Imers˜ oes Isom´ etricas e as Equa¸c˜ oes Fundamentais

Defini¸c˜ao 1.71 Sejam Mn_{e M}n+k_{(k ≥ 1) variedades Riemannianas. Uma imers˜}_ao

Dada uma imers˜ao isom´etrica ϕ : Mn _{→ M}n+k_{, podemos estabelecer rela¸c˜}_oes

entre objetos definidos em ambas as variedades. Estas rela¸cões são expressas por meio das Equa¸cões Fundamentais das Imersões Isométricas.

Lembremo-nos que a Proposi¸c˜ao 1.26 nos diz que se ϕ : Mn _{→ M}n+k _´_{e uma}

imersão, então ϕ é localmente um mergulho. Nestas condi¸cões, podemos identificar um aberto U de M com ϕ(U ), e dizer que ϕ é localmente a aplica¸cão de inclusão. Mais ainda, podemos considerar U como uma subvariedade de M . Em particular, estamos identificando p ∈ U com ϕ(p) ∈ ϕ(U ).

Conseq¨uentemente, para cada p ∈ M , o espa¸co tangente TpM ´e considerado um

subespa¸co vetorial de TpM de dimensão n (já considerando a identifica¸cão acima).

Assim, se considerarmos o espa¸co k-dimensional TpM⊥ = { v ∈ TpM : hu, vi =

0, ∀u ∈ TpM }, podemos escrever

TpM = TpM ⊕ TpM⊥.

O espa¸co TpM⊥ ´e chamado de espa¸co normal `a M em p.

Temos deste modo, o fibrado normal

T M⊥ = {(p, ξp)|p ∈ M, ξp ∈ TpM⊥} =

[

p∈M

TpM⊥.

Um campo de vetores normal ξ é uma correspondência que a cada p ∈ M associa um vetor em TpM⊥. Dizemos que ξ ∈ T M⊥ é diferenciável se ele for localmente a

restri¸cão à T M⊥de algum campo de vetores diferenciável em M . Indicaremos por X (M )⊥ _{os campos de vetores diferenci´}_{aveis normais `}_{a M .}

Tomemos agora, campos locais de vetores X e Y tangentes a M . Como ϕ|U ´e

um mergulho, existem extens˜oes locais X e Y de X e Y , respectivamente, numa vizinhan¸ca de U em M .

Assim, se ∇ é a conexão de Levi-Civita de M , faz sentido calcularmos ∇_XY , ou até mesmo ∇XY .

Pode-se mostrar que ∇XY n˜ao depende da extens˜ao Y de Y que tomamos, e

portanto, por simplicidade de nota¸c˜ao, denotaremos ∇XY por ∇XY , lembrando

que isso significa tomar uma extens˜ao de Y para calcular a derivada covariante. Temos ent˜ao:

∇XY = (∇XY )>+ (∇XY )⊥. (1.4)

No entanto, é poss´ıvel verificar que (∇..)>é a própria conexão de Levi-Civita de

M (que denotaremos por ∇), isto ´e, (∇XY )>= ∇XY.

Defini¸cão 1.72 Definimos a segunda forma fundamental da imersão ϕ, como sendo a aplica¸cão bilinear α : X (M ) × X (M ) → X (M )⊥ dada por α(X, Y ) = (∇XY )⊥.

Deste modo, ∀X, Y ∈ X (M ), obtemos de (1.4) a f´ormula de Gauss

∇XY = ∇XY + α(X, Y ). (1.5)

Proposi¸c˜ao 1.73 Se X, Y ∈ X (U ), a aplica¸c˜ao α : X (U ) × X (U ) → X (U )⊥ dada por

α(X, Y ) = ∇_XY − ∇XY

e simétrica e bilinear em rela¸cão à D(M ).

Al´em disso, se X ∈ X (M ) e ξ ∈ X (M )⊥, podemos escrever

∇Xξ = (∇Xξ)>+ (∇Xξ)⊥, (1.6)

e com rela¸c˜ao `a componente normal, definimos ∇⊥_Xξ := (∇Xξ)⊥.

Veja que para quaisquer ∀X, Y ∈ X (M ), f, g ∈ D(M ) e ξ ∈ X (M )⊥, temos que ∇⊥ : X (M ) × X (M )⊥ → X (M )⊥ _´_{e por defini¸c˜}_{ao: ∇}⊥

f X+gYξ = ∇f X+gYξ −

Com isso, podemos concluir que ∇⊥ ´_{e D(M )-linear em X e R-linear em ξ, pois} ∇ e ∇> s˜ao conex˜oes afins.

Al´em disso, ∀f ∈ D(M ) temos ∇⊥_Xf (ξ) = f ∇⊥_Xξ + X(f )ξ.

Assim, ∇⊥ é uma conexão afim em T M⊥ chamada conexão normal.

Se η ∈ X (M )⊥, então Xhξ, ηi = h∇⊥_Xξ, ηi + hξ, ∇⊥_Xηi, ou seja, ∇⊥ é compat´ıvel com a métrica.

Quanto `a componente tangencial, definimos

AξX := −(∇Xξ)>, (1.7)

onde Aξ : X (M ) → X (M ).

