Imers˜ oes totalmente geod´ esicas e imers˜ oes umb´ılicas

e todas se¸c˜oes locais ξ, η de E

D e f (ξ), ef (η)E= hξ, ηi e f α(X, Y ) =α(X, Y )_e e f ∇0_Xξ = ∇⊥_Xf (ξ),e

onde α e ∇_e ⊥ são a segunda forma fundamental e a conexão normal da imersão f , respectivamente.

ii) Suponha que f e g sejam imersões isométricas de uma variedade conexa Mn em Qn+p(c). Denote por T M_f⊥, αf e ∇⊥f o fibrado normal, a segunda forma fundamental e a conexão

normal de f , respectivamente, e sejam T M_g⊥, αg e ∇⊥g os correspondentes objetos de g. Se

existe um isomorfismo de fibrados vetoriais eφ : T M_f⊥→ T M_g⊥tal que, para todo X, Y ∈ T M e todo ξ, η ∈ T M_f⊥ D e φ(ξ), eφ(η) E = hξ, ηi e φαf(X, Y ) = αg(X, Y ) e φ∇0_{f X}ξ = ∇⊥_gXφ(ξ),e ent˜ao existe uma isometria τ : Qn+p(c) → Qn+p(c) tal que

g = τ ◦ f e dτ |_{T M}⊥ f = eφ.

Observa¸cão: Quando Mn admite duas imersões isométricas f e g em fMn+k e existe uma isometria τ do ambiente fMn+k tal que g = τ ◦ f , dizemos que as imersões (Mn, f ) e (Mn, g) são congruentes.

Uma demonstra¸c˜ao desse teorema para o caso c = 0 ´e dada em [15].

1.4 Imersões totalmente geodésicas e imersões umb´ılicas

Seja f : Mn _{→ f}_Mn+k _{uma imers˜}_{ao isom´}_{etrica. Dizemos que f ´}_{e totalmente geod´}_{esica em}

p ∈ M se a segunda forma fundamental αp : TpM × TpM → TpM⊥ for identicamente nula, isto

e, αp(X, Y ) = 0, ∀ X, Y ∈ TpM . Dizemos ainda que f ´e totalmente geod´esica se o for para todo

p ∈ M . No exemplo 1.7 temos uma imers˜ao totalmente geod´esica.

Proposi¸cão 1.11 Uma imersão f : Mn → fMn+k é totalmente geodésica se, e somente se, as geodésicas de M são as geodésicas de fM contidas em M .

Dem.: Seja γ uma geodésica de fM contida em M , então γ é uma geodésica de M e isto independe do fato de ser f totalmente geodésica, basta observar que ∇XY = ( e∇XY )>.

Por outro lado, se γ é uma geodésica de M parametrizada por comprimento de arco, então ∇_γ0γ0 = 0. Logo, pela fórmula de Gauss assumindo que a imersão f é totalmente geodésica,

temos e∇_γ0γ0 = ∇_γ0γ0 = 0, ou seja, γ ´e geod´esica de fM .

Sendo αp uma aplica¸c˜ao R-bilinear tal que αp(X, X) = 0 para todo X ∈ TpM temos que

αp ´e identicamente nula e isto mostra a rec´ıproca.

Observe que se fM tem curvatura seccional constante c e f é totalmente geodésica então M também possui curvatura constante c e R⊥ ≡ 0. Tais fatos seguem diretamente da equa¸cão de Gauss K(X, Y ) = eK(X, Y ) + hα(X, X), α(Y, Y )i − kα(X, Y )k2 = c e da equa¸cão de Ricci D R⊥(X, Y )ξ, ηE= h[Aξ, Aη]X, Y i = 0, para todo p ∈ M , X, Y ∈ TpM e ξ, η ∈ TpM⊥.

Dada uma imersão isométrica f : Mn→ fMn+k, denominamos de primeiro espa¸co normal, da imersão f em p ∈ Mn, o conjunto N1(p) definido por N1⊥(p) =

ξ ∈ T_{f (p)}⊥ M ; Aξ = 0

o .

Lema 1.12 Seja f : Mn _{→ R}n+k _{uma imers˜}_{ao isom´}_{etrica. Suponha que exista um subfibrado}

E de T M⊥ paralelo na conexão normal, (ou seja, ∇⊥_Xξ ∈ E, ∀ξ ∈ E e ∀X ∈ T M ), tal que N1(p) ⊂ E(p) para todo p ∈ Mn. Então E⊥(p) é um subespa¸co constante H de Rn+k e f (Mn) ⊂

f (p) + H⊥.

Dem.: Se ξ ∈ E⊥, ent˜ao ξ ∈ N₁⊥. Assim, e∇_Xξ = −AξX + ∇⊥Xξ = ∇ ⊥ Xξ ∈ E

⊥_{, isto ´}_{e, E}⊥_{(p) ´}_e

um subespa¸co constante H de Rn+k_.

