Implementa¸c˜ ao dos M´ etodos em Java - Desenvolvimento de um interpretador de problemas para

Métodos de Otimiza¸cão para Problemas com Restri¸cões

A API contém, implementados até ao momento, para resolver problemas com restri¸cões métodos de Penalidade ou Barreira e o método dos Filtros [1]. Considerando o problema apresentado em (2.2), estes métodos de otimiza¸cão para problemas não lineares com restri¸cões convertem, no caso do método dos Filtros, o problema em dois problemas sem restri¸cões, e no caso dos métodos Penalidade ou Barreira o problema é convertido em sub-problemas sem restri¸cões, que são resolvidos usando os algoritmos anteriormente apresentados, utilizados para resolver problemas sem restri¸cões.

O que diferencia estes métodos é o facto do método dos Filtros ter em conta a otimalidade e viabilidade separadamente, isto é, a finalidade em minimizar a fun¸cão objetivo e minimizar as viola¸cões das restri¸cões enquanto que os métodos de Penalidade e Barreira tratam a otimalidade e viabilidade em conjunto [13].

M´etodos de Penalidade ou Barreira

Tanto os métodos de Penalidade como de Barreira, come¸cam por converter o problema com restri¸cões do tipo (2.2) num problema sem restri¸cões, apresentado em (2.4), criando para tal uma nova fun¸cão objetivo, contendo informa¸cão da fun¸cão objetivo original, f , e das restri¸cões do problema ci, i = 1, ..., m:

min

x∈Rn Φ(xk, rk) (2.4)

onde:

12 CAPÍTULO 2. API DE OTIMIZAÇ ÃO N ÃO LINEAR

• rk ´e o parˆametro de penalidade ou barreira, com um valor real positivo;

• p ´e uma fun¸c˜ao que penaliza (Penalidade) ou recusa (Barreira) pontos que

violem as restri¸c˜oes;

A nova fun¸c˜ao objetivo Φ a otimizar difere para cada m´etodo de Penalidade e Barreira, abaixo apresentadas.

• Método de Penalidade Estática e Dinâmica:

Ambos os métodos têm a mesma fun¸cão Φ, apresentada em (2.5). Φ(x) = f (x) + t ∑ i=1 αi|ci(x)|q+ m ∑ i=t+1 βi[max(0, ci(x))]q, q≥ 1 (2.5)

No entanto, nos métodos implementados na API, os parâmetros utilizados na fun¸cão Φ são actualizados de forma diferente. No método de Penalidade Estática é feita da seguinte forma:

parametro ={γ.α1, ..., γ.αt, γ.β1, ..., γ.βm−t}, γ > 1.

No método de Penalidade Dinâmica, os parâmetros são actualizados da seguinte forma:

q > 1;

(C = γ) > 0;

αi(k + 1) = αi(k) + C.|ci(x)|, i = 1, ..., t; βi(k + 1) = βi(k) + C.[max(0, ci(x))], i = t + 1, ..., m. • Fun¸c˜ao Barreira Progressiva:

Φ(x) = f (x) + bx(x) (2.6) onde, bx(x) =        m ∑ i=1 [max(ci(x), 0)]2 se x∈ X +∞ se x /∈ X com Ω∈ X. (2.7)

2.2. MÉTODOS DE OTIMIZAÇ ÃO 13

• Fun¸c˜ao Barreira Extrema:

Φ(x) =      f (x) se x∈ Ω +∞ se x /∈ Ω . (2.8)

• M´etodo de Penalidade Cl´assica:

Φ(x) = f (x) + p(x) = f (x) + rk m ∑ i=1 [max(0, ci(x))]q, q≥ 1. (2.9) • M´etodo de Penalidade ℓ1 : Φ(x) = ℓ1(x, µ) = f (x) + µ t ∑ i=1 |ci(x)| + µ m ∑ i=t+1 [max(ci(x), 0)], µ−→ +∞. (2.10)