Proposi¸c˜ao 1.74 Para todo p ∈ M , temos que Aξp : TpM → TpM ´e um operador

linear auto-adjunto.

Demonstra¸cão: Basta verificar que dados X, Y ∈ X (M ) e ξ ∈ X (M )⊥, temos da Proposi¸cão 1.51 e das expressões (1.6) e (1.5) que

hAξ(X), Y ip = h−(∇Xξ)>, Y i = h−∇Xξ, Y i = hξ, ∇XY i =

= hξ, ∇XY + α(X, Y )i = hξ, α(X, Y )i = hξ, α(Y, X)i = ... = hAξ(Y ), Xip.

Note que em particular, hAξX, Y i = hα(X, Y ), ξi.

Veja que de (1.6) e (1.7) obtemos

∇Xξ = −AξX + ∇⊥Xξ, (1.8)

e chamamos tal expressão de Fórmula de Weingarten e o operador Aξ é chamado

de operador forma (shape operator), ou ainda, por abuso de linguagem, de segunda forma fundamental.

A curvatura R em M ´e dada por

e em virtude dos objetos definidos at´e aqui observemos que ao considerarmos R e R as curvaturas de M e M , respectivamente, e dados quaisquer X, Y, Z ∈ X (M ), segue que:

∇X∇YZ = ∇X(∇YZ + α(Y, Z)) = ∇X∇YZ + ∇Xα(Y, Z) =

= ∇X∇YZ + α(X, ∇YZ) − Aα(Y,Z)X + ∇⊥Xα(Y, Z).

Analogamente,

∇Y∇XZ = ∇Y∇XZ + α(Y, ∇XZ) − Aα(X,Y )Y + ∇⊥Yα(X, Z).

Finalmente, tamb´em pela F´ormula de Gauss temos ∇[X,Y ]Z = ∇[X,Y ]Z + α([X, Y ], Z),

e tomando a parte tangencial em (1.9) resulta:

(R(X, Y )Z)> = ∇X∇YZ − Aα(Y,Z)X − ∇Y∇XZ + Aα(X,Z)Y − ∇[X,Y ]Z

⇒ (R(X, Y )Z)> = R(X, Y )Z + Aα(X,Z)Y − Aα(Y,Z)X.

Assim, ∀W ∈ X (M ) temos: hR(X, Y )Z, W i = hR(X, Y )Z, W i+hα(Y, W ), α(X, Z)i− hα(X, W ), α(Y, Z)i, obtendo assim a chamada Equa¸c˜ao de Gauss:

hR(X, Y )Z, W i = hR(X, Y )Z, W i + hα(X, W ), α(Y, Z)i − hα(X, Z), α(Y, W )i. (1.10) Observe que ao considerarmos X, Y ∈ TpM ortonormais e o subespa¸co σ de

TpM gerado por eles e se K(X, Y ) = hR(X, Y )Y, Xi e K(X, Y ) = hR(X, Y )Y, Xi

denotam as curvaturas seccionais em M e M de σ, respectivamente, temos de (1.10) que

K(X, Y ) = K(X, Y ) + hα(X, X), α(Y, Y )i − kα(X, Y )k2. Defina

Com isso, ao considerarmos a componente normal em (1.9) obtemos a Equa¸c˜ao de Codazzi:

(R(X, Y )Z)⊥= (∇⊥_Xα)(Y, Z) − (∇⊥_Yα)(X, Z).

Finalmente, consideramos o tensor curvatura em T M⊥, ou seja, R⊥(X, Y )ξ = ∇⊥ X∇ ⊥ Yξ − ∇ ⊥ Y∇ ⊥ Xξ − ∇ ⊥

[X,Y ]ξ para todo X, Y ∈ T M e ξ ∈ T M

⊥_{. Das equa¸c˜}_{oes (1.8)}

e (1.5) segue que a componente normal de R(X, Y )ξ satistaz a Equa¸c˜ao de Ricci: (R(X, Y )ξ)⊥ = R⊥(X, Y )ξ + α(AξX, Y ) − α(X, AξY ).

Ressaltamos que se fizermos o produto escalar por η ∈ TpM⊥, na express˜ao

acima, a Equa¸c˜ao de Ricci pode ser escrita como

hR(X, Y )ξ, ηi = hR⊥(X, Y )ξ, ηi − h[Aξ, Aη]X, Y i,

onde [Aξ, Aη] = AξAη − AηAξ.

Analogamente, fazendo alguns c´alculos, a Equa¸c˜ao de Codazzi pode ser escrita como

(R(X, Y )ξ)> = (∇YA)(X, ξ) − (∇XA)(Y, ξ),

onde (∇YA)(X, ξ) = ∇YAξX − Aξ∇YX − A∇⊥ YξX.

Agora que formalizamos tais equa¸cões, vamos reescrevê-las para o caso de uma imersão ϕ : Mn_{→ M}n+k

c , onde M n+k

c denota uma variedade de curvatura seccional

constante igual a c.

