5.3 Imageamento de Fonte Imagem
A próxima etapa no procedimento de localização de objetos enterrados envolve identificar as interfaces geológicas. Pinson [8, 9, 107] desenvolve um método sísmico para a determinação de parâmetros geoacústicos baseado na representação do campo acústico em um ambiente submerso como a sobreposição do campo de fontes imagem. A escolha de representar o sistema dessa forma, como comenta o autor, permite identificar o número de camadas e suas características. As próximas seções descrevem o método da fonte imagem, as devidas aproximações assumidas para que o mesmo seja válido para o problema proposto, e a sua utilização para a identificação das interfaces geológicas em um ambiente submerso.
5.3.1 Método da fonte imagem
O método da fonte imagem é um dos métodos mais utiliza- dos para o modelamento da propagação acústica em ambientes fechados (acústica de salas), ele consiste em uma forma meticulosa de construir uma solução da função de Green para diversas condições de contorno [108]. Esse método tem suas raízes em ótica geométrica, porque a sua aplicação passa por assumir os contornos nos quais a onda acústica incide como espelhos, produzindo uma fonte virtual da fonte real espelhada em relação ao contorno [109]. Tem-se que o tempo para a propagação da onda da fonte virtual ao receptor será exatamente igual ao tempo de propagação da fonte real ao receptor pelo menor caminho de reflexão no contorno (reflexão especular).
Conforme Kovitz [110], a melhor forma de descrever o método da fonte imagem é por meio de um exemplo. A Figura5.6mostra uma fonte sonora, representada como um círculo preenchido, imersa
em um meio com propriedades acústicas c0 e ρ0, e posicionada
nas coordenadas (xs, zs). Nas imediações dessa fonte existe uma
interface com um outro meio de propriedades acústicas c1 e ρ1. Segundo o método das fontes imagem, a alteração no campo acústico introduzida por essa interface pode ser contabilizada ao
se adicionar uma imagem da fonte original espelhada em relação à interface, nesse exemplo posicionada nas coordenadas (xs,−zs)
e representada como um círculo vazio. Dessa forma, o campo acústico medido pelo receptor, representado pelo quadrado vazio posicionado em (x, z), é a sobreposição dos campos gerados por
essas duas fontes.
Figura 5.6.: Esquema do princício do método de fonte imagem.
Em termos matemáticos, tem-se que a solução da equação da onda não homogênea para esse exemplo pode ser escrita como o somatório de duas soluções para fontes elementares em campo livre (Funções de Green), uma localizada na fonte real e a outra na fonte imagem, de forma que a resposta impulsiva2do sistema se torna:
h(t) = δ(t− r0 c0) r0 + δ(t− rcim 0 ) rim , (5.14) dados, r0 = q (x−x0)2+ (y−y0)2+ (z−z s)2, (5.15) rim = q (x−x0)2+ (y−y0)2+ (z+zs))2, (5.16) as distâncias fonte-receptor e fonte imagem-receptor, respectiva- 2Resposta do sistema a uma excitação pontual igual (ou próxima) a um Delta
5.3. Imageamento de Fonte Imagem 109 mente. Sendo a resposta do sistema dada pela convolução da resposta impulsiva com um sinal de entrada qualquer s(t),
g(x, z, t) =h(t)
∗
s(t). (5.17) EsSe conceito pode ser expandido para qualquer número sucessivo de reflexões nos contornos. A resposta impulsiva de uma sala fechada, por exemplo, pode ser obtida de forma simples conforme ressalta Romano [108], basta seguir os passos:1. Expandir todas as possíveis posições das fontes imagem; 2. Obter o tempo de propagação da onda das fontes imagem até
o ponto de interesse (receptor);
3. Levar em conta a redução da pressão acústica devido ao espalhamento esférico/cilíndrico;
4. Levar em conta as condições de contorno, que podem apresentar diferenças de impedância, que devem adicionar um termo de escalonamento da amplitude (Ai) na resposta; 5. A resposta impulsiva é o somatório da contribuição de todas
as fontes, reais e virtuais: h(t) = n
∑
i=0 Aiδ(t−∆ti) ri , (5.18)sendo ∆ti o tempo de propagação da onda de dada
fonte/fonte imagem i até o receptor, sendo que ∆ti = ri
c. (5.19)
Este princípio de aproximar reflexões como fontes imagens já
vem sendo usados a muitos anos. Eyring [111] em 1930 propôs
um método para a obtenção de uma forma de equacionamento do tempo de reverberação de salas. Mintzer [112] em 1950 avaliou a aplicação do método da fonte imagem em diferentes configurações, como com apenas um plano refletor, dois planos refletores paralelos e uma sala retangular. Allen [113] em 1979 discutiu um método de
simulação computacional simples para a propagação acústica em salas retangulares de paredes não-rígidas baseado no método da fonte imagem.