Como é vis´ıvel nas fun¸cões acima apresentadas, o método de Penalidade soma à fun¸cão original um valor de penalidade em fun¸cão da viola¸cão das restri¸cões, quanto maior for a viola¸cão, maior é o valor de penalidade, aumentando assim o valor da nova fun¸cão objetivo, afastando-se do seu valor ótimo. Uma vez que o método de otimiza¸cão pretende chegar ao valor ótimo da fun¸cão, a itera¸cão seguinte será calculada com objetivo de diminuir o valor da penalidade. Utilizando as fun¸cões Barreira, no caso da Barreira Extrema, esta não permite aceitar pontos fora da região admiss´ıvel Ω, região criada pelas restri¸cões do problema, atribuindo o valor +∞ à fun¸cão objetivo. Para o caso da fun¸cão Barreira Progressiva, esta não permite aceitar pontos fora da regi˜ao admiss´ıvel X, regi˜ao criada pelas restri¸cões relaxáveis do problema, atribuindo o valor +∞ à fun¸cão objetivo. As restri¸cões relaxáveis são restri¸cões que podem ser satisfeitas apenas aproximadamente, possibilitando o cálculo das fun¸cões fora da região admiss´ıvel, definida por elas, considerando uma certa tolerância.

14 CAPÍTULO 2. API DE OTIMIZAÇ ÃO N ÃO LINEAR

M´etodo dos Filtros

Este método converte os problemas com restri¸cões em problemas com 2 fun¸cões distintas, sendo uma, f , contendo a fun¸cão objetivo original, f , e a outra, h, contendo a informa¸cão das restri¸cões do problema. Tendo estas fun¸cões, come¸ca-se por verificar se o valor do ponto xk está contido na região admiss´ıvel Ω, região essa

definida pelas restri¸cões do problema. Se o ponto estiver contido em Ω, a fun¸cão tida em conta pelo método de otimiza¸cão é a fun¸c˜ao f , caso contr´ario, é tida em conta a fun¸c˜ao h. O m´etodo procede à verifica¸c˜ao do ponto no Filtro, caso seja aceite, o

Filtro ´e actualizado e o método procede à itera¸cão seguinte (no caso de não serem verificados os critérios de paragem). No caso do ponto n˜ao ser aceite no Filtro ´e utilizado um método para resolu¸cão de problemas sem restri¸cão para o cálculo da itera¸cão seguinte para a fun¸c˜ao objetivo, f ou h, dependendo se o ponto anterior era admiss´ıvel ou não. Obtendo a itera¸cão seguinte, o método do Filtros repete todo o processo. É apresentado na figura2.3 o diagrama de funcionamento do método dos Filtros.

Figura 2.3 – Funcionamento do M´etodo dos Filtros (Fonte: [1])

2.3. IMPLEMENTAÇ ÃO DOS MÉTODOS EM JAVA 15

do conjuntoF tem rela¸cão x ≺ y, ou seja, o Filtro é constituido por pontos tal que nenhum domina outro. É apresentado na figura2.4um Filtro constituido por quatro pontos, a, b, c e d, que definem a zona proibida, representada a sombreado. Se um novo ponto testado no Filtro for representado por y, situado na zona proibida, este não é aceite. Ao contr´ario dos pontos z e w, que n˜ao se encontram na zona proibida, seriam aceites e incluido no Filtro. No caso do ponto w seriam eliminados os pontos

c e d, visto que, ao actualizar o Filtro com o novo ponto w, estes s˜ao dominados pelo novo ponto, logo seriam eliminados.

Figura 2.4 – Filtro com quatro pontos (Fonte: [1])

2.3 Implementa¸c˜ao dos M´etodos em Java

Como já referido anteriormente, este trabalho visa complementar um outro trabalho já realizado [1], uma API (Application Programming Interface) que permite resolver problemas de otimiza¸cão, utilizando a tecnologia Java. Esta API permite, a partir de um problema formulado, obter a sua solu¸cão ótima, recorrendo aos vários métodos antes apresentados.

16 CAPÍTULO 2. API DE OTIMIZAÇ ÃO N ÃO LINEAR

Para cada método existe uma Classe associada, apresentada na figura 2.5, que permite ao utilizador a sua utiliza¸cão, para tal necessita de definir o valor das variáveis dessas Classes que representam os dados do problema. Essa defini¸cão é feita através dos construtores da Classe, que permitem o processo de duas formas:

• Os parâmetros de entrada são a Fun¸cão objetivo, f e o vector dos valores

iniciais da vari´avel x0, sob a forma de String´s, neste caso a API recorre a um

parser que interpreta essas Strings;

• O parâmetro de entrada é uma instância da Classe ProblemaGeral. Esta Classe

representa o problema em quest˜ao, contendo os respetivos dados.

