Inferências imediatas

Em seu sistema de provas, Aristóteles se valia de três conversões, que são inferências imediatas, isto é, podem ser obtidas através de uma única proposição, podendo ser aplicadas nas seguintes proposições categóricas 44:

a) AaB ╞ BiA Todo homem é mortal ╞ Algum mortal é homem b) AeB ╡╞ BeA Nenhum gato é bípede ╡╞ Nenhum bípede é gato c) AiB ╡╞ BiA Algum homem é mortal ╡╞ Algum mortal é homem Tratam-se das conversões simples (b) e (c) e da conversão por acidente (a). A conversão simples nada mais é que a troca de posição entre os termos sujeito e predicado da proposição, conservando-se a quantidade e a qualidade da proposição inicial. Já a conversão por acidente demanda a troca da quantidade, passando-se de universal para particular, mas também se conserva a qualidade (afirmativa).

Estas conversões foram aceitas por vários séculos, porém a conversão por acidente tem gerado um pouco mais de debate. Acontece que, para que ela funcione, é necessário que o sistema trabalhe apenas com termos gerais que estão por algo subsistente, isto é, que tenham aplicação. Houve a tentativa de atribuir esta condição apenas aos termos que ocupassem a posição de termo sujeito da proposição, porém isto também se revelou insuficiente. Este ponto pode ser bem ilustrado com o trabalho de Sautter, onde o método por dígrafos que Gardner apresentou para a lógica proposicional é adaptado para a silogística. Neste processo, o autor fornece regras para a passagem de proposições categóricas universais para proposições categóricas particulares:

A proposição categórica universal afirmativa é uma regra que permite a passagem da proposição de existência do sujeito X para a proposição de existência de seu predicado Y, ou seja, se há ao menos um X, também há ao menos um Y. (SAUTTER s/d p. 3) 45

A seguir, explica que a diferença substancial entre proposições universais e

44

No capítulo 2 dos Analíticos Anteriores, Aristóteles utiliza letras no lugar de termos gerais. Embora pareça algo trivial nos dias atuais, trata-se de uma inovação da lógica da época. Provavelmente seu uso primário surgiu na geometria, onde se utilizavam letras para representar entidades geométricas, como linhas, pontos etc. (Ver Kneale & Kneale, p. 63)

45

SAUTTER, F. T. Método de Gardner para a Silogística. (Submetido para publicação: Cognitio - PUCSP).

particulares:

As proposições categóricas particulares são muito distintas das universais: elas não são regras para a passagem de uma proposição de existência a outra, mas são proposições de existência. Proposições categóricas universais são ‘hipotéticas’, proposições categóricas particulares são existenciais. A proposição categórica particular afirmativa consiste na proposição de existência de ao menos um X que seja Y [...] 46

Isso significa que proposições particulares, diferentemente das universais, não pressupõe existência, mas sim as asserem. Em virtude da conversão simples, é possível inverter de posição os termos sujeito e os termos predicado de proposições particulares, as quais podem ser alcançadas pela conversão acidental das universais. Portanto, nas proposições universais o termo que figura como sujeito precisa designar ao menos um objeto. Se mantendo esta condição, também é possível obter vários modos silogísticos cujas conclusões são enfraquecidas47:

Barbari (através de Barbara), Celaront (através de Celarent), