Sabendo que o professor enfatizou as diferentes representações de Limite em suas mediações, buscou-se identificar os indícios de tratamento e conversão dos Registros de Representação Semiótica por parte dos discentes. Para tanto se considerou o conceito de Limite a partir da análise de duas questões que envolvem conceitos de Limite, e que compõem a Primeira Avaliação da disciplina, realizada no dia 19 de abril de 2012, por 11 discentes.18 As questões estão caracterizadas nas Figuras 22 e 25, e instigam o discente a realizar uma análise das funções definidas a partir do entendimento de Limite. Inicialmente explicitam-se as intencionalidades do professor ao propor tais atividades, e quais os Registros de Representação Semiótica de Limite podem ser mobilizados pelos discentes. Em seguida faz-se uma análise dos registros evidenciados e mobilizados pelos discentes.
Figura 22. Questões 5 a 8
Fonte: Primeira avaliação de Cálculo I (1/2012).
As questões 5 a 8 são inerentes à função
( )
23 x f x x − + = − , e instigam o discente a mobilizar os Registros da Língua Natural, Algébrico, Numérico e Gráfico de Limite, sendo esta uma possibilidade. Inicialmente é necessário mobilizar o Registro da Língua Natural, considerando a interpretação das questões. A partir do Registro Algébrico da função, é
18 Devido às avaliações e questões serem diferentes, foi selecionada a avaliação realizada pelo maior número de
discentes, de um total de 24.
Seja ݂ሺݔሻ a função definida por
( )
2 3 x f x x − + =− , determine o que se pede nas questões 5 a 8: 5. O domínio e a imagem da função.
6. As assíntotas vertical e horizontal, caso existam.
7. O
( )
3
lim
x→+ f x e o xlim→∞f x
( )
. 8. O gráfico.necessário identificar o Domínio e a Imagem da função ݂ሺݔሻ. Para tanto é necessário identificar as restrições da função, as quais determinam as assíntotas vertical e horizontal da Função Racional (questão 6), que são respectivamente em ݔ = 3 e ݕ = −1. Determina-se, então, que o domínio da função refere a todos os Reais, exceto ݔ = 3, (D=
{
x∈»/x≠3}
), e a imagem da função a todos os Reais com exceção de ݕ = −1, (Im y 1y
= ∈ ≠ −
» ). A
questão 7 possibilita a mobilização do Registro Numérico para o Registro Algébrico de Limite da função. O Limite da função ݂ሺݔሻ, quando x tende a três pela direita, pode ser determinado a partir do Registro Numérico, atribuindo valores próximos a três pela direita, possibilitando identificar a tendência de y ao infinito negativo, ou seja, o Registro Algébrico fica definido como
( )
3
lim
x + f x
→ = −∞. Para determinar o Limite da função quando x tende a
valores positivos “muito grandes”, ou seja, ao infinito positivo, realiza-se novamente a mobilização do Registro Numérico, atribuindo valores “grandes” à variável x. Identifica-se que y tende a menos um, ou seja, o Registro Algébrico será lim
( )
1x→∞ f x = − . A partir dos
registros obtidos nas questões 5, 6 e 7 é possível determinar o Registro Gráfico da função (Figura 23), ou seja, as assíntotas vertical e horizontal, bem como os Registros Algébricos dos Limites.
Figura 23. Registro Gráfico, questão 8
A partir da análise das avaliações dos discentes organizou-se o Quadro 12, no qual se quantificou o número de discentes, considerando as respostas corretas, incorretas e não respondidas (anuladas) em relação às questões 5, 6, 7 e 8.
Quadro 12. Número de respostas corretas, incorretas e nulas das Questões 5, 6, 7 e 8 Questões da
avaliação Respostas corretas Respostas incorretas Nulas
5 8 2 1
6 9 0 2
7 4 5 2
8 6 2 3
Fonte: Avaliações realizadas pelos discentes – Primeira avaliação de Cálculo I (1/2012).
Estes dados permitem verificar que existe dificuldade por parte dos discentes quanto à significação de Limite (Registro Algébrico) e, posteriormente, no Registro Gráfico. Dentre os oito discentes que responderam corretamente à questão 5, apenas quatro identificaram corretamente o Domínio e a Imagem da função. Destes, três realizaram o Registro Numérico, atribuindo valores para a variável x e determinando pares ordenados, para então realizar o Registro Gráfico da função (Figura 24). Um deles apenas determinou inicialmente as assíntotas e, após, o Domínio e a Imagem da função. Os demais alunos não conseguiram determinar a Imagem da função.