Observe agora que, fixado p ∈ Mn,

Xqhf (x) − f (p), vi = hdf Xq, vi = 0, ∀q ∈ M, ∀Xq∈ TqM, ∀v ∈ H,

pois H ⊂ T_q⊥M . Além disso, a fun¸cão hf (x) − f (p), vi é nula em p, portanto hf (x) − f (p), vi = 0 para todo x ∈ Mn. Logo f (Mn) ⊂ f (p) + H⊥.

Corol´ario 1.13 Se f : Mn → Rn+k _´_{e totalmente geod´}_{esica, com M conexa, ent˜}_{ao f (M ) ´}_{e um}

1.4 Imersões totalmente geodésicas e imersões umb´ılicas 23 Dem.: Aplicando o Lema 1.12 para E(p) = 0 para cada p em Mn, conclu´ımos que f (Mn) está contida num n-subespa¸co afim f (p) + H de Rn+k. Além disso, como aplica¸cão f : Mn→ f (p) + H⊥é uma isometria local, em particular um difeomorfismo local. Logo, f : Mn→ f (p) + H⊥ _´_e

uma aplica¸c˜ao aberta, e portanto f (Mn) ´e um subconjunto aberto de f (p) + H⊥. 2

Dada uma imers˜ao isom´etrica f : Mn_{→ f}_Mn+k_{, definimos o vetor curvatura m´}_{edia de f em}

p ∈ M do seguinte modo: tome {X1, ..., Xn} uma base ortonormal de TpM e ponha

H(p) := 1 n n X i=1 α(Xi, Xi).

Esta defini¸c˜ao n˜ao depende da escolha da base. De fato, escolhendo uma base ortonormal {ξ1, ..., ξk} de TpM⊥, temos que H(p) = 1 n n X i=1 k X j=1 hα(Xi, Xi), ξji ξj = 1 n k X j=1 n X i=1 AξjXi, Xi ! ξj = 1 n k X j=1 (trAξj)ξj

e como trAξj ´e invariante por mudan¸ca de base, conclu´ımos o desejado.

Uma imersão isométrica f : Mn → fMn+k é umb´ılica em p ∈ M se para todo ξ ∈ TpM⊥

o operador de forma relacionado a ξ for um m´ultiplo real da identidade, ou seja, AξX = λξX,

com λξ ∈ R, para todo X ∈ TpM . Dizemos que f ´e totalmente umb´ılica, ou somente umb´ılica,

se for umb´ılica em todo ponto p de M .

Lema 1.14 Dada f : Mn→ fMn+k uma imersão isométrica, as seguintes afirma¸cões são equiv- alentes:

i) f ´e umb´ılica em p ∈ M ;

ii) Aξ= hH(p), ξi I, em TpM , ∀ ξ ∈ TpM⊥;

iii) αp(X, Y ) = hX, Y i H(p).

Dem.: i) ⇒ ii) Dado ξ ∈ TpM⊥, temos que Aξ = λξI. Tome ξ1 = ξ/kξk, ξ2, ..., ξk base

ortonormal de TpM⊥. Assim, H(p) = 1 n k X j=1

(trAξj)ξj implica que

hH(p), ξi = 1 ntrAξ1hξ1, ξi = 1 ntr 1 kξkAξ kξk = λ_ξ, ou seja, Aξ= hH(p), ξi I.

ii) ⇒ iii) Dados X, Y ∈ TpM e ξ1, ..., ξk uma base ortonormal de TpM⊥, a segunda forma

fundamental pode ser expressa por αp(X, Y ) = k P j=1 hα_p(X, Y ), ξji ξj. Logo, αp(X, Y ) = k X j=1 A_ξ_jX, Y ξj = k X j=1 hhH(p), ξji X, Y i ξj = hX, Y i k X j=1 hH(p), ξji ξj = hX, Y i H(p).

iii) ⇒ i) Sejam X, Y ∈ TpM e ξ1, ..., ξk uma base ortonormal de TpM⊥. Assim, k X j=1 A_ξ_jX, Y ξj = αp(X, Y ) = hX, Y i H(p) = hX, Y i k X j=1 hH(p), ξji ξj = k X j=1 hhH(p), ξji X, Y i ξj. Ou seja, k P j=1 Aξj− hH(p), ξji X, Y ξj = 0, para todo X, Y ∈ TpM e ξi ∈ TpM ⊥_{, e isso implica}

que Aξj = hH(p), ξji I, mostrando que a imers˜ao ´e umb´ılica.

Lema 1.15 Se fMn+k(c) é uma variedade riemanniana de curvatura seccional constante c e f : Mn→ fMn+k(c) é umb´ılica, com n ≥ 2, então R⊥≡ 0 e H é ∇⊥-paralelo, isto é, ∇⊥_XH = 0 para todo X ∈ T M .

