Processos paramétricos com altos valores de ganho têm chamado a atenção e são amplamente estudados devido às suas aplicações à óptica e informação quântica. Especificamente processos de FWM com um ganho de aproximadamente 10 tem sido implementado para gerar imagens emaranhadas, com possíveis aplicações à multiplexão de variáveis continuas [67, 68]. Entretanto, a implementação de osciladores ópticos paramétricos sem cavidade (MOPO -
Mirrorless Optical Parametric Oscillation) baseados em processos de FWM também tem
levado a altos valores de ganho [45-47]. Apesar de usualmente serem considerados apenas o estudo de dois modos espaciais gerados, nestes trabalhos foi demonstrado que processos de MOPO multimodais podem ser implementados via FWM em vapor atômico de sódio. Particularmente em [69], foram obtidos valores de ganho de aproximadamente 35 para altas densidades atômicas.
Apresentamos a seguir a implementação do sistema que permite o estudo de processos MOPO multimodo via FWM em átomos frios, e permite obter altos valores de ganho saturado e auto- oscilação. A figura 44 (a) mostra o esquema experimental simplificado usado, no qual dois feixes contrapropagantes C1 e C2, com a mesma intensidade e polarizações lineares ortogonais,
incidem na amostra de átomos frios de Cs obtida através de uma MOT com uma densidade óptica ~5. Adicionalmente, um feixe de prova (P) com intensidade ~104 vezes menor que os feixes de bombeio e polarização linear ortogonal ao feixe C1 incide na amostra formando um
ângulo 𝜃 ≈ 1°. Os feixes C
1 e C2 são dessintonizados da transição 6𝑆1 2
⁄ , 𝐹 = 4 → 6𝑃3⁄2, 𝐹′ =
5 em ∆= 30 𝑀𝐻𝑧, enquanto a frequência do feixe P é variada aproximadamente 1 MHz em torno à frequência dos feixes de bombeio como se mostra no primeiro esquema da figura 44 (b), onde 𝛿 representa a dessintonia com respeito aos feixes de bombeio.
Figura 44- Esquema simplificado da configuração experimental usada para a observação do ganho gigante
Fonte: Própria autoria (2019) - (a) Esquema simplificado da configuração experimental usada para a observação do ganho gigante. Dois feixes contra-propagantes C1 e C2 com polarizações lineares ortogonais e um feixe de prova P com
polarização ortogonal a C1, interagem com o meio para gerar os quatro modos mostrados (Gi). (b) Esquema parcial
de sub-níveis Zeeman associados com a transição fechada 𝟔𝑺𝟏 𝟐
⁄ , 𝑭 = 𝟒 → 𝟔𝑷𝟑⁄𝟐, 𝑭′ = 𝟓 mostrando dois possíveis processos de mistura de quatro ondas: gerada para a frente (FFWM) e para atrás (BFWM)
Na figura 44 (b) também é mostrado como, na configuração experimental descrita e para 𝛿 ≈ 0, a interação não linear dos feixes com a estrutura Zeeman degenerada dos átomos, pode gerar dois tipos de FWM. A primeira, FFWM (do inglês forward four wave mixing), é uma FWM gerada para a frente dando lugar ao sinal G1 mostrado em (a). Este sinal se deve à sequência em
que se absorve um fóton do feixe C1, se emite estimuladamente em P, mais uma vez se absorve
C1 e se emite o fóton no modo G1, o qual possui a mesma frequência e polarização de P e na
direção determinada pela condição de casamento de fase para pequenos ângulos:
onde 𝑘⃗ 𝐺1, 𝑘⃗ 𝐶1 e 𝑘⃗ 𝑃 são os vetores de ondas dos feixes 𝐺1, 𝐶1 e 𝑃 respectivamente.
Um outro processo de FWM que pode acontecer, está mostrado no terceiro esquema da figura 44 (b) e é chamado de BFWM (do inglês backward four wave mixing). Tal processo é resultado da sequência em que se absorve um fóton do feixe 𝐶1, se emite estimuladamente em 𝑃, se absorve agora em 𝐶2 e, o fóton no modo 𝐺2 é gerado com a mesma frequência e polarização ortogonal ao feixe 𝑃. A condição de casamento de fase neste caso não é restringida a pequenos ângulos e é dada por:
𝑘⃗ 𝐺2 = −𝑘⃗ 𝑃. (5.1.2) Se os processos paramétricos anteriormente descritos possuem uma alta eficiência, 𝐺1 e 𝐺2 funcionam, por sua vez, como feixes de prova para gerar via os mesmos processos não lineares descritos, os feixes 𝐺3 e 𝐺4 com as polarizações indicadas na figura e vetores de ondas dados
por:
𝑘⃗ 𝐺3 = −𝑘⃗ 𝐺2, (5.1.3) 𝑘⃗ 𝐺4 = −𝑘⃗ 𝐺1. (5.1.4) Para fechar o ciclo, também os feixes 𝐺3 e 𝐺4 acoplam parametricamente com os feixes de bombeio para gerar 𝐺1 e 𝐺2, funcionando como um mecanismo continuo de realimentação.
Como resultado a estes múltiplos processos de FWM em cascata, podem ser obtidas em cada modo gerado, intensidades que superam em milhares de vezes a intensidade do feixe de prova inicial.