Figura 24. Identificação de domínio e imagem da função a partir do registro numérico
As assíntotas vertical e horizontal (questão 6) foram identificadas corretamente por nove discentes, no entanto, três deles apenas identificaram a assíntota vertical, a partir da restrição da função, na qual a variável x não pode assumir o valor três. Os demais discentes identificaram as assíntotas da mesma forma como o registro explicitado na Figura 24, mobilizando os Registros Numérico e Gráfico da função. Na questão 7, que solicita o Limite da função, quando x tende a três pela direita e ao infinito, verificam-se apenas quatro acertos, nos quais se constatam diferentes transformações. Um dos discentes, para determinar o Registro Algébrico,
( )
3
lim
x→ + f x , realizou o Registro Numérico, atribuindo valores à direita de três, já o lim
( )
x→∞ f x foi determinado a partir do Registro Gráfico. Observou-se, também, a
determinação dos dois Limites somente a partir do Registro Gráfico. Outro discente, para determinar os Limites, realizou o Registro Numérico, atribuindo valores para x nas duas situações, porém, ao determinar o Registro Algébrico lim
( )
x→∞ f x , realizou uma operação de
forma incorreta. Por fim, também se identificou um discente que utilizou os teoremas de limite para determinar o Registro Algébrico lim
( )
x→∞ f x , determinando-o corretamente. No
entanto, ao determinar o
( )
3
lim
x→+ f x , utilizou o Registro Numérico e cometeu um equívoco nas operações.
Dentre os cinco discentes que determinaram incorretamente os limites da função, quatro utilizaram os teoremas, apresentando apenas erros nas operações. O outro discente apenas realizou o Registro Algébrico, determinando incorretamente
( )
3
lim
x→ + f x = +∞.
Ao analisar o Registro Gráfico da função, enfatizado na questão 8, verificou-se que dois discentes realizaram o Registro Gráfico a partir do Registro Numérico, sendo que, neste registro realizaram erros voltados às operações. Estes discentes também já apresentaram dificuldades nas questões anteriores. Dentre os seis discentes que realizaram corretamente o Registro Gráfico observou-se que apenas um deles utilizou os registros determinados nas questões anteriores para realizar o Registro Gráfico, os demais organizaram pares ordenados a partir do Registro Numérico e, a seguir, o Registro Gráfico, como já destacado na Figura 24.
Os discentes apresentarem dificuldades ao desenvolver as questões e mobilizar os registros propostos, as quais estão vinculadas às operações. Como explicitado nas análises, muitos discentes demonstraram compreender as diferentes representações propostas, no entanto, algumas lacunas advindas da educação básica os impossibilitaram de concluir corretamente as mobilizações e representações.
As questões 10, 11, 12, 13 e 14, explicitadas na Figura 25, instigam o discente a
realizar análise do Registro Gráfico da função
( )
0 2 0 3 ² 1 3 9 x e x f x x se se x x se x < = − + ≤ ≤ − > , identificando
diferentes aspectos. No entanto, como o foco de análise deste estudo é inerente ao conceito de Limite, procede-se à análise dos registros da questão 12, que instiga o discente a identificar o Limite da função quando x tende a 3.
Figura 25. Questões 10 a 14
Fonte: Primeira avaliação de Cálculo I (1/2012).