Sabemos pelo Lema 1.68 que R = cR0, e deste modo, as equa¸c˜oes de Gauss, Codazzi e Ricci podem ser escritas como:

Equa¸c˜ao de Gauss

hR(X, Y )Z, W i = chR0(X, Y, Z), W i + hα(X, W ), α(Y, Z)i − hα(X, Z), α(Y, W )i, (1.11) Equa¸c˜ao de Codazzi

ou equivalentemente, (∇XA)(Y, ξ) = (∇YA)(X, ξ), (1.12) Equa¸c˜ao de Ricci R⊥(X, Y )ξ = α(X, AξY ) − α(AξX, Y ), ou equivalentemente, hR⊥(X, Y )ξ, ηi = h[Aξ, Aη]X, Y i. (1.13)

Decorre da ´ultima equa¸c˜ao que R⊥ = 0 se e somente se [Aξ, Aη] = 0 para todo

ξ, η, isto ´e, se e somente se para todo p ∈ M existe uma base de TpM que diagonaliza

simultaneamente todos os operadores Aξ.

Em particular, se ϕ : Mn _{→ M}n+k _´_{e uma imers˜}_{ao isom´}_{etrica onde a codimens˜}_ao

k de ϕ é igual a 1, então ϕ é denominada uma hipersuperf´ıcie. É imediato que dado p ∈ M , temos dim_R((TpM )⊥) = 1, e neste caso, [Aξ, Aη] = 0.

Por outro lado, vimos que ∇Xξ = ∇⊥Xξ − AξX = ∇⊥Xξ + ∇Xξ>, e al´em disso,

0 = Xhξ, ξi = 2h∇Xξ, ξi. Logo, ∇Xξ = 0 e pela defini¸c˜ao de R⊥(X, Y )ξ, segue que

a equa¸cão de Ricci é naturalmente satisfeita, pois teremos em (1.13) uma equa¸cão do tipo 0 = 0. Isto é, no caso das hipersuperf´ıcies, temos de fato somente duas equa¸cões fundamentais.

Dada uma imers˜ao isom´etrica ϕ : Mn _{→ M}n+1_{, x ∈ M e ξ ∈ T}

pM⊥ sabemos

que o operador Aξ ´e auto-adjunto, e portanto, existe uma base ortonormal de TxM

constitu´ıda de autovetores e1(x), ..., en(x) associados aos autovalores λ1(x), ..., λn(x).

Neste sentido, denominamos λ1(x), ..., λn(x) de curvaturas principais de ϕ em x,

e analogamente dizemos que e1(x), ..., en(x) s˜ao dire¸c˜oes principais.

Defini¸cão 1.75 Uma imersão isométrica ϕ : Mn _{→ M}n+k _´_{e dita umb´ılica em}

x0 ∈ M quando Aξ = λξI para todo ξ ∈ Tx0M

⊥_{, onde λ}

ξ ∈ R e I ´e a aplica¸c˜ao

Além disso, dizemos que ϕ é uma imersão umb´ılica quando é umb´ılica em todo x ∈ M .

Defini¸cão 1.76 Seja Aξ a segunda forma fundamental relativa à imersão ϕ : Mn→

Mn+1 e x ∈ M . Ent˜_{ao, para todo r ∈ N, 1 ≤ r ≤ n definimos a r-´esima curvatura} m´edia Hr de ϕ em x por

Hr(x) =

i16=i26=...6=ir

λi1(x).λi2(x)...λir(x),

onde os ´ındices i1 6= i2 6= ... 6= ir s˜ao distintos dois a dois.

Algumas r-´esimas curvaturas m´edias recebem nomes especiais.

Defini¸c˜ao 1.77 Dada uma imers˜ao ϕ : Mn _{→ M}n+1 _{com a segunda forma funda-}

mental Aξ, definimos a curvatura m´edia H de ϕ em x por

H(x) = 1 n n X i λi(x) = 1 n(trAξ) = 1 nH1(x).

Quando r = n, chamaremos Hn(x) = λi1(x)λi2(x)...λir(x) = det(Aξ) de curvatura

de Gauss-Kronecker de ϕ em x.

Daqui em diante estudaremos um caso particular de imers˜ao isom´etrica ϕ : Mn→ Mn+1, a saber, quando Mn+1 _{= R}n+1.

Vamos denotar a esfera unit´_{aria n-dimensional em R}n+1 _{por S}n_{(1) e supor M}n

orient´avel.

Então, fixada uma orienta¸cão em M , podemos escolher em T M⊥ um campo de vetores normal unitário (global) ξ e definir a seguinte aplica¸cão:

N : Mn → Sn₍₁₎

por

Note que tal aplica¸cão está globalmente definida (pois tomamos M orientada), e a mesma é chamada Aplica¸cão Normal de Gauss. Além disso, ξx ∈ Sn(1) representa

a transla¸c˜ao do vetor ξx ∈ TxM⊥ para a origem de Rn+1. Mais ainda, para todo

x ∈ M, os espa¸cos vetoriais TxM e TN (x)Sn(1) s˜ao paralelos em Rn+1, donde segue

que existe um isomorfismo natural entre tais espa¸cos, e nestas condi¸c˜oes, podemos identific´a-los.

Veja que N é claramente diferenciável. Além disso, temos o seguinte resultado:

Proposi¸c˜ao 1.78 A diferencial da aplica¸c˜ao normal de Gauss em p ∈ M , dNp :

TpM → TpM , ´e um operador linear auto-adjunto.

Proposi¸cão 1.79 Seja ϕ : Mn_{→ R}n+1uma hipersuperf´ıcie orientável com aplica¸cão normal de Gauss N : Mn_{→ S}n

1. Ent˜ao, para cada x ∈ M, temos

(dNx) = −Aξ(x).

Demonstra¸c˜ao : Consideremos X ∈ TxM e seja γ : (−ε, ε) → M uma curva

diferenci´avel com γ(0) = x e γ0(0) = X. Segue da defini¸c˜ao de diferencial, que

(dNx)(X) =

dt(N ◦ γ)(t)|t=0 = X(ξx) = (∇Xξ)x= −Aξ(x)X, onde a ´ultima igualdade se d´a pela F´_{ormula de Weingarten (1.8).}

Deste ´ultimo resultado podemos concluir que α(ei, ej) = −hdN (ei), eji.

Sabemos que a curvatura seccional de Rn+1 ´e nula, e sendo assim, a equa¸c˜ao (1.11) pode ser escrita como

hR(X, Y )Z, W i = hα(X, W ), α(Y, Z)i − hα(X, Z), α(Y, W )i.

Em particular, se dado x ∈ M o conjunto {e1, ..., en} ´e uma base ortonormal de

TxM que diagonaliza Aξ, temos que

S(x) = n X i,j=1 hR(ei, ej)ej, eii = X i,j

hα(ei, ei), α(ej, ej)i−hα(ei, ej), α(ej, ei)i =

i6=j

= H2(x). (1.14)

Neste caso veja que a defini¸cão de curvatura escalar coincide com a defini¸cão da segunda curvatura média dada na Defini¸cão 1.76.

Cap´ıtulo 2

Hipersuperf´ıcies Convexas em R

n

Neste cap´ıtulo apresentaremos o Teorema de Hadamard para Hipersuperf´ıcies Con- vexas que aponta implica¸cões topológicas importantes da aplica¸cão normal de Gauss. Para isso serão necessários alguns resultados de Topologia, os quais não faremos demonstra¸cão, ressaltando que podem ser consultados em [13].

Com isso, concluiremos que a esfera ´e a ´unica hipersuperf´ıcie conexa e compacta com curvatura de Gauss-Kronecker constante mergulhada no espa¸co euclidiano.

2.1 O Teorema de Hadamard para hipersuperf´ıcies

convexas

Vamos iniciar esta se¸cão apresentando resultados preliminares de Topologia. Ao longo desta subse¸cão E e B denotarão espa¸cos topológicos.

Teorema 2.1 Todo subespa¸co compacto de um espa¸co topol´ogico Hausdorff ´e fechado.

Teorema 2.2 Seja f : E → B uma fun¸cão cont´ınua bijetora. Se E é compacto e B é Hausdorff, então f é um homeomorfismo.

Defini¸cão 2.3 Seja π : E → B uma aplica¸cão cont´ınua sobrejetora. Um conjunto aberto U de B é chamado um aberto distinguido de B por π se π−1(U ) puder ser

escrito como

[

α∈J

Vα,

onde os V_α0s s˜ao abertos disjuntos entre si e π|Vα : Vα→ U ´e um homeomorfismo.

Defini¸cão 2.4 Seja π : E → B cont´ınua e sobrejetora. Se todo ponto b de B tem uma vizinhan¸ca U que é um aberto distinguido por π, então π é chamada uma aplica¸cão de recobrimento e E é dito um espa¸co de recobrimento de B.

Proposi¸cão 2.5 Se π : E → B é uma aplica¸cão de recobrimento, com E conexo por caminhos e B simplesmente conexo, então π é homeomorfismo.

Proposi¸cão 2.6 Se f : E → B é um homeomorfismo local, com E compacto e B conexo, então f é uma aplica¸cão de recobrimento.

Teorema 2.7 (Teorema da Separa¸c˜ao de Jordan-Brouwer) - Seja M uma hipersuperf´ıcie conexa e compacta de Rn_{. Ent˜}_{ao R}n_{− M consiste em dois abertos}

conexos (regiões) D1 e D2, tais que M = D1 ∩ D2, isto é, M é a fronteira dos

dom´ınios Di, sendo um destes compacto.

Demonstra¸cão: Uma demonstra¸cão deste resultado pode ser consultada em [8]. Daqui em diante, admitiremos que as imersões mencionadas são isométricas e quando for conveniente vamos denominar a imersão ϕ : Mn _{→ R}n+1 _{de hipersu-}

perf´ıcie, entendendo que ϕ ´e um mergulho e que estamos nos referindo `a subvariedade M ≈ ϕ(Mn_{) de R}n+1.

Vejamos agora alguns resultados auxiliares para a demonstra¸c˜ao do Teorema de Hadamard.

Proposi¸c˜ao 2.8 Seja ϕ : Mn _{→ R}n+1 _{hipersuperf´ıcie compacta. Ent˜}_{ao existe um}

ponto x0 ∈ M e um vetor normal ξ ∈ Tx0M

⊥ _{tal que a segunda forma fundamental}

Demonstra¸c˜ao: Vamos considerar a fun¸c˜_{ao f : M → R dada por f (x) =} 1₂kϕ(x)k2_,

que é claramente diferenciável, e note que ϕ(x) pode ser vista como um vetor posi¸cão em Rn+1_{. Assim, dado p ∈ M e X ∈ T}

pM temos que ∇Xϕ = X, onde ∇ ´e a conex˜ao

riemanniana de Rn+1.

