4. Teste Empírico
4.1. Desempenho das estratégias de risco
4.1.2. Imunização de carteiras de renda fixa
Com o intuito de avaliar as diferentes estratégias de imunização do risco de taxa de juros e testar a performance das carteiras, o critério de imunização considerado foi igualar a Duração ao horizonte temporal do investimento. Os títulos disponíveis no mercado de renda fixa brasileiro na data inicial escolhida para o estudo (02/01/2007) permitiram a construção de portfólios com períodos de investimento de no máximo 3 anos (756 dias úteis). Ou seja, ainda não é possível trabalhar com portfólios com horizonte de investimento muito elevado quando
2 O contrato futuro de DI-1 dia tem como objeto de negociação a taxa de juros efetiva de Depósitos
Interfinanceiros-DI. Os contratos são definidos pela taxa média de depósitos interfinanceiros de um dia calculado pela CETIP, expressa em taxa efetiva anual, base 252 dias úteis. Esta taxa média é formada com base nas expectativas dos agentes econômicos e nas operações de transferências de recursos de uma instituição financeira
trabalhamos com Duração do portfólio igual ao horizonte de investimento, sem um título mais longo, de 10 anos por exemplo, para compor as carteiras. Foram criadas 16 carteiras com 2 títulos cada, conforme abaixo:
Carteiraij = wiTi + wjTj
sujeito a
Σ wijDij = H
Σ wij = 1
Depois que a carteira foi formada, os pesos dos títulos (w) foram alterados a cada rebalanceamento para coincidir com a duração do período restante até o vencimento. Os rebalanceamentos foram feitos a cada pagamento de cupom e também quando um novo título foi adicionado ao portfólio em função do vencimento dos títulos de curto prazo. Foram formados 16 portfólios diferentes. E, novamente nenhum custo de transação foi assumido.
Na segunda fase desta etapa, as carteiras não foram limitadas pelo número de títulos. Trabalhamos com os seis títulos de maior liquidez. Foram formados 7 (sete) portfólios. O primeiro foi montado sob o critério de imunização utilizado nas carteiras anteriores, ou seja, a duração igual ao horizonte do investimento. As outras seis carteiras seguintes, que tinham por objetivo iniciar a discussão sobre risco idiossincrático, foram formadas de acordo com os modelos descritos a seguir:
Modelo I - A restrição em relação a duração da carteira ser igual ao horizonte de investimento foi mantida. Acrescentamos a condição de minimizar a medida de dispersão Ñ. Carteira = Σ wiTi sujeito a min Σ wiÑ Σ wiDi = H Σ wi = 1
Modelo II - A restrição em relação a duração da carteira ser igual ao horizonte de investimento foi mantida. Acrescentamos a condição de minimizar o quadrado da soma dos pesos dos títulos (w2), buscando minimizar os efeitos do risco idiossincrático.
sujeito a
min Σ wi2
Σ wiDi = H
Σ wi = 1
Modelo III - A restrição em relação a duração da carteira ser igual ao horizonte de investimento foi relaxada. E recolocamos a restrição para minimizar a dispersão linear Ñ.
Carteira = Σ w,T,
sujeito a min Σ Ñi
Σ wi = 1
Modelo IV - A restrição em relação a duração da carteira ser igual ao horizonte de investimento foi mantida. Acrescentamos um mix das duas restrições anteriores, condição de minimizar a dispersão (Ñ) e minimizar a soma do quadrado dos pesos (w2). O objetivo é verificar se existe um trade off entre o risco de imunização e o risco idiossincrático.
Carteira = Σ wiTi
sujeito a
min Σ (λ)Ñi + (1- λ)wi2
Σ wiDi = H
Σ wi = 1
O modelo IV foi rodado com três diferentes valores de lambida: 0,30, 0,50 e 0,70. É importante ressaltar que o Modelo I equivale ao Modelo III quando λ = 1 e o
Modelo II equivale ao Modelo III quando λ = 0.
4. 2. Risco de imunização x Risco idiossincrático
O número de títulos numa carteira imunizada também é importante, pois pode afetar o desempenho da imunização. Assim, na segunda etapa do estudo o objetivo
trade off entre risco de imunização e riso idiossincrático. O período em análise foi de 2006 a 2010. O horizonte de investimento foi definido como de 2 (dois) anos. Similar ao trabalho de Dias, Gonzales e Navarro (2006), os portfólios também foram construídos com seis títulos de maior liquidez: dois títulos com maturidade menor que o horizonte do investimento, um título com maturidade em torno de 2 (dois) anos, dois títulos com maturidade acima de 2 (dois) anos e a NTN-F mais longa no momento de montagem do portfólio. O período da amostra foi dividido em 3 (três) intervalos sobrepostos, 2006-2008, 2007-2009 e 2008-2010. Para cada um dos 3 (três) períodos foram criados 4 (quatro) portfólios iniciais e estes foram submetidos aos quatro modelos descritos anteriormente. No total foram avaliadas 72 carteiras. Cada carteira foi rebalanceada a cada pagamento de cupom ou vencimento de título de curto prazo.
