F(homC(Y, X) ⊗ Y )

Dizemos que F preserva hom-funtores internos se para quaisquer X, Y ∈C, ξ é um isomorsmo.

Apresentamos a seguir o Lema de Yoneda, que será usado na prova do próximo teorema. Para tanto, considere C uma categoria e X um objeto xo em C. Denimos o funtor LX :C −→ Set, para todo Y ∈ C,

por LX = HomC(X, Y ). Além disso, para cada morsmo α : Y −→ Z,

denimos

LX(α) : HomC(X, Y ) −→ HomC(X, Z)

f 7−→ α ◦ f.

Desta forma, temos o seguinte lema.

Lema 3.17 (Lema de Yoneda) Sejam F : C −→ Set um funtor e X um objeto em C. Então o conjunto das transformações naturais N at(LX, F )está em bijeção com o conjunto F (X) pela função

φ : N at(LX, F ) −→ F (X)

µ 7−→ µX(IX),

em que IX é o morsmo identidade de X.

Proposição 3.18 Sejam C uma categoria e X, Y objetos em C. Então LX é isomorfo a LY se, e somente se, X é isomorfo a Y .

As demonstrações do Lema de Yoneda e da proposição 3.18, podem serem encontradas em [29], Lema 2.23 e Proposição 2.24, respectiva- mente.

Nestas condições, estamos prontos para ver a denição (teorema) de ×R-Hopf álgebra.

Teorema 3.19 (e Denição) Seja B um R-bialgebróide à esquerda. Então as seguintes armações são equivalentes:

(1) O funtor esquecimentoBM −→ ReM preserva hom-funtores in- ternos à direita.

(2) A aplicação

Can : B ⊗RopB −→ B ⊗_RB

b ⊗Ropb0 7−→ b₍₁₎⊗_Rb₍₂₎b0,

é uma bijeção. Neste caso, dizemos que B é uma ×R-Hopf ál-

Demonstração: Primeiramente, vamos ver que Can está bem de- nida. Para tanto, as estruturas de B-módulo à esquerda em B ⊗RopBe Rop_{-bimódulo em B são dadas, para quaisquer b, b}0_{, c ∈ Be r, r}0_{∈ R}op_,

por

b . (b0⊗Ropc) = bb0⊗_Ropc e

r · b · r0_{= t(r)b t(r}0_),

respectivamente. Assim, temos que Can é Rop_-balanceada,

Can(b · r, b0) = Can(b t(r), b0) = b(1)⊗Rb(2)t(r)b0

= b(1)⊗Rb(2)(r · b0)

= Can(b, r · b0), usamos na segunda linha o seguinte fato,

∆(bt(r)) = ∆(b)∆(t(r)) = (b(1)⊗Rb(2))(1B⊗Rt(r)) = b(1)⊗Rb(2)t(r).

Temos também que Can é morsmo de B-módulos à esquerda. De fato,

Can(b . (b0⊗Ropc)) = Can(bb0⊗_Ropc) = b(1)b0(1)⊗Rb(2)b0(2)c

= b . (b0₍₁₎⊗Rb0(2)c)

= b . Can(b0⊗Ropc).

Agora, note que se Can for uma bijeção, então para N ∈ BM a apli-

cação

CanN : B ⊗RopN −→ B ⊗_RN

b ⊗Ropn 7−→ b₍₁₎⊗_Rb₍₂₎. n, também é uma bijeção. De fato, considere as bijeções

φ : B ⊗RopN −→ B ⊗_RopB ⊗_BN b ⊗Ropn 7−→ b ⊗_Rop1_B⊗_Bn,

ψ : B ⊗RB ⊗BN −→ B ⊗RN

b ⊗Rb0⊗Bn 7−→ b ⊗Rb0. n.

e também Can ⊗BN. Dessa forma, para quaisquer b ∈ B e n ∈ N,

temos

= ψ(Can ⊗BN )(b ⊗Rop1_B⊗_Bn) = ψ(b(1)⊗Rb(2)⊗Bn)

= b(1)⊗Rb(2). n

= CanN(b ⊗Ropn).

