Identidades de Bicliques

Enquanto a notação α-β nos permite descrevermos ordens de ocorrência de alguns dos eventos da biclique, a natureza das bicliques impõe restrições em tais eventos.

Uma das restrições é a de que, para cada parte, o evento de início mais à esquerda ocorre antes do evento de fim mais à esquerda. Enunciamos tal fato pelo seguinte lema.

Lema 9. Seja uma bicliquebde um modelo bipartido de intervalos M. Vale que α⁺_s(b) <E(M) α⁻_f(b).

Prova. Considere o intervalod relacionado com o eventoα⁻_f(b), isto é, tal que fd = α⁻_f(b). Como M é um modelo bipartido de intervalos, temos que todo evento de início ocorre antes de seu respectivo evento de fim, isto é,

sd <E(M) α⁻_f(b).

Pela definição da notaçãoα-β, temos queα⁺_s(b)deve ocorrer antes dos demais eventos de início dos intervalos deb∩A(M), isto é,

α⁺_s(b) ≤E(M) sd. Logo,

α⁺_s(b) <_E(M) α⁻_f(b).

De forma análoga, para cada parte, o evento de início mais à direita ocorre antes do evento de fim mais à direita. Enunciamos tal fato em nosso próximo lema.

Lema 10. Seja uma bicliquebde um modelo bipartido de intervalos M. Vale que α⁻_s(b) <_E(M) α⁺_f(b).

Prova. Considere o intervalod relacionado com o eventoα⁻_s(b), isto é, tal quesd =α⁻_s(b). Como Mé um modelo bipartido de intervalos, temos que todo evento de fim ocorre depois de seu respectivo evento de início, isto é,

α⁻_s(b) <E(M) fd.

Pela definição da notaçãoα-β, temos queα⁺_f(b)ocorre após todos os demais eventos de fim dos intervalos deb∩A(M), isto é,

fd ≤E(M) α⁺_f(b).

Logo,

α⁻_s(b) <E(M) α⁺_f(b).

Uma biclique requer, para ambas as partes, que todo intervalo de uma das partes tenha intersecção não-vazia com os intervalos da outra parte. Com isso, temos que o evento de fim do intervalo não pode ocorrer antes do evento de início de algum intervalo da parte contrária.

Isso nos traz algumas limitações quanto à ordem de alguns dos eventos da notaçãoα-β, como descrito pelo seguinte lema.

Lema 11. Seja uma bicliquebde um modelo bipartido de intervalos M. Vale que α⁺_s(b) ≤_E(M) α⁻_s(b) <_E(M) β⁻_f(b) ≤_E(M) β⁺_f(b).

Prova. Por definição da notaçãoα-β, temos que

α⁺_s(b) ≤E(M) α⁻_s(b) e que

β⁻_f(b) ≤E(M) β⁺_s(b).

Seβ⁻_f(b) <E(M) α⁻_s(b), o intervalo relacionado a β⁻_f(b)não intersecta o intervalo relacionado aα⁻_s(b). Comobé biclique e ambos intervalos estão em diferentes partes, temos que isso não ocorre. Logo,

α⁻_s(b) <_E(M) β⁻_f(b).

E, portanto,

α⁺_s(b) ≤E(M) α⁻_s(b) <E(M) β⁻_f(b) ≤E(M) β⁺_f(b).

6.3 Vãos e Centros

Algumas bicliques de um modelo bipartido de intervalos possuem a propriedade de, para uma das partes, seu evento de fim mais interno ocorrer antes de seu evento de início mais interno.

Os intervalos dessa parte não precisam necessariamente cobrir a região para que haja intersecção com todos os intervalos da outra parte. Chamamos tal região da biclique de “vão” e a definimos a seguir.

Definição 25. Ovãode uma bicliquebde um modelo bipartido de intervalosMé a região da sequênciaE(M)após o primeiro evento de fim (ou o fim mais interno) de uma das partes e antes o último evento de início (ou o início mais interno) da mesma parte. Dizemos quebpossui vão em A(M)ou B(M).

A Figura 6.3 ilustra um modelo bipartido de intervalos M tal queA(M) ={1,2},B(M) = {3,4,5} eE(M) = (s3,s1,s2, f3,s4, f4,s5, f1, f2, f5). O modelo M possui uma única biclique maximalb= {1,2,3,4,5}e esta, por sua vez, possui vão em B(M), o qual é representado pela região em destaque na figura. O vão é delimitado à esquerda pelo evento β⁻_f(b) = f3e à direita pelo evento β⁻_s(b)= s5.