A tabela 4.2 mostra o peso dos títulos de acordo com o modelo utilizado no primeiro período avaliado. Podemos observar que quanto menor o valor de lambida, maior o número de títulos que compõem o portfólio.
Estratégia Duration do Portfóflio w1 w2 w3 w4 w5 w6
Modelo 1 2.0 0.0000 0.0000 0.0000 0.9040 0.0960 0.0000 Modelo 2 2.0 0.1905 0.1697 0.1704 0.1729 0.1545 0.1420 Modelo 3 1.8 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 Modelo 4 (λ = 3) 2.0 0.0119 0.2623 0.2447 0.2276 0.1735 0.0804 Modelo 4 (λ = 5) 2.0 0.0000 0.1676 0.1017 0.5621 0.1013 0.0702 Modelo 4 (λ = 7) 2.0 0.0000 0.0000 0.3099 0.5271 0.1401 0.0231
Tabela 4.2 - Peso dos Títulos (%)
Período 1 - 2006-2008 Peso dos títulos
5. Resultados
A imunização é definida como a condição em que uma carteira é insensível a mudanças nas taxas de juros. Uma definição alternativa de imunização foi introduzida por Fisher e Weil (1971). De acordo com os autores, uma carteira de títulos é imunizada contra as alterações das taxas de juros se o retorno após o horizonte temporal do investimento é pelo menos tão grande como o retorno estabelecido como meta. Segundo Agca (2002), Bierwag, Kaufman, and Toevs (1981) mediram a performance da imunização de várias outras maneiras. Uma medida foi comparar a distância entre o retorno durante o horizonte do investimento e o retorno prometido. A carteira é considerada imunizada com sucesso se o retorno após o horizonte do investimento é maior ou igual ao benchmark em pelo menos cinco pontos de base. Em outras palavras, um erro de cinco pontos base é permitido. Outra medida examinou a frequência que o retorno, durante o horizonte do investimento, superou em cinco pontos base a meta de rendimento. Além disso, pode-se analisar o número de carteiras que apresentaram um desempenho dentro de uma range de mais ou menos dois pontos base em relação ao rendimento-alvo. Ainda segundo Agca (2002), Brennan e Schwartz (1983), e Nelson e Schaefer (1983) examinaram quão próximo do benchmark o retorno durante o período do investimento estava.
Sobre este aspecto, na primeira etapa trabalhamos com duas métricas. Primeiro utilizamos como referência a taxa de juros da NTN-F (01/01/2010), mesmo título que foi escolhido para ser carregado até o vencimento. Além disso, consideramos também o desempenho absoluto, comparando o desempenho esperado da carteira e o seu desempenho efetivo.
No total foram formadas 26 carteiras. Para cada carteira, foram calculadas as seguintes medidas de risco: convexidade, dispersão quadrática e dispersão linear. A Tabela 5.1 mostra os dados do Grupo I, com um único título mantido até o vencimento:
Carteira Convexidade Ñ M2 YTM Grupo I - NTN-F (01/2010) 367,950 85 40,412 12.281
Grupo I - Hedge Estatico 12.281
Grupo I - Hedge Dinamico 12.281
Tabela 5.1 - Carteiras do Grupo I
Para a imunização das carteiras do segundo grupo foram feitos rearranjos nos percentuais de cada título (rebalanceamentos), somente nas datas de pagamento de cupom ou de vencimento de título, de forma a atingir a duração igual ao tempo remanescente do prazo inicial de 754 dias úteis. Não foram permitidas vendas a descoberto (short sales) e sempre que houve resgate de um título (no caso a LTN), buscou-se substituí-lo por outro de prazo semelhante ao inicial. A Tabela 5.2 mostra os dados das carteiras do Grupo II:
Carteira Convexidade Ñ M2 YTM
Grupo II - 1 479,062 504 282,958 12.4763 Grupo II - 2 499,281 701 539,451 12.5748 Grupo II - 3 473,204 491 264,295 12.4134 Grupo II - 4 489,416 672 499,445 12.4713 Grupo II - 5 468,027 475 244,632 12.3745 Grupo II - 6 480,753 639 457,213 12.4080 Grupo II - 7 464,866 457 224,965 12.3439 Grupo II - 8 474,838 603 415,407 12.3596 Grupo II - 9 462,816 437 205,023 12.3208 Grupo II - 10 471,650 563 373,240 12.3243 Grupo II - 11 463,468 412 183,949 12.3043 Grupo II - 12 471,425 517 329,031 12.3001 Grupo II - 13 474,557 341 135,283 12.2770 Grupo II - 14 484,735 397 230,051 12.2647 Grupo II - 15 438,546 172 82,672 12.2933 Grupo II - 16 438,002 172 116,262 12.2903
Tabela 5.2 - Carteiras do Grupo II
No terceiro grupo (Tabela 5.3), as carteiras também foram rebalanceadas nas datas de pagamento de cupom e no vencimento dos títulos curtos, que foram substituídos por outro. As carteiras foram rebalanceadas mantendo as restrições iniciais.