Note que pela compacidade de M, est´a garantida a existˆencia de x0 ∈ M, tal que

f assume um valor m´aximo. Deste modo, para todo X ∈ Tx0M temos

0 = X(f )(x0) = X(

2hϕ, ϕi)(x0) = hX, ϕ(x0)i e conseq¨uentemente, segue que ϕ(x0) ´e normal a M em x0.

Al´em disso, considerando α a segunda forma fundamental de ϕ temos que 0 ≥ X(X(f ))(x0) = XhX, ϕi(x0) = h∇XX, ϕ(x0)i + hX, Xi =

h∇XX, ϕ(x0)i + kXk2 = hα(X, X), ϕ(x0)i + kXk2.

Agora, tomando ξ = −ϕ(x0) ∈ Tx0M

⊥_{, obtemos hα(X, X), ξi ≥ kXk}2_{, ou seja,}

hAξX, Xi ≥ kXk2, ∀ X ∈ T M e pela arbitrariedade de X segue o resultado.

Na Se¸c˜ao 1.3 do cap´ıtulo anterior, vimos que se ϕ : Mn_{→ M}n+k _´_{e uma imers˜}_ao

isométrica e p ∈ M , então TpM é um subespa¸co de TpM de dimensão n. Em partic-

ular, no caso em que Mn+k _{= R}n+1, TpM pode ser identificado com um hiperplano

de Rn+1_{. Sendo assim, quando for conveniente, vamos nos referir a T}

pM como o

hiperplano tangente `a M em p.

Ao considerarmos que a segunda forma Aξ ´e definida em um ponto x ∈ M , ´e

poss´ıvel obter informa¸cões à respeito da posi¸cão de M com rela¸cão ao hiperplano tangente à uma vizinhan¸ca de x em M . A fim de verificarmos isso, vamos inicialmente apresentar algumas defini¸cões.

Defini¸c˜_{ao 2.9 Dada uma hipersuperf´ıcie ϕ : M → R}n+1_{, dizemos que ϕ ´}_{e local-}

mente convexa em um ponto x ∈ M quando existe uma vizinhan¸ca U de x em M, tal que ϕ(U ) est´a de um mesmo lado do hiperplano TxM em Rn+1.

Além disso, dizemos que a imersão ϕ é localmente estritamente convexa em x quando ϕ(x) é o único ponto em ϕ(U ) ∩ (dϕ)x(TxM ).

Proposi¸c˜_{ao 2.10 - Seja ϕ : M → R}n+1 uma hipersuperf´ıcie com segunda forma definida em um ponto x0 ∈ M. Ent˜ao ϕ ´e localmente estritamente convexa em x0. Em

particular, qualquer hipersuperf´ıcie compacta M de Rn+1 ´e localmente estritamente convexa em algum ponto.

Demonstra¸c˜ao : Seja ξx0 ∈ Tx0M

⊥

e defina h : M → R dada por h(x) = hϕ(x) − ϕ(x0), ξx0i.

Observe que h mede a distância orientada de qualquer ponto x de M ao hiperespa¸co que contém x0 e é normal a ξx0.

Note que h ∈ D(M ) e para todo X ∈ Tx0M,

X(h) = hX, ξx0i = 0

XX(h) = h∇XX, ξx0i = h∇XX, ξx0i + hα(X, X), ξx0i = hAξ_x0X, Xi.

Veja que x0 é um ponto cr´ıtico de h e por hipótese, Aξ_x0 é definida. Portanto, h

tem um m´aximo ou m´ınimo estrito local em x0. Logo, dada uma vizinhan¸ca U de x0,

temos que ϕ(U ) ∩ Tx0M = {x0}, e segue que ϕ ´e localmente estritamente convexa

em x0. Mais ainda, pela Proposi¸c˜ao 2.8, resulta a segunda afirma¸c˜ao.

Lema 2.11 Seja A um campo de operadores lineares auto-adjuntos diferenci´aveis em uma variedade riemanniana Mn_{. Ent˜}_{ao existem n fun¸}_c˜_{oes cont´ınuas λ}

1, λ2, ..., λn

tais que para todo x ∈ Mn_{, {λ}

i}ni=1 s˜ao os autovalores de Ax.

Demonstra¸c˜ao: A demonstra¸c˜ao deste resultado pode ser consultada em [17]. Por dom´ınio convexo entendemos um subconjunto aberto B de Rn+1 _{tal que,}

Defini¸c˜_{ao 2.12 Dizemos que uma hipersuperf´ıcie mergulhada ϕ : M → R}n+1´e uma hipersuperf´ıcie convexa quando ela ´_{e a fronteira de um dom´ınio convexo B ⊂ R}n+1_.

Uma hipersuperf´ıcie ´e estritamente convexa se ela for convexa e para todo p ∈ TpM , dϕp(TpM ) ∩ ϕ(M ) = {ϕ(p)}.

A partir daqui, já estamos em condi¸cões de demonstrar o resultado principal desta se¸cão.