Onde o vão é delimitado pelo evento de fim mais interno à esquerda e pelo evento de início mais interno à direita, podemos definir a região de uma das partes da biclique onde o contrário

β⁻_s(b) β⁻_f(b)

1 2

3 4 5

Figura 6.3: Vão de uma biclique

α⁻_s(b) α⁻_f(b)

1 2

3 4 5

Figura 6.4: Centro de uma biclique

ocorre; uma região que à esquerda é delimitada pelo evento de início mais interno e à direita é delimitada pelo evento de fim mais interno.

Nessa região, existe intersecção não-vazia com todos os intervalos dessa parte. Chamamos a região de “centro” e a definimos a seguir.

Definição 26. Ocentrodebé a região da sequênciaE(M)após o último evento de início (ou o início mais interno) de uma das partes e antes do primeiro evento de fim (ou o fim mais interno) da mesma parte. Dizemos quebpossui centro em A(M)ouB(M).

A Figura 6.4 ilustra o mesmo modelo bipartido de intervalosM representado pela Figura 6.3.

Denominando sua única biclique maximal porb={1,2,3,4,5}, temos quebpossui centro em A(M), o qual é representado pela região em destaque. O centro é delimitado à esquerda pelo eventoα⁻_s(b) = s2e à direita pelo eventoα⁻_f(b)= f1.

Cada parte de uma biclique do modelo pode ter ou um vão ou centro, tendo que a ordem dos eventos que delimitam tal região é o que define sua natureza. Entretanto, nosso próximo teorema enuncia que, se a biclique possui um vão em uma das partes, a outra parte tem necessariamente um centro.

Teorema 12. Seja uma bicliquebde um modelo bipartido de intervalos M. Sebpossui vão em uma da partes, a outra parte possui um centro, isto é,

α⁻_f(b) <E(M) α⁻_s(b) =⇒ β⁻_s(b) <E(M) β⁻_f(b) e

β⁻_f(b) <_E(M) β⁻_s(b) =⇒ α⁻_s(b) <_E(M) α⁻_f(b).

Prova. Seα⁻_f(b) ≤E(M) α⁻_s(b)acontece, pelo Lema 11, temos que β⁻_s(b) <E(M) α⁻_f(b) ≤E(M) α⁻_s(b) <E(M) β⁻_f(b).

Logo, temos que

α⁻_f(b) <E(M) α⁻_s(b) =⇒ β⁻_s(b) <E(M) β⁻_f(b).

De maneira análoga, temos que

β⁻_f(b) <_E(M) β⁻_s(b) =⇒ α⁻_s(b) <_E(M) α⁻_f(b).

Nosso próximo corolário enuncia que toda biclique possui algum centro em alguma de suas partes.

Corolário 13. Toda biclique de um modelo bipartido de intervalos possui, pelo menos, um centro.

Prova. Consequência direta do Teorema 12.

A biclique descrita pelas Figuras 6.3 e 6.4 possui um vão em B(M) que está totalmente incluso no centro emA(M). Porém, mostramos que toda biclique que possui um vão possui tal propriedade em nosso próximo lema.

Lema 14. Seja uma bicliquebde um modelo bipartido de intervalos M. Sebpossui centro em uma das partes e um vão na outra, vale que o centro cobre o vão.

Prova. Pelo Lema 11, temos que

α⁻_s(b) <E(M) β⁻_f(b)e β_s⁻(b) <E(M) α⁻_f(b).

Considere quebpossui centro em A(M)e vão em B(M). Temos que α⁻_s(b) <E(M) α⁻_f(b)e β⁻_f(b) <E(M) β⁻_s(b).

Logo, temos que

α⁻_s(b) <E(M) β⁻_f(b) <E(M) β⁻_s(b) <E(M) α⁻_f(b).

De maneira análoga, temos que, se bpossui centro em B(M) e vão em A(M), seu centro também cobre seu vão.

Como acabamos de demonstrar, vãos de bicliques estão propriamente contidos em centros de suas respectivas bicliques. Nosso próximo lema enuncia que, se uma biclique possui centros em ambas as partes, então ambos seus centros se intersectam.

α⁻_s(b) α⁻_f(b) b∩ A(M)

b∩B(M)

d

Figura 6.5: Intervalo que intersecta centro na parte contrária de uma biclique

Lema 15. Seja uma bicliquebde um modelo bipartido de intervalos M. Sebpossui centro em ambas as partes, ambos centros se intersectam.

Prova. Pelo Lema 11, temos que

α⁻_s(b) <E(M) β⁻_f(b)e β_s⁻(b) <E(M) α⁻_f(b).

Como α⁻_s(b) <_E(M) α⁻_f(b) e β⁻_s(b) <_E(M) β⁻_f(b), temos que existe intersecção entre os centros deb.