Segue que CanN é bijeção. Concluímos que Can é bijeção se, e somente

se, CanN é bijeção. Pois se CanN é bijeção, segue que Can também

é, basta tomar N = B. Agora, sejam N, P ∈ BM. Veriquemos que

para o hom-funtor interno emBM, a avaliação

ev : BHom(B ⊗RN, P ) ⊗RN −→ P,

é dada, para quaisquer g ∈ BHom(B ⊗RN, P )e n ∈ N, por

ev(g ⊗Rn) = g(1B⊗Rn).

Mostremos que ev está bem denida. De fato, para quaisquer g ∈

BHom(B ⊗RN, P ), n ∈ N e b ∈ B, dena

e

ev : BHom(B ⊗RN, P ) × N −→ P,

tal que ev(g, n) = g(1e B⊗Rn)e mostremos queeve é R-balanceada, e ev(g · r, n) =ev(t(r) . g, n)_e = (t(r) . g)(1B⊗Rn) = g(t(r) ⊗Rn) = g(1B· r ⊗Rn) = g(1B⊗Rr · n) =ev(g, r · n)._e Portanto, existe uma única

ev : BHom(B ⊗RN, P ) ⊗RN −→ P,

que satisfaz ev(g ⊗Rn) = g(1B⊗Rn). Agora note que ev é morsmo

de B-módulos à esquerda. De fato, temos

ev(b . (g ⊗Rn)) = ev(b(1). g ⊗Rb(2). n)

= (b(1). g)(1B⊗Bb(2). n)

= g(b(1)⊗Rb(2). n)

= b . g(1B⊗Rn)

= b . ev(g ⊗Rn).

Agora, para cada Z ∈ BM e e : Z ⊗RN −→ P, dena

f : Z −→B Hom(B ⊗RN, P ),

tal que

f (z) : B ⊗RN −→ P, b ⊗Rn 7−→ e(b . z ⊗Rn),

para quaisquer z ∈ Z, b ∈ B e n ∈ N. Mostremos que f está bem denida. Para tanto, note que f(z) ∈ BHom(B ⊗RN, P ) ∀z ∈ Z. De

fato, para quaisquer r ∈ R, b, b0_{∈ Be n ∈ N, dena gf (z) : B×N −→ P}

tal que gf (z)(b, n) = e(b . z ⊗Rn), para z ∈ Z xo e mostremos que gf (z)

é R-balanceada, g f (z)(b · r, n) = gf (z)(t(r)b, n) = e(t(r)b . z ⊗Rn) = e(t(r) . (b . z) ⊗Rn) = e((b . z) · r ⊗Rn) = e((b . z) ⊗Rr · n) = gf (z)(b, r · n).

Portanto, existe uma única f(z) : B ⊗RN −→ P, que satisfaz f(z) =

e(b . z ⊗Rn), para quaisquer b ∈ B e n ∈ N. Agora note que f(z) é

morsmo de B-módulos à esquerda. De fato,

f (z)(b . (b0⊗Rn)) = f (z)(b(1)b0⊗Rb(2). n) = e(b(1)b0. z ⊗Rb(2). n) = e(b(1). (b0. z) ⊗Rb(2). n) = e(b . ((b0. z) ⊗Rn)) = b . e((b0. z) ⊗Rn) = b . f (z)(b0⊗Rn).

Dessa forma, temos

ev(f ⊗RN )(z ⊗Rn) = ev(f (z) ⊗Rn)

= f (z)(1B⊗Rn)

= e(z ⊗Rn).

Agora, podemos identicar o hom-funtor interno RopHom(N, P ) em

ReM, canonicamente com_BHom(B ⊗_RopN, P ). Antes, note que a es- trutura de Rop_{-bimódulo em qualquer B-módulo à esquerda N é dada,}

para quaisquer r, r0 _{∈ R}op _{e n ∈ N, por r · n · r}0 _{= t(r)s(r}0_{) . n. Por-}

tanto, dena ϕ :BHom(B ⊗Rop N, P ) −→ _RopHom(N, P ), tal que ϕ(f )(n) = f (1B ⊗Rn), para quaisquer f ∈ BHom(B ⊗RopN, P ) e n ∈ N. Mostremos que ϕ(f) é morsmo de Rop_{-módulos à esquerda.}