Mesmo sendo um método onipresente em muitos campos de pesquisa de engenharia e acústica nas últimas décadas, como
pontuado por Lehmann [114], o método da fonte imagem,
devido a sua simplicidade conceitual e relativa simplicidade de implementação, continua sendo aplicado em diversas situações, como no modelamento da propagação sonora em ambientes fechados, no controle de ruído em grandes espaços, em estudos de auralização e realidade aumentada. Em muitos casos o método da fonte imagem se apresenta como uma forma rápida de gerar dados de entrada para os mais diversos algoritmos de processamento de sinais, como feito por Lehmann [115] que utiliza dados de campo reverberante em uma sala, gerados com o método da fonte imagem, para testar um algoritmo de localização de fontes baseado um método Monte Carlo Sequencial3.
Nos últimos anos, Pinson [8–10] vêm utilizando o método
da fonte imagem como uma ferramenta para a realização do imageamento da superfície de fundo de ambientes submersos. O método assume que as interfaces geológicas entre diferentes meios de propagação da onda (coluna d’água e camadas de diferentes sedimentos) são espelhos acústicos onde imagens da fonte real devem aparecer. A estrutura dessa superfície de fundo pode então ser determinada por meio da localização dessas fontes imagem. O método permite a obtenção da espessura das diferentes camadas geológicas assim como as velocidades de propagação da onda acústica nessas camadas.
O princípio básico da localização das fontes imagem, e por consequência, da localização das interfaces geológicas, está em migrar o sinal de cada um dos hidrofones para a sua respectiva posição de fonte image no espaço. Essa migração é feita conforme o processo de imageamento descrito no Capítulo 4, aplicando a Equação (4.4). Porém, a grande diferença entre as duas migrações
5.3. Imageamento de Fonte Imagem 111 está na lei do tempo utilizada. Para o imageamento clássico, cada um dos pontos do espaço é assumido como um espalhador, de forma que sua lei do tempo fica tn(rr) = R0/c+R/c. Já quando se
realiza a migração das fontes imagens, assume-se que cada ponto no espaço se comporta como uma fonte imagem que emite o sinal de entrada juntamente com a fonte real, fazendo com que a lei do tempo fique tn(r) = ||rn−r||/c, que representa o tempo de propagação da onda do ponto de interesse rr= (x, z)até o hidrofone
n. De forma que é utilizada a seguinte equação de migração: Iim(r) = v u u t 1 N2 N
∑
n=1 N∑
j=1 gH n(tn(r))gj∗H(tj(r)), (5.20) com gHn(tn(r)) sendo o sinal analítico medido no hidrofone n
do arranjo. A Figura 5.7 mostra um exemplo do imageamento
das fontes imagem obtido à partir dos sinais filtrados, conforme apresentado na Figura5.5 (b), após a aplicação da Equação5.20. Os tempos de atraso utilizados neste imageamento assumem que todas as fontes estão localizadas em um meio homogêneo com velocidade de propagação sonora c0, isso adiciona um erro do posicionamento das fontes imagem, que deveriam estar alinhadas no mesmo eixo da fonte real caso fossem utilizadas as velocidades de propagação corretas durante o cálculo dos tempos de propagação. Mesmo essas posições no espaço não sendo corretas, elas representam corretamente o tempo de viagem para cada reflexão e suprem a necessidade do algoritmo de filtragem de interfaces geológicas. Pinson [10] apresenta uma forma de obter os valores de espessura e de velocidade de propagação sonora em cada camada a partir dessas posições incorretas das fontes imagem. Com isso, ele consegue caracterizar a subsuperfície de fundo de forma relativamente simples, com gastos computacionais muito menores do que aqueles gastos em processos de inversão usuais e com a utilização de dados proveniente de sistemas comuns de sonar.
Distância(m) Profundidade(m) −20 0 20 40 −100 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 −20 −18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 Arranjo Fonte
Figura 5.7.: Mapa de pressões gerado pelo imageamento das fontes imagens com a utilização da Equação 5.20 em dados simulados. A apresentação das pressões é dada em escala dB, após sua normalização.
Destaca-se que algumas aproximações são feitas para se modelar a propagação em meios multicamadas com o método da fonte imagem. É assumido que a coluna d’água e as camadas geológicas são homogêneas, sem variações das propriedades acústicas em sua totalidade, e, que não ocorrem reflexões múltiplas entre camadas. Essa aproximação usualmente é válida, pois a amplitude dos sinais referente às múltiplas reflexões é de ordem consideravelmente menor quando comparada à primeira reflexão. É importante
também que o ângulo de incidência θi na camada seja menor
que o ângulo crítico, pois caso contrário, ocorreria a reflexão total impedindo a identificação de camadas mais profundas.