Para identificar o Registro Algébrico solicitado na questão 12, ou seja, o Limite da função quando x tende a três, existem duas possibilidades: realizar o tratamento numérico da função, ou seja, o Registro Numérico, atribuindo valores à variável x, próximo de três, ou realizar a análise do Registro Gráfico. A partir do Registro Gráfico é necessário verificar os limites laterais para ݔ = 3, ou seja, à direita e à esquerda de três, definidos algebricamente por
( )
3
lim
x + f x
→ e xlim3− f x
( )
→ . Observando o Registro Gráfico para valores à direita e muito próxi-
mos de três, verifica-se que o limite da função ݂ሺݔሻ é igual a zero, ou seja,
( )
3
lim 0
x→+ f x = . Para valores à esquerda e muito próximos de três, observa-se que a curva se aproxima de menos um, ou seja, o limite da função ݂ሺݔሻ, e quando x tende a três pela esquerda é menos
um (
( )
3
lim 1
x→ − f x = − ). Como os limites laterais são diferentes pode-se afirmar que não existe Observe a função representada ao lado e, determine o que se pede nas questões 10 a 14:
( )
0 2 0 3 ² 1 3 9 x e x f x x se se x x se x < = − + ≤ ≤ − > 10. O(s) intervalo(s) de crescimento da função, caso exista(m). 11. O(s) intervalo(s) onde a função é negativa, caso exista(m). 12. O
( )
3
lim
x→ f x , caso exista.
13. A função é contínua em ݔ = 1? Justifique. 14. A função é contínua no intervalo [1, 4]? Justifique.
limite quando x tende a três, ou seja,
( )
3
lim
x→ f x = . Nesta questão, portanto, existem duas
possibilidades de transformação entre registros, ou seja, do Registro Numérico (tratamento do Registro Algébrico da função) para o Registro Algébrico, ou do Registro Gráfico para o Registro Algébrico.
Ao analisar as avaliações realizadas pelos discentes, verifica-se que dos 11 participantes, dois não desenvolveram a questão. Quatro discentes a desenvolveram corretamente, e cinco a realizaram de forma incorreta. Destes cinco discentes, um deles identificou a necessidade de analisar os limites à direita e à esquerda de três, no entanto, identificou incorretamente a tendência de y, conforme se pode observar na Figura 26. Os demais discentes utilizaram os teoremas de limites, no entanto, demonstraram não compreender o seu significado.
Figura 26. Identificação do limite a partir dos limites laterais
Fonte: Acadêmico 1 – Primeira avaliação de Cálculo I (1/2012).
Os quatro discentes que realizaram corretamente as mobilizações determinaram o Limite da função a partir da análise do Registro Gráfico, verificando que os limites laterais de três eram diferentes, afirmando que o Limite não existe quando x tende a três, ou seja, verificaram que
( )
3 lim 1 x − f x → = − e( )
3 lim 0 x + f x →= . Estes discentes compreenderam o significado de Limite, considerando a tendência da função, mobilizando o Registro Gráfico para o Registro Algébrico de Limite ou Registro da Língua Natural, afirmando que “o limite não existe”. Estes discentes demonstram que as intencionalidades do professor, no decorrer do processo de mediações, interferem nos registros dos discentes. No entanto, o número de discentes que demonstrou não compreender o significado de Limite é maior, perpassando todos os registros de Limite.
O Quadro 13 explicita as possibilidades de tratamento para desenvolver as questões da atividade avaliativa analisada, bem como as coordenações e tratamentos articulados pelos discentes, considerando os Registros de Representação Semiótica de Limite.
Quadro 13. Coordenações e tratamentos articulados pelos discentes
Questões Possibilidades de tratamento Mobilizações articuladas pelos discentes
Questões
5 a 8 ̶ RA de função → RN → RA de limite → RG
̶ RA de função → RN → RA de limite → RG
̶ RA de função → RG → RA de limite ̶ Tratamento do RA de limite (Teoremas)
Questão 12 ̶ RG → RA de limite ̶ RA de função → RN (limites
laterais) → RA de limite
̶ RG → RA de limite
̶ RG → RLN (“O limite não existe”.) Fonte: Primeira avaliação de Cálculo I (1/2012).