De fato, ϕ(f )(r · n) = f (1B⊗Ropr · n) = f (1B· r ⊗Ropn) = f (t(r) ⊗Ropn) = f (t(r) . (1B⊗Ropn)) = t(r) . f (1B⊗Ropn) = t(r) . ϕ(f )(n),

pois a estrutura de B-módulo à esquerda em B ⊗RopN é dada, para quaisquer b, b0_{∈ B e n ∈ N, por b . (b}0_⊗

Ropn) = bb0⊗_Ropn. Segue que ϕ(f ) está bem denida. Agora, para quaisquer g ∈ RopHom(N, P ), b ∈ B e n ∈ N, dena

ϕ−1 : RopHom(N, P ) −→ _BHom(B ⊗_RopN, P ), tal que ϕ−1_{(g)(b ⊗}

Ropn) = b . g(n). Mostremos que ϕ−1 está bem de- nida. Para tanto, para quaisquer b ∈ B, n ∈ N e g ∈ RopHom(N, P ) xo, dena ^ϕ−1_{(g) : B × N −→ P, tal que ^ϕ}−1_{(g)(b, n) = b . g(n).}

Mostremos que ^ϕ−1_{(g)é R-balanceada, de fato temos}

^ ϕ−1_{(g)(b · r, n) = bt(r) . g(n)} = b . (t(r) . g(n)) = b . g(t(r) . n) = b . g(r · n) = ^ϕ−1_{(g)(b, r · n).}

Portanto, existe uma única ϕ−1_{(g) : B ⊗}

R N −→ P, que satisfaz

ϕ−1(g)(b ⊗Ropn) = b . g(n). Assim, temos ϕ ◦ ϕ−1(g)(n) = ϕ(ϕ−1(g))(n)

= ϕ−1(g)(1B⊗Ropn) = 1B. g(n)

= g(n), por outro lado,

ϕ−1◦ ϕ(f )(b ⊗Ropn) = ϕ−1(ϕ(f ))(b ⊗Ropn) = b . ϕ(f )(n)

= b . f (1B⊗Ropn) = f (b ⊗Ropn).

Usando essa identicação, o morsmo avaliação emReM, ev0: BHom(B ⊗RopN, P ) ⊗_RN −→ P,

é dado, para quaisquer f ∈ BHom(B ⊗RopN, P )e n ∈ N, por ev0(f ⊗Rn) = f (1B⊗Ropn).

Mostremos agora que o funtor esquecimento BM −→ ReM preserva hom-funtores internos. Para tanto, considere a transformação natural

ξP : BHom(B ⊗RN, P ) −→ BHom(B ⊗RopN, P ),

tal que ξP(f )(b⊗Ropn) = f (b₍₁₎⊗_Rb₍₂₎.n). Perceba que para quaisquer f ∈ BHom(B ⊗RN, P ), n ∈ N e b ∈ B, temos

ξP(f )(b ⊗Ropn) = f (b₍₁₎⊗_Rb₍₂₎. n) = f (CanN(b ⊗Ropn)),

ou seja, ξP(f ) = f ◦ CanN. Agora note que o seguinte diagrama equi-

valente ao da Denição 3.16 para o funtor esquecimentoBM −→ ReM e para os hom-funtores internosBHom(B ⊗RN, P ) eBHom(B ⊗Rop N, p), emBM eReM, respectivamente, é comutativo BHom(B ⊗RN, P ) ⊗RN ξP⊗RN// Id  BHom(B ⊗RopN, P ) ⊗_RN ev0  BHom(B ⊗RN, P ) ⊗RN _ev // P.

De fato, para quaisquer f ∈ BHom(B ⊗RN, P )e n ∈ N, temos

= ξP(f )(1B⊗Ropn) = f (1B⊗Rn)

= ev(f ⊗Rn).

