Aplicac¸˜oes
6.3. I NVARIANTES DE E STRUTURAS G EOM ETRICAS ´
Segue que a classe de isomorfismo do algebr´oide de Lie classificante de um correfe- rencial completamente regular ´e um invariante da classe de equivalˆencia global, a menos de recobrimento, do correferencial.
A filosofia geral que advogamos ´e que um correferencial θ em M , visto como um morfismo de algebr´oides de Lie θ : T M → A, deve relacionar os invariantes de A com os invariantes do correferencial. Para ilustrar este ponto de vista, iremos descrever dois invariantes de correferenciais usando a cohomologia de algebr´oide de Lie de A.
Lembre que (veja a Sec¸˜ao 2.1) em qualquer algebr´oide de Lie existe uma diferen- cial exterior dA : Γ(∧•A∗) → Γ(∧•+1A∗) que torna (Γ(∧•A∗), dA) em um complexo de
cadeia cuja cohomologia H•(A) chamamos de cohomologia de algebr´oide de A. Expli- citamente, dAφ(α0, . . . αk) = k X i=1 (−1)i#(αi) · φ(α0, . . . , ˆαi, . . . , αk)+ + X 0≤i<j≤k (−1)i+jφ([αi, αj], α0, . . . , ˆαi, . . . , ˆαj, . . . , αk).
Lembre tamb´em que um morfismo de algebr´oides de Lie A → B ´e uma aplicac¸˜ao de complexos de cadeia
(Γ(∧•B∗), dB) → (Γ(∧•A∗), dA)
(veja a Proposic¸˜ao 2.1.11). Segue que um correferencial completamente regular θ em M induz uma aplicac¸˜ao θ∗ : H•(A) → HdR• (M ) da cohomologia de algebr´oide de Lie do algebr´oide classificante para a cohomologia de de Rham de M .
Denotamos por H∗(A) = n M k=1 Hk(A),
o an´el de cohomologia de A. Ent˜ao, ´e claro que:
Proposic¸˜ao 6.3.3 Sejam (M, θ) e ( ¯M , ¯θ) correferenciais completamente regulares que s˜ao globalmente equivalentes, a menos de recobrimento. Denote por (N, η) um recobri- mento de realizac¸˜oes comum a ambos os correferenciais, i.e.,
N φ ~~}}}}}} }} φ¯ !!B B B B B B B B M M .¯
Ent˜ao os suban´eis φ∗θ∗(H∗(A)) e ¯φ∗θ¯∗(H∗(A)) de HdR(N ) s˜ao isomorfos.
Em particular, se (M, θ) e ( ¯M , ¯θ) s˜ao correferenciais globalmente isomorfos, ent˜ao os suban´eis θ∗(H∗(A)) ⊂ HdR∗ (M ) e ¯θ∗(H∗(A)) ⊂ HdR∗ ( ¯M ) s˜ao isomorfos.
Observac¸˜ao 6.3.4 Podemos descrever o suban´el θ∗(H∗(A)) em termos da folheac¸˜ao em M dada pelas ´orbitas da ac¸˜ao infinitesimal da ´algebra de Lie de simetrias, ou equivalen- temente, pelas fibras da aplicac¸˜ao h : M → X.
De fato, recordamos que uma k-forma diferencial φ em M ´e chamada de b´asica se ela ´e o pullback de uma sec¸˜ao ϕ de ∧kA∗porθ, i.e.,
82 CAP´ITULO6. APLICAC¸ ˜OES
Assim, por definic¸˜ao, qualquer elemento de θ∗(H∗(A)) tem um representante que ´e b´asico. Se escrevermosφ em termos do correfrencial θ
φ = X
i1<···<ik
fi1,...,ikθ
i1 ∧ · · · ∧ θik,
ent˜ao φ ´e b´asica se e somente se fi1,...,ik ∈ C
∞(M ) satsifazem
fi1,...,ik = ai1,...,ik ◦ h,
ondeai1,...,ik ∈ C
∞(X). Em outras palavras, as func¸˜oes f
i1,...,ik tˆem de ser constantes ao
longo das fibras deh, i.e., elas s˜ao func¸˜oes b´asicas com respeito a folheac¸˜ao em M dada pelas fibras deh, ou equivalentemente, pelas ´orbitas da ac¸˜ao infinitesimal da ´algebra de Lie de simetrias deθ.
As 1-formas θk s˜ao b´asicas, e como as func¸˜oes estruturais de θ podem ser escritas
como func¸˜oes definidas em X, segue que as 2-formas dθk s˜ao b´asicas tamb´em. Al´em do
mais, como as derivadas correferenciais de h tamb´em podem ser escritas como func¸˜oes definidas emX, obtemos, como consequˆencia da regra da cadeia que as derivadas cor- referenciais de um func¸˜ao b´asica ´e tamb´em b´asica. Logo, o conjunto das formas b´asicas emM formam um subcomplexo de (Ω•(M ), d).
Chamaremos uma func¸˜ao f ∈ C∞(M ) de 1-b´asica se suas derivadas correferenciais forem func¸˜oes b´asicas. Definimos indutivamente o conjunto dasfunc¸˜oes l-b´asicas como sendo o subconjunto das func¸˜oes em M cujas derivadas correferenciais s˜ao l − 1-b´asicas. Fica natural definir tamb´em o conjunto das k-formas l-b´asicas, Ωl,k(M, θ), como o con-
junto dask-formas em M cujos coeficientes, quando escrito em termos do correferencial θ, s˜ao func¸˜oes l-b´asicas. A diferencial exterior de formas em M induz uma diferencial
δ : Ωl,k(M, θ) → Ωl−1,k+1(M, θ)
que torna(Ω•,•, δ) num complexo bigraduado. Se denotarmos a cohomologia deste com- plexo porHl,k(M, θ), fica claro que θ∗(Hk(A)) ´e isomorfo a H0,k(M, θ).