Teorema 2.13 (Teorema de Hadamard para Hipersuperf´ıcies Convexas) Seja ϕ : M → Rn+1 _{uma hipersuperf´ıcie conexa e compacta. Ent˜}_{ao as seguintes}

afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

(I) A segunda forma fundamental é definida em todo ponto de M, (II) M é orientável e a aplica¸cão normal de Gauss N : Mn → Sn

1 ´e um difeo-

morfismo.

(III) A curvatura de Gauss-Kronecker Hn ´e n˜ao nula em todo ponto de M.

Além disso, qualquer uma das condi¸cões acima implica que a hipersuperf´ıcie é uma hipersuperf´ıcie estritamente convexa.

Demonstra¸c˜ao:

(I) ⇒ (II) Escolha um vetor ξxunit´ario em TxM⊥tal que Aξx ´e negativa definida

para todo x ∈ M . Fixe x0 ∈ M . Agora, considere uma vizinhan¸ca U de x0 e uma

extens˜ao η (unit´ario) de ξx0 em U . Note que ηx0 = ξx0, e para qualquer x 6= x0 ∈ U

temos ηx = ±ξx. Mas, pela escolha de ξ devemos ter ηx = ξx para todo x ∈ U e

deste modo, podemos concluir que o campo de vetores ξ é cont´ınuo em M . Então M é orientável.

Note que a aplica¸cão Aξ é injetora, e segue da Proposi¸cão 1.79 a injetividade

de dNx para todo x ∈ M e do Teorema da Fun¸c˜ao Inversa, temos que N ´e um

Sendo M compacta, também temos da Proposi¸cão 2.6 que N é uma aplica¸cão de recobrimento, e além disso, como Sn_{(1) ´}_{e simplesmente conexa para n ≥ 2, pela}

Proposi¸c˜ao 2.5 segue que N ´e um difeomorfismo global.

(II) ⇒ (III) Por hipótese, N é um difeomorfismo, logo, dNx é injetiva em todo

x ∈ M e pela Proposi¸c˜ao 1.79 segue o resultado.

(III) ⇒ (I) Pela Proposi¸c˜ao 2.8 sabemos que existe x0 ∈ M e ξx0 ∈ Tx0M

⊥ _tal

que Aξ_x0 ´e positiva definida.

Agora, consideremos arbitrariamente x ∈ M e ξ ∈ TxM⊥. Sendo M conexa por

caminhos, tomemos uma curva diferenci´avel c ligando x a x0 e consideremos η um

campo normal diferenci´avel ao longo de c, de modo que η coincida com ξx0.

Note que desta maneira est´a definido ao longo de c um campo de operadores auto-adjuntos Aη, e pelo Lema 2.11 existem n fun¸c˜oes cont´ınuas λ1, ..., λn.

Como Hn(x) 6= 0 para todo x ∈ M , segue que λi(x) 6= 0 para todo i = 1, ..., n.

Por outro lado, temos por hip´otese que λ1(x0), ..., λn(x0) > 0 e pela continuidade

das fun¸c˜oes λi segue que λi(x) > 0.

Portanto, a segunda forma fundamental é definida em todo ponto de M e as afirma¸cões (I),(II) e (III) são equivalentes.

Para provarmos a última afirma¸cão, inicialmente vamos mostrar que ϕ é um mergulho, ou seja, que ϕ é um homeomorfismo sobre ϕ(M ). Note que para isto basta mostrarmos a injetividade de ϕ, pois M ´_{e compacta e ϕ(M ) ⊂ R}n+1 é Hausdorff.

Com efeito, vamos supor x1, x2 ∈ M de modo que ϕ(x1) = ϕ(x2), e escolhamos

um campo de vetores ξ normal e unit´ario em M , de maneira que Aξ seja negativa

definida.

Agora, considere a aplica¸c˜_{ao h : M → R dada por h(x) = hϕ(x) − ϕ(x}1), ξx1i.

Note que para todo X ∈ Tx1M , X(h) = hX, ξx1i = 0, e

pela escolha de Aξ.

Afirmamos que x1é o único máximo local de h, e conseqüentemente, um máximo

global.

De fato, suponha que existe y ∈ M tal que y ´e um m´aximo local de h.

Ent˜ao, para todo Z ∈ TyM , temos 0 = Z(h) = hZ, ξx1i, donde segue que ξx1 =

±ξy.

Al´em disso, devemos ter ZZ(h) = hAξ_x1Z, Zi < 0, e assim resulta que ξx1 = ξy.

No entanto, sendo N um difeomorfismo, onde temos N (y) = N (x1), ent˜ao deve-

mos ter x1 = y.

Como x1 é um máximo global de h e h(x1) = h(x2), então x1 = x2, e segue o

resultado.

Em particular, o espa¸co afim dϕx1(Tx1M ), com exce¸c˜ao de ϕ(x1), est´a contido

na componente ilimitada de Rn+1_{− ϕ(M ).}

Visto que ϕ ´e um mergulho, devemos mostrar que ϕ(M ) ´e fronteira de um dom´ınio convexo em Rn+1_.