Carteira Convexidade Ñ M2 YTM Grupo III - 1 468,682 426 258,674 12.3409 Grupo III - 2 437,619 171 115,848 12.2903 Grupo III - 3 469,953 442 274,723 12.3461 Grupo III - 4 367,950 85 40,412 12.2810 Grupo III - 5 464,491 360 206,657 12.3031 Grupo III - 6 452,201 289 177,591 12.3012 Grupo III - 7 444,904 205 119,250 12.2877
Tabela 5.3 - Carteiras do Grupo III
Para comparar a eficiência das estratégias de imunização, considerou-se como retorno realizado (yr) a média dos rendimentos diários da carteira, desde
02/01/2007 até 04/01/2010, convertida para taxa anual pela seguinte fórmula:
em que
−
y representa a média dos rendimentos diários da carteira.
Sob a perspectiva de menor erro em relação ao benchmark, apenas as estratégias que utilizam o modelo de hedge para o título registraram desempenho melhor que o da NTN-F 01/01/2010. No Grupo II, as duas carteiras que apresentaram o menor Ñ registraram os dois piores desempenhos em relação ao benchmark. Na verdade, estas duas carteiras registraram o mesmo de valor de Ñ, sendo que uma das carteiras de menor Ñ foi também a de menor M2.
Em relação ao retorno absoluto, as carteiras imunizadas não conseguiram superar o desempenho dos papéis com hedge. Já a carteira de maior convexidade registrou o pior desempenho absoluto, se consideramos como medida de desempenho o erro em relação ao benchmark. Neste contexto, as carteiras de menor Ñ também não registraram bom desempenho, e só foram melhores do que a carteira 2, a de maior convexidade.
O portfólio barbell (Carteira 1 – Grupo II) registrou um retorno mais elevado que os portfólios m-m bullet (Carteira 15 e 16 – Grupo II). A carteira de maior
1 252 exp − × = y− Yr
retorno, a Carteira 9 do Grupo II, não foi indicada como carteira ótima por nenhum dos critérios utilizados.
No Grupo III, a carteira que buscava minimizar o risco idiossincrático não conseguiu confirmar o benefício da diversificação. A Carteira 3 registrou os maiores erros do grupo, tanto o erro absoluto quanto o erro em relação ao benchmark. Em termos de retorno absoluto a Carteira 3 foi também a de pior desempenho. A Carteira 2, que tinha como objetivo minimizar o Ñ, foi a que registrou o melhor retorno absoluto e o menor erro em relação ao benchmark. Quanto ao erro absoluto, a carteira 2 foi superada na margem pela carteira 4. Estes resultados podem ser vistos na Tabela 5.4 abaixo:
Carteira Convexidade Ñ M2 YTM Rentabilidade Real Erro2 (Abs) Erro2 (Bench)
Grupo I - NTN-F (01/2010) 367,950 85 40,412 12.281 11.7213 0.3133 0.3133
Grupo I - Hedge Estatico 12.281 11.7261 0.3079 0.3079
Grupo I - Hedge Dinamico 12.281 11.7251 0.3090 0.3090
Carteira Convexidade Ñ M2 YTM Rentabilidade Real Erro2 (Abs) Erro2 (Bench)
Grupo II - 1 479,062 504 282,958 12.4763 11.6766 0.6396 0.3653 Grupo II - 2 499,281 701 539,451 12.5748 11.5958 0.9584 0.4695 Grupo II - 3 473,204 491 264,295 12.4134 11.6772 0.5421 0.3646 Grupo II - 4 489,416 672 499,445 12.4713 11.5968 0.7647 0.4682 Grupo II - 5 468,027 475 244,632 12.3745 11.6809 0.4811 0.3601 Grupo II - 6 480,753 639 457,213 12.4080 11.6008 0.6516 0.4627 Grupo II - 7 464,866 457 224,965 12.3439 11.6881 0.4301 0.3515 Grupo II - 8 474,838 603 415,407 12.3596 11.6087 0.5639 0.4520 Grupo II - 9 462,816 437 205,023 12.3208 11.6898 0.3982 0.3495 Grupo II - 10 471,650 563 373,240 12.3243 11.6067 0.5150 0.4547 Grupo II - 11 463,468 412 183,949 12.3043 11.6825 0.3866 0.3582 Grupo II - 12 471,425 517 329,031 12.3001 11.6111 0.4748 0.4488 Grupo II - 13 474,557 341 135,283 12.2770 11.6498 0.3935 0.3985 Grupo II - 14 484,735 397 230,051 12.2647 11.5799 0.4689 0.4915 Grupo II - 15 438,546 172 82,672 12.2933 11.4243 0.7550 0.7339 Grupo II - 16 438,002 172 116,262 12.2903 11.4132 0.7694 0.7531 Média 12.3623 11.6114 0.5746 0.4551
Carteira Convexidade Ñ M2 YTM Rentabilidade Real Erro2 (Abs) Erro2 (Bench)
Grupo III - 1 468,682 426 258,674 12.3409 11.6488 0.4789 0.3996 Grupo III - 2 437,619 171 115,848 12.2903 11.7199 0.3253 0.3148 Grupo III - 3 469,953 442 274,723 12.3461 11.6258 0.5189 0.4293 Grupo III - 4 367,950 85 40,412 12.2810 11.7163 0.3189 0.3189 Grupo III - 5 464,491 360 206,657 12.3031 11.6616 0.4116 0.3837 Grupo III - 6 452,201 289 177,591 12.3012 11.6682 0.4007 0.3755 Grupo III - 7 444,904 205 119,250 12.2877 11.7177 0.3249 0.3173 Média 12.3072 11.6798 0.3970 0.3627
Posteriormente, foram calculados o VaR histórico, o VaR paramétrico e o CVaR para os seguintes graus de confiança: 90%, 95% e 99%. A volatilidade das taxas de juros, base para o cálculo do VaR paramétrico, foi obtida a partir do desvio- padrão da série de variações diárias na taxa de juros. A mesma série foi usada para obter o VaR histórico, a partir do percentil, segundo cada grau de confiança escolhido. O CVaR foi calculado a partir da média das variações diárias que excederam o percentil correspondente ao grau de confiança considerado. Sendo que, o VaR utilizado para o calculo do CvaR foi o paramétrico.
A Tabela 5.5 exibe o VaR histórico, o VaR paramétrico e o CVaR das 26 carteiras, com destaque para os valores mínimos:
Grupo I 90% 95% 99% 90% 95% 99% 90% 95% 99% NTN-F - 01/01/2010 -0.2912% -0.4239% -0.9068% -0.4248% -0.5452% -0.7711% -0.5328% -0.7219% -1.1865% Hedge Estatico -0.3022% -0.4456% -0.9163% -0.4527% -0.5811% -0.8218% -0.5574% -0.7568% -1.2440% Hedge Dinamico -0.2936% -0.4076% -0.8960% -0.4241% -0.5443% -0.7698% -0.5298% -0.7187% -1.1619% Grupo II 90% 95% 99% 90% 95% 99% 90% 95% 99% Grupo II - 1 -0.2388% -0.3480% -0.83670% -0.3175% -0.4075% -0.5764% -0.4458% -0.6125% -1.0961% Grupo II - 2 -0.1877% -0.2982% -0.71203% -0.2657% -0.3410% -0.4823% -0.3769% -0.5274% -0.9910% Grupo II - 3 -0.2389% -0.3480% -0.83670% -0.3174% -0.4074% -0.5762% -0.4461% -0.6121% -1.0961% Grupo II - 4 -0.1877% -0.2982% -0.71203% -0.2656% -0.3409% -0.4822% -0.3773% -0.5285% -0.9911% Grupo II - 5 -0.2381% -0.3480% -0.83670% -0.3168% -0.4067% -0.5751% -0.4459% -0.6127% -1.0961% Grupo II - 6 -0.1874% -0.2934% -0.71203% -0.2653% -0.3405% -0.4816% -0.3771% -0.5299% -0.9912% Grupo II - 7 -0.2364% -0.3522% -0.83670% -0.3155% -0.4049% -0.5727% -0.4461% -0.6107% -1.0910% Grupo