Apesar de se constatar dificuldades por parte dos discentes ao mobilizar os diferentes registros, as intencionalidades do professor contribuem para a sua compreensão conceitual. As dificuldades dos discentes, ao mobilizar os registros, se concentram no Registro Gráfico e Registro Algébrico de Limite. Já as coordenações mais enfatizadas pelos discentes se concentram no Registro Numérico para o Registro Algébrico de Limite, cujo movimento é enfatizado pelo professor.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao retomar a pergunta norteadora desta pesquisa busca-se verificar nos parágrafos que seguem se ao final deste processo foi possível respondê-la. A partir do mapeamento de pesquisas brasileiras voltadas ao ensino de Cálculo em cursos de Engenharia verificou-se que estas têm focado, principalmente, o processo de aprendizagem dos discentes quanto aos conceitos intrínsecos ao Cálculo, ou seja, funções, limite, derivada e integral, bem como as concepções dos professores, o tratamento conceitual e as sequências de ensino. Isto possibilitou uma reflexão, considerando que as mediações docentes também são parte desse processo de aprendizagem conceitual. A partir disto definiu-se como foco desta pesquisa a mediação docente no processo de ensino do Cálculo. Acreditando na potencialidade dos Registros de Representação Semiótica, propostos por Duval (2003, 2009, 2011) para a efetiva apreensão conceitual por parte dos discentes, entende-se que tais apontamentos precisam, inicialmente, fazer parte das ações docentes para proporcionar esta significação conceitual. Propôs-se, então, o seguinte questionamento “Quais são os Registros de Representação do conceito de Limite propostos no processo de mediação de um docente? Quais são as coordenações articuladas pelos discentes de cursos de Engenharia, seus limites e possibilidades à elaboração conceitual?”
A fim de responder a esta pergunta foram gravadas as aulas de uma turma de Cálculo I, disciplina pertencente ao núcleo comum das Engenharias de uma Universidade do interior do Estado do Rio Grande do Sul, no primeiro semestre de 2012, focando, exclusivamente, nas ações docentes. Feitas as gravações, estas foram transcritas e analisadas, considerando episódios que constituíram discussões relacionadas à anterioridade e à formalização do conceito de Limite, ou seja, a noção intuitiva e a formalização do conceito e, também, as intencionalidades nas mediações docentes, considerando as atividades de tratamento e conversão dos registros de representação. Com o intuito de verificar se as intencionalidades de tratamento e conversão tiveram reflexo na aprendizagem dos discentes, foram analisados os registros dos discentes em uma avaliação realizada no decorrer da disciplina, considerando o conceito de Limite.
As análises realizadas sobre os processos de mediação docente inerentes à noção intuitiva de Limite e sua formalização possibilitaram identificar “Quais os Registros de Representação de Limite propostos no processo de mediação docente e suas intencionalidades de tratamento e conversão”. Verificou-se que os diferentes registros de representação do objeto de Limite estão presentes nas mediações docentes, e que o professor
busca enfatizar e dar significado ao conceito a partir de diferentes intencionalidades de mobilização.
O professor, em seu processo de mediação docente, inerente ao conceito de Limite, possibilita em suas intencionalidades diferentes movimentos entre os registros de representação de Limite. Sforni (2010) salienta que o professor precisa tornar os saberes ou conceitos acessíveis aos discentes, para que estes possam lhe atribuir significado, ou seja, é necessária a intervenção intencional. Isso pode ser verificado nas análises, considerando as intencionalidades do professor quanto aos Registros de Representação Semiótica de Limite, bem como na análise das mediações docentes, tanto no ensino da noção intuitiva do conceito, quanto em sua formalização. Conforme Vigotsky (2008), o processo de significação de um conceito por parte do discente vai se desenvolvendo com o passar do tempo, ou seja, ao utilizar uma palavra, por exemplo, tendência. De início esta palavra não tem sentido ao discente, no entanto, à medida que o professor a utiliza em diferentes situações, ele vai construindo um sentido, até significá-lo de fato. Isto foi identificado nos processos de mediação, considerando a noção intuitiva de Limite quanto à ênfase dada pelo professor às palavras tendência e aproximação. Tanto é que no processo de formalização do conceito, ao retomar a noção intuitiva de Limite, o professor continua enfatizando estas palavras para que de fato o discente atribua significado ao conceito de Limite.