Note que ϕ(M ) ´_{e compacta e conexa, e pelo Teorema 2.7, ϕ(M ) divide R}n+1

em duas componentes conexas por caminhos, cuja fronteira comum ´e ϕ(M ). Vamos denominar por B a componente limitada, e consideremos arbitrariamente p e q em intB.

Sabemos que existem pontos p = y0, y1, ..., yr = q tais que y0y1, y1y2, ..., yr−1yr

formam uma poligonal unindo p à q inteiramente contida em intB, e vamos supor que pq * intB, ou seja, que B não é um dom´ınio convexo.

Ent˜ao, existe 1 < j ≤ r tal que pyi ⊂ intB com 1 ≤ i ≤ j − 1, mas pyj * intB. Agora, consideremos β : [0, 1] → intB dada por β(s) = syj + (1 − s)yj−1, e

definamos para todo s ∈ [0, 1], a aplica¸c˜ao αs : [0, 1] → Rn+1 por αs(t) = tβ(s) +

Tomemos

s1 = sup{s ∈ [0, 1] : αs([0, 1]) ∩ f (M ) = ∅}

t1 = inf {t ∈ [0, 1] : αs1([0, t]) ∩ f (M ) 6= ∅}

e αs1(t1) = z1 ∈ f (M ).

Note que αs1([0, 1]) est´a contida no espa¸co afim dϕz1(Tz1M ) e portanto, αs1(0) =

p est´_{a na componente ilimitada de R}n+1_{− ϕ(M ), o que ´e um absurdo.}

Portanto, B ´e convexo e M ´e uma hipersuperf´ıcie convexa.

Seja x1 ∈ M e ξx1 o vetor normal unit´ario a Tx1M , tal que Aξ_x1 ´e negativa

definida. Considere a fun¸c˜_{ao altura h : M → R dada por h(x) = hϕ(x) − ϕ(x}1), ξx1i.

Por um argumento idêntico ao que foi usado nesta demonstra¸cão, temos que x1 é o

unico m´aximo global de h. Mas isso equivale a dizer que dϕx(TxM ) ∩ ϕ(M ) = ϕ(x)

para todo x ∈ M e portanto ϕ ´_{e estritamente convexa.}

Teorema 2.14 (Hsiung) Seja ϕ : Mn _{→ R}n+1 _{uma hipersuperf´ıcie estritamente}

convexa tal que para algum r, 1 ≤ r ≤ n, a r-ésima curvatura média Hr é constante.

Ent˜ao Mn ´e uma esfera.

Demonstra¸c˜ao: A demonstra¸c˜ao deste resultado pode ser consultada em [10].

Corol´ario 2.15 Seja ϕ : Mn_{→ R}n+1 _{uma hipersuperf´ıcie conexa, compacta e mer-}

gulhada com curvatura de Gauss-Kronecker Hn constante. Ent˜ao Mn´e uma esfera.

De acordo com este resultado e pelo Teorema de Hadamard podemos concluir que a esfera ´e a ´unica hipersuperf´ıcie compacta e conexa com curvatura de Gauss- Kronecker Hn constante no espa¸co euclidiano.

Para concluir, enunciamos uma proposi¸cão que será útil no decorrer do trabalho.

Proposi¸c˜_{ao 2.16 Seja ϕ : M → R}n+1 _{uma imers˜}_{ao umb´ılica, onde M ´}_{e conexa.}

Uma demonstra¸c˜ao deste resultado pode ser consultada em [5].

Observe que se acrescentarmos a hipótese de que M é compacta na proposi¸cão anterior resulta que M deve ser uma esfera.

Cap´ıtulo 3

Equa¸cões da Análise Geométrica

O objetivo deste cap´ıtulo é apresentar resultados que serão utilizados na demonstra- ¸cão do Teorema de Aleksandrov [1] e do Teorema de Ros [15]. Estes resultados estão distribu´ıdos em quatro se¸cões do seguinte modo: Na primeira se¸cão, apresentamos o Teorema da divergência. Como corolário, obtemos uma fórmula para o volume da região limitada por uma hipersuperf´ıcie compacta. A segunda se¸cão é dedicada `

a demonstra¸cão da Primeira e Segunda Fórmula de Minkowski. Na terceira se¸cão apresentamos o Teorema de Lichnerowicz e por fim, na quarta se¸cão apresentamos a Fórmula de Reilly [14], a qual é determinante na solu¸cão do Teorema de Ros.

Tendo em vista que estamos tratando de imersões é necessário fixarmos algumas nota¸cões importantes.

Dada uma hipersuperf´ıcie ϕ : M → Rn+1 vamos denotar por ∇ e ∇ a conex˜ao riemanniana de M e Rn+1_{, respectivamente.}

Do mesmo modo, denotaremos a diferencial covariante de uma fun¸cão (ou gradiente) definida em M por ∇ e para uma fun¸c˜_{ao definida em R}n+1 por ∇. Nestas condi¸cões, também será denotado por ∇2 _e _∇2 _{o hessiano e por ∆ e ∆ o laplaciano}

de uma fun¸cão. O gradiente ∇f de uma fun¸cão diferenciável f denotará tanto a 1-forma como o campo de vetores identificado a ∇f , e o significado de ∇f ficará claro no contexto.