II - 8 -0.1850% -0.2886% -0.69526% -0.2628% -0.3373% -0.4770% -0.3743% -0.5279% -0.9892% Grupo II - 9 -0.2338% -0.3449% -0.83670% -0.3116% -0.3999% -0.5656% -0.4410% -0.6074% -1.0852% Grupo II - 10 -0.1799% -0.2857% -0.69515% -0.2597% -0.3334% -0.4715% -0.3715% -0.5262% -0.9892% Grupo II - 11 -0.2231% -0.3449% -0.83194% -0.3062% -0.3930% -0.5558% -0.4356% -0.6040% -1.0791% Grupo II - 12 -0.1726% -0.2848% -0.71558% -0.2634% -0.3381% -0.4782% -0.3764% -0.5380% -0.9848% Grupo II - 13 -0.2006% -0.3247% -0.83060% -0.2922% -0.3751% -0.5304% -0.4171% -0.5881% -1.0660% Grupo II - 14 -0.1575% -0.2406% -0.72268% -0.2495% -0.3203% -0.4529% -0.3540% -0.5152% -0.9990% Grupo II - 15 -0.1051% -0.1654% -0.51505% -0.2159% -0.2771% -0.3919% -0.2747% -0.4221% -1.0451% Grupo II - 16 -0.0923% -0.1447% -0.5127% -0.2165% -0.2778% -0.3929% -0.2677% -0.4221% -1.0835% Grupo III 90% 95% 99% 90% 95% 99% 90% 95% 99% Grupo III - 1 -0.2849% -0.4044% -0.8964% -0.4305% -0.5525% -0.7815% -0.5037% -0.6880% -1.1401% Grupo III - 2 -0.3097% -0.4839% -1.0217% -0.4275% -0.5486% -0.7760% -0.5613% -0.7678% -1.2749% Grupo III - 3 -0.2606% -0.3817% -0.8570% -0.3565% -0.4576% -0.6472% -0.4828% -0.6631% -1.0751% Grupo III - 4 -0.3091% -0.4815% -1.0199% -0.4246% -0.5449% -0.7707% -0.5561% -0.7623% -1.2631% Grupo III - 5 -0.2795% -0.4226% -0.9219% -0.3829% -0.4915% -0.6951% -0.5098% -0.7024% -1.1653% Grupo III - 6 -0.3023% -0.4574% -1.0217% -0.4228% -0.5426% -0.7674% -0.5444% -0.7562% -1.2685% Grupo III - 7 -0.3053% -0.4773% -1.0219% -0.4256% -0.5463% -0.7726% -0.5596% -0.7679% -1.2728% (*) O CVaR foi calculado utilizando o VaR Paramétrico
Tabela 5.5 - VaR Histótico, VaR Paramétrico e CVaR (*)
VaR Historico VaR Parametrico C VaR VaR Historico VaR Parametrico C VaR
VaR Historico VaR Parametrico C VaR
A carteira Grupo II – 2, indicada como ótima pelo critério de maior convexidade, não foi a mesma indicada pelo menor VaR, em nenhuma das 3 (três)
métricas. Contudo, as carteiras Grupo II – 15 e Grupo II – 16, que apresentaram o menor Ñ, registraram o menor VaR histórico e paramétrico respectivamente, em todos os graus de confiança analisados. A carteira Grupo II – 12 registrou o menor CVaR para o grau de confiança de 90%.
Os resultados obtidos demonstraram haver uma relação entre a medida de dispersão Ñ e o VaR. Ou seja, a carteira ótima indicada pelas medidas de dispersão não diferiu da carteira recomendada pelas medidas modernas VaR e CVaR. Contudo, os resultados obtidos demonstraram não haver uma relação entre as medidas clássicas de risco, ou seja, a carteira ótima indicada pela convexidade difere das carteiras recomendadas pelas medidas VaR e CVaR, confirmando o resultado encontrado por Mato (2005). Qual seja, maximizar convexidade não implica otimização usando CVaR.
Ainda sobre as medidas de VaR, observamos uma correlação negativa entre VaR e rentabilidade. Para confirmar a significância do parâmetro, rodamos uma regressão da rentabilidade contra o VaR Paramétrico. Os resultados podem ser vistos na Tabela 5.6 abaixo:
Constante VaR R2