Outra maneira de obter invariantes cohomol´ogicos de um correferencial ´e olhando para as classes caracter´ısticas de A. Recordamos aqui o caso mais simples, a classe modular de A. Para maiores detalhes e exemplos, sugerimos que o leitor consulte [16] e [22]. Para a definic¸˜ao de outras classes caracter´ısticas de algebr´oides de Lie, referimos a [17], [11], e [14].
Definic¸˜ao 6.3.5 Uma representac¸˜ao de um algebr´oide de Lie A → X num fibrado ve- torial E → X ´e uma aplicac¸˜ao R-bilinear
∇ : Γ(A) × Γ(E) → Γ(E) que satisfaz
• ∇f αs = f ∇αs,
• ∇αf s = f ∇αs + #α(f )s, e
6.3. INVARIANTES DE ESTRUTURASGEOMETRICAS´ 83
para quaisquer sec¸˜oes α, α0 ∈ Γ(A), s ∈ Γ(E) e qualquer func¸˜ao f ∈ C∞(X).
Quando E = L ´e um fibrado de linha orient´avel, e λ ´e uma sec¸˜ao n˜ao nula de L, a sec¸˜ao ϕλ de A∗ definida por
ϕλ(α)λ = ∇αλ, para todo α ∈ Γ(A)
´e dA-fechada. Al´em do mais, sua classe de cohomologia de algebr´oide de Lie ´e inde-
pendente da escolha de λ. Ela ser´a chamada de classe caracter´ıstica da representac¸˜ao, e denotada por char(∇).
Se L n˜ao ´e orient´avel, ent˜ao L ⊗ L ´e orient´avel. A representac¸˜ao ∇ em L induz uma representac¸˜ao ¯∇ em L ⊗ L. Neste caso, definimos
char(∇) := 1
2char( ¯∇).
Todo algebr´oide de Lie pode ser representado naturalmente no fibrado de linha L = ∧topA ⊗ ∧topT∗X
atrav´es de
∇α(ψ ⊗ φ) = [α, ψ] ⊗ φ + ψ ⊗ L#αφ,
onde [ , ] denota o colchete de Gerstenhaber em Γ(∧•A). A classe caracter´ıstica desta representac¸˜ao, denotada por Mod(A), ´e chamada de classe modular do algebr´oide de Lie.
Definic¸˜ao 6.3.6 Seja θ um correferencial completamente regular em M com algebr´oide de Lie classificanteA. A classe modular do correferencial, Mod(θ), ´e a classe de coho- mologia
Mod(θ) = −θ∗Mod(A) ∈ HdR1 (M ).
Observac¸˜ao 6.3.7 Como a classe modular do fibrado tangente de uma variedade ´e nula, a definic¸˜ao acima ´e consistente com a definic¸˜ao de classe modular de um morfismo de algebr´oides de Lie apresentada em [22].
Claramente, temos:
Proposic¸˜ao 6.3.8 Sejam (M, θ) e ( ¯M , ¯θ) correferenciais completamente regulares que s˜ao globalmente equivalentes, a menos de recobrimento. Seja (N, η) um recobrimento de realizac¸˜oes comum a ambos os correferenciais, i.e.,
N φ ~~}}}}}} }} φ¯ !!B B B B B B B B M M .¯ Ent˜ao φ∗Mod(θ) = ¯φ∗Mod(¯θ).
Em particular, se θ1 e θ2 s˜ao correferenciais completamente regulares numa mesma
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Exemplos
Este cap´ıtulo ´e dedicado `a apresentac¸˜ao de alguns exemplos que ilustram os resultados obtidos ao longo da tese. Iremos exibir o algebr´oide de Lie classificante em diversos exemplos relacionados `a conex˜oes sem torc¸˜ao numa G-estrutura. Para comec¸ar, conside- ramos uma conex˜ao sem torc¸˜ao arbitr´aria numa G-estrutura tamb´em arbitr´aria. Acontece, no entanto, que o espac¸o de moduli de todos os germes de tais conex˜oes tem dimens˜ao infinita, e portanto, n˜ao pode ser tratado pelos nossos m´etodos. Por outro lado, existem muitas classes interessantes de conex˜oes sem torc¸˜ao cujo espac¸o de moduli tem dimens˜ao finita. Este ´e caso das conex˜oes sem torc¸˜ao de curvatura constante e das conex˜oes sem torc¸˜ao que s˜ao localmente sim´etricas, os primeiros exemplos apresentados abaixo.
O nosso exemplo principal, no entanto, s˜ao as conex˜oes simpl´eticas especiais, para as quais dedicamos uma parte substancial deste cap´ıtulo. Apesar da maioria dos resultados apresentados sobre estas conex˜oes n˜ao serem novos, a nossa abordagem ao problema ´e ligeiramente diferente da abordagem original. O nosso ponto de partida ´e a construc¸˜ao do algebr´oide de Lie classificante para estas estruturas, a partir da qual, todas as outras pro- priedades s˜ao deduzidas. Isto torna muitas das construc¸˜oes naturais e menos misteriosas. Referencias precisas ser˜ao dadas ao longo do texto.