Ainda considerando o conceito intuitivo de Limite, verifica-se nas mediações docentes, a utilização das diferentes representações do Limite, em especial o Registro Algébrico, o Registro Gráfico, o Registro Numérico e o Registro da Língua Natural, bem como suas possíveis transformações. Conforme Duval (2009, p. 10, grifo nosso), “[...] são as transformações de representações semióticas que são importantes em Matemáticas e não as representações elas mesmas.” Verifica-se uma maior ênfase no sentido de transformação entre os Registros Numérico e Gráfico, relacionando os dados obtidos no Registro Numérico ao que ocorre no Registro Gráfico. Este fato também se destaca na análise dos registros discentes, pois poderiam determinar o limite de uma função somente a partir do Registro Gráfico, no entanto, preferiram realizar o Registro Numérico. Percebe-se, porém, que o professor buscou em suas intencionalidades, enfatizar os diferentes Registros de Representação Semiótica e “É a articulação dos registros que constitui uma condição de acesso à compreensão em matemática, e não o inverso, qual seja, o ‘enclausuramento’ de cada registro.” (DUVAL, 2003, p. 22). Questiona-se, então: “Quais as coordenações e tratamentos articulados pelos discentes a partir das intencionalidades de tratamento e conversão na mediação docente e, quais seus limites e possibilidades à elaboração conceitual?”.
As intencionalidades do professor em seu processo de mediação contribuem, de fato, para a compreensão conceitual dos discentes. Apesar disto, também se verifica que os discentes possuem algumas dificuldades inerentes à mobilização do Registro Gráfico (RG) para o Registro Algébrico (RA) de Limite. Observa-se, também, que o movimento que predominou nos registros dos discentes foi do Registro Numérico (RN), enfatizando o tratamento do Registro Algébrico da função na forma de tabela para o Registro Algébrico (RA) de Limite, movimento enfatizado pelo professor em sua mediação. Apesar de o professor buscar sempre em suas intencionalidades enfatizar o movimento entre os diferentes registros de representação de Limite, principalmente a relação entre o Registro Gráfico e o Registro Algébrico, percebem-se dificuldades por parte dos discentes ao realizar este movimento, tanto do Registro Gráfico para o Algébrico, quanto do Registro Algébrico para o Gráfico. Estas dificuldades, como enfatizado pelas pesquisas do mapeamento, podem ser inerentes à transição da Educação Básica para o Ensino Superior.
A partir das reflexões realizadas neste estudo e da análise de dados realizada, entende- se que “Não há como pensar o ensino separadamente da aprendizagem, pois aprender é tarefa e possibilidade de quem aprende, mas o professor tem, na sua função de ensinar, o papel imprescindível de promover condições para que a aprendizagem se efetive.” (PERRENOUD, 2000 apud SAUER; LIMA, 2012, p. 280). Percebe-se, portanto, que existem algumas limitações, as quais são superadas pelas possibilidades de aprendizagem geradas a partir das mediações docentes. Os movimentos de conversão e tratamento evidenciados enfatizam que as intencionalidades docentes inerentes ao ensino do conceito de Limite possibilitam a aprendizagem dos discentes. O professor enfatiza a noção intuitiva de Limite a fim de desenvolver a significação do conceito, e instiga os discentes a reconhecer e mobilizar as diferentes Representações Semióticas de Limite, pois uma representação não possibilita a aprendizagem conceitual, mas sim, a transição entre elas (DUVAL, 2003, 2009, 2011).
No decorrer da análise e elaboração desta pesquisa surgiram algumas questões que podem instigar o desenvolvimento de novas investigações inerentes ao ensino de Limite em cursos de Engenharia, visando contribuir para o ensino da Matemática no Ensino Superior. Um primeiro questionamento seria: Será que é importante explorar diversas listas de atividades envolvendo limites cujo foco é o tratamento algébrico nas aulas de Cálculo nos cursos de Engenharia? Isto possibilita a compreensão conceitual de Limite por parte dos discentes? Sugere-se, portanto, que este estudo seja pautado em uma discussão com mais de um professor de Cálculo, bem como nos planos de aula do(s) professor(es) e nos materiais didáticos utilizados (livros, apostilas).
Outra possibilidade de questionamento seria: Em cursos de Engenharia, em que outra disciplina, de Matemática ou específica dos cursos, o conceito de Limite é explorado? E, a partir disto: o conceito de Limite é estruturador, como conceito para o estudo do Cálculo, ou como ferramenta para a formação do engenheiro? Para responder a estas questões sugere-se a realização de discussões com professores de Engenharia, e o acompanhamento das aulas e materiais didáticos utilizados por eles. Esta discussão possibilitaria ao professor de Cálculo repensar sua prática, com o intuito de direcionar e reorganizar os planos quanto ao ensino de Limite.
REFERÊNCIAS
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______. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais dos Cursos de Engenharia. Brasília: CES, 2002. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=
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