Dem.: Da equa¸c˜ao de Ricci para todo X, Y ∈ T M e ξ ∈ T M⊥,

R⊥(X, Y )ξ = α(AξY, X) − α(AξX, Y ) = hAξY, Xi H − hAξX, Y i H,

conclu´ımos que R⊥≡ 0.

Considere agora a equa¸c˜ao de Codazzi (∇⊥_Xα)(Y, Z) = (∇⊥_Yα)(X, Z), para todo X, Y, Z ∈ T M e note que

(∇⊥_Xα)(Y, Z) = ∇⊥_Xα(Y, Z) − α(∇XY, Z) − α(Y, ∇XZ)

= ∇⊥_X(hY, Zi H) − h∇XY, Zi H − hY, ∇XZi H

= X hY, Zi H + hY, Zi ∇⊥_XH − h∇XY, Zi H − hY, ∇XZi H

= hY, Zi ∇⊥_XH.

Desenvolvendo, de maneira an´aloga, o outro membro da equa¸c˜ao de Codazzi obtemos hY, Zi ∇⊥_XH = hX, Zi ∇⊥

YH. Tomando Y = Z e X⊥Z, resulta hY, Y i ∇⊥XH = 0, ou seja, ∇⊥XH = 0, ∀ X ∈ T M .

1.4 Imersões totalmente geodésicas e imersões umb´ılicas 25 Corolário 1.16 Se f : Mn→ fMn+k(c) é umb´ılica, n ≥ 2, então

i) kHk ´e constante;

ii) M tem curvatura seccional constante c + kHk2; iii) AH = kHk2I.

Dem.: i) X hH, Hi = 2∇⊥

XH, H = 0, para todo X ∈ T M .

ii) Dados X, Y ∈ T M ortonormais, pela equa¸c˜ao de Gauss, K(X, Y ) = K(X, Y ) + hα(X, X), α(Y, Y )i − kα(X, Y )ke 2

= c +kXk2H, kY k2H − k hX, Y i Hk2 = c + kHk2.

iii) Para todo ξ ∈ T M⊥, Aξ= hH, ξi I e isto implica que AH = kHk2I.

Proposi¸c˜ao 1.17 Seja f : Mn→ Rn+k _{umb´ılica, M conexa e n ≥ 2.}

i) Se kHk = 0, então f é totalmente geodésica e f (M ) é um aberto de um n-espa¸co afim En⊂ Rn+k.

ii) Se kHk 6= 0, ent˜ao f (M ) est´a contida num (n + 1)-subespa¸co afim En+1_{, e n˜}_{ao est´}_{a contida}

em nenhum n-subespa¸co afim.

Dem.: i) Sendo a imersão umb´ılica e kHk = 0 temos α(X, Y ) = hX, Y i H = 0, ou seja, f é totalmente geodésica. E neste caso já vimos no corolário 1.13 que f (M ) é um aberto de um n-subespa¸co afim En⊂ Rn+k_.

ii) Basta observar que, pelo Lema 1.15, o subfibrado E(p) = gerH(p) ´e paralelo na conex˜ao normal ∇⊥ e usar o lema 1.12.

Teorema 1.18 Se f : Mn→ Rn+k _´_{e umb´ılica, M conexa, n ≥ 2 e kHk 6= 0, ent˜}_{ao f (M ) ´}_{e um}

aberto de uma n-esfera de raio r = 1/kHk.

Dem.: Defina N (p) = H(p)

kH(p)k, para todo p em M e a fun¸c˜ao h : M → R

n+k _{por h(p) =}

Para cada X ∈ T M , temos X(h) = X(f (p) + rN (p)) = X + r e∇_XN. Mas, e ∇XN = −ANX + ∇⊥XN = − 1 kHkAHX = −kHkX = − 1 rX. Logo, X(h) = X + r −1 rX = 0.

Assim, sendo M conexa, h ´e constante ao longo de M . Fazendo h(p) = C ∈ Rn+k temos que kf (p) − Ck = krN (p)k = r, para todo p ∈ M . Logo, f (M ) ⊂ Sn+k−1_{(C, r) (esfera de dimens˜}_ao

n + k − 1, de centro C e raio r).

Cap´ıtulo 2

Hipersuperf´ıcies

Neste cap´ıtulo estudaremos as hipersuperf´ıcies que são imersões isométricas de co-dimensão um. No espa¸co euclidiano, as hipersuperf´ıcies constituem uma generaliza¸cão natural das super- f´ıcies em R3 e consequentemente, muitas de suas propriedades se estendem às hipersuperf´ıcies. Inicialmente determinaremos suas equa¸cões básicas e enunciaremos o teorema fundamental das subvariedades, como foi feito anteriormente para o caso de imersões de co-dimensão qualquer. Em seguida, daremos uma lista de hipersuperf´ıcies que aparecerão nos teoremas de classifica¸cão. Por fim demonstraremos alguns resultados de fundamental importância no estudo das hipersuperf´ıcies homogêneas realizado no próximo cap´ıtulo.