Seja F uma fun¸c˜ao diferenci´_{avel definida sobre um aberto U ⊂ R}n+1 e M ⊂ U uma hipersuperf´ıcie de Rn+1_{. Associe a p ∈ M , uma base ortonormal {e}

1, ..., en, N }

de Rn+1_{, de modo que N seja normal a M em p. Se considerarmos f = F |}

M, ent˜ao

veja que f ∈ D(M ) e ∇f coincide com a componente tangencial do campo ∇F , ou seja, para cada ponto p ∈ M temos

∇f (p) = ∇F (p) − h∇F (p), N (p)iN (p), (3.1) e assim pela equa¸c˜ao (1.3) para quaisquer X, Y ∈ TpM, obtemos

∇2_{f (X, Y ) = h∇} X∇f, Y i = h∇X∇F, Y i − h∇Xh∇F, N iN, Y i = ∇2F (X, Y )−hX(h∇F, N i)N +h∇F, N i∇XN, Y i = ∇ 2 F (X, Y )+h∇F, N ihAN(X), Y i. (3.2) Além disso, ao considerarmos {e1, ..., en} dire¸cões principais associadas às cur-

vaturas principais λ1, ..., λn em TpM, ∀p ∈ M, obtemos: ∆F = P_i∇ 2

F (ei, ei) +

∇2F (N, N ) e por (3.2) resulta que ∆F = P

i(∇ 2_{f (e} i, ei) − h∇F, N ihAN(ei), eii) + ∇2F (N, N ) = ∆f − h∇F, N iP iλi+∇ 2 F (N, N ). Ou seja, ∆F = ∆f − nHh∇F, N i + ∇2F (N, N ). (3.3)

A seguir, vamos apresentar dois exemplos importantes que ilustram esta situa¸c˜ao.

Exemplo 3.1 Consideremos F : Rn+1 _{→ R dada por F (x) =} 1

2kx − ck

2_{, para um}

certo ponto fixo c em Rn+1.

Note que ∇F = x − c e ∇2F (w, v) = h∇w(x − c), vi = hw, vi, ∀x ∈ Rn+1 e

v, w ∈ Rn+1_.

Suponha uma hipersuperf´ıcie ϕ : M → Rn+1 e considere f : M → R dada por f (x) = F |M = 1₂kx − ck2.

Veja que por (3.1) e (3.2) obtemos:

∇2_{f (X, Y ) = hX, Y i + hA}

N(X), Y ihx − c, N i, ∀X, Y ∈ TpM. (3.5)

Exemplo 3.2 Seja Π um hiperplano afim de Rn+1 _{que passa por um ponto c ∈ R}n+1_,

cuja dire¸cão normal é determinada pelo vetor unitário −→_{n ∈ R}n+1_.

Considere a fun¸c˜_{ao h : M → R dada por h(p) = hp − c, −}→n i, ∀p ∈ M.

Observe que h ∈ D(M ) é a restri¸cão à M da fun¸c˜_{ao H ∈ D(R}n+1_{) dada por}

H(x) = hx − c, −→n i. Note que ∇H = −→n e ∇2_{H(v, v) = 0, ∀v ∈ R}n+1_. Assim, ∇h = −→n − h−→n , N iN e ∇2h(X, Y ) = hAN(X), Y ih−→n , N i, ∀X, Y ∈ TpM.

3.1 O Teorema da divergˆencia

Seja ϕ : M → Rn+1 _{uma hipersuperf´ıcie compacta. Ω ser´}_{a a regi˜}_{ao limitada cuja}

fronteira ´e M . Denotaremos o volume de Ω por V e o volume de M por A. O elemento de volume de Rn+1 _ser´_{a denotado por dV e o elemento de volume de M}

ser´a denotado por dA.

Teorema 3.3 (Teorema da Divergˆ_{encia) Seja Ω ⊂ R}n+1 _{um dom´ınio compacto e}

consideremos M = ∂Ω a hipersuperf´ıcie compacta formada pela fronteira de Ω. Se Z : Ω → Rn+1 _´_{e um campo de vetores diferenci´}_{avel sobre Ω e N o campo normal}

unit´ario interior de M , ent˜ao Z Ω divZdV = − Z M hZ, N idA.

Teorema 3.4 Sejam ϕ : M → Rn+1 uma hipersuperf´ıcie compacta orientada e X ∈ X (M ). Ent˜ao

divXdA = 0.

Em particular, R_M∆f dA = 0, para toda fun¸c˜ao f ∈ D(M ).

Como uma aplica¸c˜ao do Teorema (3.3) apresentamos o seguinte lema.

Lema 3.5 Seja Mn _{⊂ R}n+1 uma hipersuperf´ıcie compacta orient´avel tal que M = ∂Ω. Ent˜ao, para qualquer ponto fixo x0 ∈ Rn+1, temos

V = − 1

n + 1 Z

hx − x0, N idA, (3.6)

onde x ∈ M e N ´e o campo normal unit´ario interior de M .

Demonstra¸c˜ao: Consideremos o campo de vetores Z em Ω dado por Z(x) = x − x0

No documento HIPERSUPERFÍCIES COMPACTAS NO ESPAÇO EUCLIDIANO COM r-ésima CURVATURA MÉDIA CONSTANTE. Chiara Maria Seidel Luciano (páginas 33-55)