No caso dos problemas com restri¸cões, existem apenas duas Classes, uma para os métodos de Penalidade e Barreira e outra para o método dos Filtros. Para além dos parâmetros de entrada acima apresentados, o construtor da Classe associada aos métodos de Penalidade e Barreira tem também os seguintes parâmetros:

• Vector de Restri¸c˜oes;

• O m´etodo interno a utilizar; • O m´etodo externo a utilizar.

Para o método dos Filtros, o construtor da Classe associada tem, para além dos dados do problema, os seguintes dados parâmetros:

• Vector de Restri¸c˜oes; • A medida h a utilizar; • O m´etodo externo a utilizar.

2.3. IMPLEMENTAÇ ÃO DOS MÉTODOS EM JAVA 17

Figura 2.5 – Diagrama de Classes da API

Todos os dados acima apresentados podem não só ser definidos nos construtores das Classes, como também através de m´etodos SET (m´etodos que permitem definir o valor dos atributos). Os outros métodos disponibilizados pelas Classes são os métodos que devolvem os resultados do problema e alguns dados sobre o processo iterativo. São eles:

• run(), executa o algoritmo de resolu¸c˜ao do problema; • getDim(), devolve a dimens˜ao do problema;

18 CAPÍTULO 2. API DE OTIMIZAÇ ÃO N ÃO LINEAR

nEvals;

• getSolution(), devolve a aproxima¸cão à solu¸cão encontrada, x* ;

• evaluateF(x), devolve o valor da fun¸c˜ao objetivo na aproxima¸c˜ao f(x), tem

como entrada o valor das vari´aveis, x ;

• evaluateH(n, xk), devolve o valor da restri¸c˜ao n para o valor da vari´avel na itera¸c˜ao k ;

• numerRestricoes(), devolve o n´umero de restri¸c˜oes;

• numerRestricoes igualdade(), devolve o número de restri¸cões de igualdade; • numerRestricoes desigualdade(), devolve o número de restri¸cões de desigualdade; • numerRestricoes limiteSimples(), devolve o número de restri¸cões do tipo limites

simples.

A utiliza¸c˜ao desta API pode ser feita de v´arias formas, abaixo apresentadas:

• No computador local – Instalando a API, a partir do seu ficheiro .jar, no

próprio computador é poss´ıvel ter acesso a todas as suas classes, permitindo assim a sua utiliza¸cão [1]. Tendo acesso às classes da API torna-se poss´ıvel a resolu¸cão de um problema formulado e inserido pelo utilizador, como é apresentado na figura 2.6, no caso de um problema sem restri¸cões e utilizando por exemplo o método de Pesquisa Coordenada, onde a vari´avel expr ´e a fun¸cão objetivo e a vari´avel initPoint cont´em os valores dos pontos iniciais das vari´aveis. Utilizando o construtor da classe CoordinatedSearch ´e criada uma instância dessa Classe que contém os dados do problema enviados por parâmetros. Para resolu¸cão do problema é chamado o m´etodo run(), ao ser executado este método a solu¸cão é guardada num vector com a dimensão do problema. Vários métodos estão dispon´ıveis para obter os dados do problema, para o caso da solu¸cão é utilizado o m´etodo getLastResult(), que retorna o vector com os valores da solu¸cão [1].

2.3. IMPLEMENTAÇ ÃO DOS MÉTODOS EM JAVA 19

Figura 2.6 – Exemplo de utiliza¸c˜ao da API Via Java

• Via Web Services – Permite aos utilizadores terem acesso remoto aos m´etodos

da API, não sendo necessário ter a API instalada no próprio computador. Uma outra vantagem desta implementa¸cão reside no facto de ser poss´ıvel aceder aos métodos não só utilizando a tecnologia Java, mas também muitas outras linguagens de programa¸cão, ao contrário da utiliza¸cão local da API, que apenas permite a utiliza¸cão desta com Java. Na figura 2.7 é apresentado um exemplo de acesso remoto à API utilizando Java. Para esta utiliza¸cão apenas é necessário a importa¸cão, por parte do utilizador, do ficheiro WSDL (Web Service Definition Language), disponibilizado na Web. Este ficheiro cria localmente todos os ficheiros necessários para a utiliza¸cão da API [14].