Se mostrarmos que ξP é uma bijeção para todo P se, e somente se,

CanN é uma bijeção, concluímos a demonstração. De fato, se CanN

é bijetiva, dena ξ−1

P := − ◦ Can

−1

N . Dessa forma, para quaisquer

f ∈ BHom(B ⊗RN, P ), temos

ξ_P−1◦ ξP(f ) = ξP−1(f ◦ CanN) = f ◦ CanN ◦ Can−1N = f

e por outro lado, para todo g ∈ BHom(B ⊗RopN, P ), temos ξP◦ ξP−1(g) = ξP(g ◦ Can−1N ) = g ◦ Can

−1

N ◦ CanN = g.

Agora, se ξP é bijetiva, pela Proposição 3.18 considerando X = B⊗RN,

Y = B ⊗RopN e µ = ξ_X, temos que

ξX(IB⊗RN) = IB⊗RN◦ CanN = CanN

é uma bijeção. Portanto, se Can é bijetiva, temos que CanN é bi-

jetiva e por sua vez ξX é uma bijeção. Logo, o funtor esquecimento BM −→ ReM preserva hom-funtores internos se, e somente se, Can é bijetiva.

A noção de uma ×R-Hopf álgebra é mais geral que um Hopf alge-

bróide, conforme nosso próximo e último teorema.

Teorema 3.20 Seja (HL,HR, S) um Hopf algebróide. Então a canô-

nica

Can : H ⊗LopH −→ H ⊗_LH, h ⊗_Lopk 7−→ h₍₁₎⊗_Lh₍₂₎k é bijetiva, com inversa h ⊗Lk 7−→ h(1)⊗LopS(h(2))k.

Demonstração: De fato, mostremos antes que Can−1 _{é morsmo de}

H-módulos à esquerda. De fato, para quaisquer h, h0 e k ∈ H, temos Can−1(h . (h0⊗Lk)) = Can−1(h(1)h0⊗Lh(2)k)

= h(1)(1)h0(1)⊗LopS(h₍₁₎(2)h0(2))h₍₂₎k = h(1)(1)h0(1)⊗LopS(h0(2))S(h₍₁₎(2))h₍₂₎k = h(1)h0(1)⊗LopS(h0(2))S(h(2)₍₁₎)h(2)₍₂₎k

= h(1)h0(1)⊗LopS(h0(2))s_R(ε_R(h(2)))k = h(1)h0(1)⊗LopS(t_R(ε_R(h(2)))h0(2))k = h(1)sR(εR(h(2)))h0(1)⊗LopS(h0(2))k = hh0(1)⊗LopS(h0(2))k = h . (h0(1)⊗LopS(h0(2))k) = h . Can−1(h0⊗Lk). Dessa forma,

Can−1(Can(h ⊗Lopk)) = Can−1(h₍₁₎⊗Lh(2)k)

= Can−1(h . (1H⊗Lk))

= h . Can−1(1H⊗Lk)

= h . (1H⊗Lopk) = h ⊗Lopk, por outro lado, temos

Can(Can−1(h ⊗Lk)) = Can(h(1)⊗LopS(h(2))k) = h(1)(1)⊗Lh(1)(2)S(h(2))k = h(1)⊗Lh(2)(1)S(h(2)(2))k = h(1)⊗LsL◦ εL(h(2))k = h(1)⊗LεL(h(2)) · k = h(1)· εL(h(2)) ⊗Lk = h ⊗Lk.

Sabe-se que nem toda ×R-Hopf álgebra vem de um bialgebróide

à esquerda que constitui um Hopf algebróide. De fato, um contra- exemplo pode ser encontrado em [17].

Considerações Finais

Apesar do estudo sobre Hopf algebróides no sentido [7] ter um pas- sado bastante curto, há de considerar que houve um bom progresso desde que foi iniciado. Citamos como progresso os seguintes estudos: comódulos sobre Hopf algebróides em [7], teoria de integrais de álge- bras de Hopf, que foi generalizada para Hopf algebróides em [5], temos também estudos sobre teoria de Galois de Hopf algebróides em [6]. Tais estudos não foram incluídos neste trabalho que tem caráter introdutó- rio, mas ca como proposta para estudos posteriores.

Por outro lado, existem diversos aspectos de álgebras de Hopf que ainda não foram investigados como estender para o âmbito de Hopf algebróides. Por exemplo, nada ainda foi feito no sentido de uma teoria de classicação e teoremas estruturais de Hopf algebróides.

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