Podemos entender o processo se pensamos em termos da polarização macroscópica que será induzida no meio devido aos múltiplos processos não lineares de 3ª ordem. Desta forma podemos definir: 𝑃1(3)= 𝜒𝑓(3)𝐸𝐶21𝐸𝐺∗3 + 𝜒𝑏(3)𝐸𝐶1𝐸𝐶2𝐸𝐺4 ∗ + 𝜒 𝑠𝐸𝐺1, (5.1.5) 𝑃2(3)= 𝜒𝑓(3)𝐸𝐶22𝐸 𝐺4 ∗ + 𝜒 𝑏 (3) 𝐸𝐶1𝐸𝐶2𝐸𝐺∗3 + 𝜒 𝑠𝐸𝐺2, (5.1.6) 𝑃3(3)= 𝜒𝑓(3)𝐸𝐶21𝐸𝐺∗1 + 𝜒𝑏(3)𝐸𝐶1𝐸𝐶2𝐸𝐺∗2 + 𝜒𝑠𝐸𝐺3, (5.1.7) 𝑃4(3)= 𝜒𝑓(3)𝐸𝐶22𝐸𝐺∗2 + 𝜒𝑏(3)𝐸𝐶1𝐸𝐶2𝐸𝐺∗1 + 𝜒𝑠𝐸𝐺4, (5.1.8)
onde 𝑃𝑖(3) são as polarizações não lineares de 3ª ordem induzidas no meio no modo 𝑖; 𝜒𝑓(3) é a susceptibilidade de 3ª ordem que gera processos de FFWM e 𝜒𝑏(3) é a susceptibilidade de 3ª ordem que gera processos de BFWM; 𝐸𝐶1, 𝐸𝐶2e 𝐸𝐺𝑖 são os campos associados aos feixes 𝐶1, 𝐶2
e aos feixes gerados 𝐺𝑖 respectivamente.
Substituindo as equações anteriores nas equações de propagação de Maxwell para os campos na aproximação paraxial [45], ficamos com:
𝑑 𝑑𝑧ℇ𝐺1 = −𝑐𝑓ℇ𝐺3 ∗ − 𝑐 𝑏ℇ𝐺4 ∗ −𝛼𝑎 2 ℇ𝐺1, (5.1.9) 𝑑 𝑑𝑧ℇ𝐺2 = 𝑐𝑓ℇ𝐺4 ∗ + 𝑐 𝑏ℇ𝐺3 ∗ +𝛼𝑎 2 ℇ𝐺2, (5.1.10) 𝑑 𝑑𝑧ℇ𝐺3 = −𝑐𝑓ℇ𝐺1 ∗ − 𝑐 𝑏ℇ𝐺2 ∗ −𝛼𝑎 2 ℇ𝐺3, (5.1.11) 𝑑 𝑑𝑧ℇ𝐺4 = 𝑐𝑓ℇ𝐺2 ∗ + 𝑐 𝑏ℇ𝐺1 ∗ +𝛼𝑎 2 ℇ𝐺4, (5.1.12)
onde 𝑧 é a direção de propagação dos feixes e 𝛼𝑎 é o coeficiente de absorção linear de cada feixe. Nestas equações foram definidos por simplicidade:
𝑐𝑓= −𝑖𝑘𝜒𝑓(3)𝐸𝐶21/2𝜖0, (5.1.13)
𝑐𝑏= −𝑖𝑘𝜒𝑏 (3)
𝐸𝐶1𝐸𝐶2/2𝜖0, (5.1.14)
𝛼𝑎 = −𝑖𝑘𝜒𝑠/𝜖0, (5.1.15)
onde em todos os casos foi considerado 𝑘 = |𝑘⃗ 𝐺2| ≈ |𝑘⃗ 𝐺3|.
O sistema (5.1.9) - (5.1.12) mostra como na propagação pelo meio, todos os modos estão acoplados entre si. A solução numérica do sistema se apresenta na figura 45, onde se plotam os módulos quadrados dos campos calculados para cada iteração.
Para a solução numérica, por simplicidade se consideraram todos os termos reais e os valores usados foram similares aos usados por Motomura em [45]: 𝑐𝑓= 𝑐𝑏= 5, para 𝛼𝑎 usamos dois valores, 𝛼𝑎 = 10 para os modos G2 e G4 e 𝛼𝑎 = 5 para os modos G1 e G3. Isto foi feito para
poder observar todos os modos por separados, já que mantendo o mesmo valor para todos os coeficientes de absorção os modos G1 e G3 estariam superpostos na figura, assim como G2 e
G4. As condições de contorno usadas foram ℇ𝐺1(0) = 0 , ℇ𝐺3(0) = 0.1, ℇ𝐺2(𝑧 = 𝐿) = 0 e
Figura 45- Simulação da amplificação dos feixes gerados através da solução numérica das equações de propagação (5.1.9) - (5.1.12) ao longo do eixo z
Fonte: Própria autoria (2019) - Uma pequena semente no modo G3 gera os outros modos os quais acoplam e são
amplificados
A figura mostra como com uma pequena entrada dada por ℇ𝐺3(0) = 0.1, durante a propagação, todos os modos acoplados são gerados e amplificados até alcançar aproximadamente as mesmas amplitudes. O resultado obtido é similar ao obtido de forma analítica por Harada et al. em [47].