Figura 2.7 – Exemplo de utiliza¸c˜ao da API Via Web Services

• Via Web Vers˜ao 1 – Permite aos utilizadores inserirem os problemas formulados

e selecionarem os métodos de otimiza¸cão que pretendem. Como é vis´ıvel na Figura 2.8, o utilizador deve introduzir os dados do problema, i.e., o tipo de problema, a sua dimensão e quantas restri¸cões tem associadas, a fun¸cão objetivo, as fun¸cões restri¸cão e o valor do pontos iniciais. Após a introdu¸cão

20 CAPÍTULO 2. API DE OTIMIZAÇ ÃO N ÃO LINEAR

destes dados e escolhido o método a utilizar o resultado é então apresentado ao utilizador [14].

Figura 2.8 – Exemplo de utiliza¸c˜ao da API Via Web Vers˜ao 1

• Via Web Vers˜ao 2 – Permite aos utilizadores inserirem os problemas formulados

e selecionarem os métodos de otimiza¸cão que pretendem. Tal como na versão 1, e vis´ıvel na Figura 2.9, é necessário para além do problema formulado, introduzir o tipo de problema, a sua dimensão e o número de restri¸cões. Esta versão permite além da solu¸cão, visualizar os dados do processo iterativo, apresentado na figura 2.10, permitindo uma análise de todo o processo, visto serem apresentados graficamente os valores das variáveis e da fun¸cão objetivo em cada itera¸cão. Os dados relativos ao processo de resolu¸cão são guardados em base de dados, podendo assim serem consultados posteriomente [13].

2.3. IMPLEMENTAÇ ÃO DOS MÉTODOS EM JAVA 21

Figura 2.9 – Exemplo de utiliza¸c˜ao da API Via Web Vers˜ao 2

Figura 2.10 – Exemplo de utiliza¸cão da API para análise do processo iterativo Via Web Versão 2

3

Codifica¸c˜ao de Problemas

Matem´aticos

3.1 Introdu¸c˜ao

Uma vez que a otimiza¸cão envolve mais do que apenas a aplica¸cão de um algoritmo para minimizar ou maximizar uma fun¸cão objetivo, é necessário, antes de qualquer rotina de otimiza¸cão ser invocada, um esfor¸co considerável para formular o modelo matemático subjacente ao problema, e desta forma diminuir o esfor¸co computacional dos algoritmos de otimiza¸cão. A codifica¸cão dos problemas permite tornar estas etapas de formula¸cão mais fáceis e menos suscet´ıveis a erros [15].

Segundo Emmanuel Fragnière [16], a codifica¸cão utilizada deve permitir aos utilizadores codificarem problemas, mas também compreendê-los uma vez codificados, por outro lado, os computadores devem ser capazes de os ler e traduzir. Desta forma é poss´ıvel a qualquer pessoa codificar um problema e, se pretender, disponibilizá-lo em qualquer parte do mundo via Web.

Estando um problema codificado, é poss´ıvel ao utilizador obter a sua solu¸cão, utilizando um solver associado, sem necessidade de o formular e introduzir sempre que quiser obter a solu¸cão. Para além da vantagem de reutiliza¸cão de problemas já formulados, permite o estudo de problemas de grande escala, visto que existem

24 CAPÍTULO 3. CODIFICAÇ ÃO DE PROBLEMAS MATEM ÁTICOS

muitas situa¸cões onde um problema de otimiza¸cão apresenta apenas uma fun¸cão objetivo, restri¸cões simples e um número de variáveis relativamente baixo. No entanto, a maioria dos problemas da vida real envolvem centenas de restri¸cões e variáveis, não sendo pratic´avel para o utilizador formular e inserir num solver cada restri¸cão e cada variável [16].

No documento Desenvolvimento de um interpretador de problemas para otimização não linear (páginas 37-50)