2.1 Equa¸c˜oes B´asicas e Teorema Fundamental das Subvariedades

Seja f : Mn _{→ f}_Mn+1 _{uma imers˜}_{ao isom´}_{etrica (hipersuperf´ıcie) e p ∈ M . Escolha um}

campo vetorial diferenciável unitário normal ξ ∈ T M⊥ definido numa vizinhan¸ca U de p, isto é, hξ_y, ξyi = 1 para todo y ∈ U . Como o espa¸co normal tem dimensão um, só há duas possibilidades

de escolha para ξ. Dados X ∈ TpM e um campo diferenci´avel Y ∈ T M temos

∇_XY = ∇XY + α(X, Y ) = ∇XY + hα(X, Y ), ξi ξ,

ou seja,

∇XY = ∇XY + hAξX, Y i ξ,

que é a fórmula de Gauss para as hipersuperf´ıcies. Por outro lado, como ξ é um campo vetorial unitário, temosD∇e_Xξ, ξ

= 0, isto implica que ∇⊥_Xξ = 0 para todo X ∈ T M . Portanto, a f´ormula de Weingarten torna-se

∇_Xξ = −AξX.

nentes tangenciais de eR(X, Y )Z obtemos a equa¸c˜ao de Gauss

R(X, Y )Z = ( eR(X, Y )Z)>+ (AξX ∧ AξY )Z, (2.1)

onde (AξX ∧ AξY )Z = hAξY, Zi AξX − hAξX, Zi AξY .

A equa¸c˜ao de Codazzi, nesse caso, ´e

( eR(X, Y )ξ)>= (∇YAξ)X − (∇XAξ)Y, (2.2)

onde por defini¸c˜ao (∇XAξ)Y = ∇X(AξY ) − Aξ∇XY .

Observe que a equa¸cão de Ricci (1.10) para as hipersuperf´ıcies é naturalmente satisfeita. Com efeito, por defini¸cão, R⊥(X, Y ) ≡ 0 e como η = ±ξ para todo campo normal unitário η ∈ T M⊥ temos que [Aξ, Aη] ≡ 0. Logo tal equa¸cão se anula em ambos membros.

No caso de fMn+1ter curvatura seccional constante c, as equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi ficam, respectivamente,

R(X, Y ) = c(X ∧ Y ) + AξX ∧ AξY

(∇YAξ)X = (∇XAξ)Y.

Sejam f : Mn→ fMn+1e g : M → fMn+1duas hipersuperf´ıcies conexas em fMn+1e suponha que fMn+1 seja orientável. Sob essas condi¸cões, vamos construir um isomorfismo isométrico de fibrados eφ : T M_f⊥ → T M_g⊥. Para isto, fixe uma orienta¸cão de fMn+1. Assim, para cada p ∈ M , escolha uma base ordenada X1, ..., Xn em TpM e um vetor unitário normal ξp1 ∈ T Mf⊥, tal que

a base ordenada df X1, ..., df Xn, ξp1 é positivamente orientada em Tf (p)M . Como h´f a um único campo normal unitário ξ2_p ∈ TpMg⊥ tal que a base dgX1, ..., dgXn, ξp2 é positivamente orientada

em T_g(p)M , definimos o isomorfismo mencionado como a aplica¸f cão que satisfaz eφ(ξ_p1) = ξ2_p e é linear nas fibras. Observe que eφ e − eφ são as únicas tais aplica¸cões.

Finalizamos esta se¸c˜ao enunciando o teorema fundamental das subvariedades para as hipersuperf´ıcies:

Teorema 2.1 i) Seja Mnuma variedade riemanniana simplesmente conexa e A : T M → T M um tensor simétrico satisfazendo as equa¸cões de Gauss e Codazzi no caso de curvatura seccional constante c. Então existe uma imersão isométrica f : Mn → Qn+1_{(c), onde}

Qn+1(c) ´e a forma espacial real de curvatura c, tal que A = Aξ para algum campo vetorial

normal unit´ario ξ ∈ T M⊥, onde Aξ denota a segunda forma fundamental da imers˜ao f .

ii) Sejam f : Mn→ Qn+1_{(c) e g : M}n_{→ Q}n+1_{(c) hipersuperf´ıcies conexas e e}_{φ : T M}⊥

2.2 Exemplos 29

No documento Hipersuperfícies Homogêneas em Formas Espaciais Reais (páginas 33-41)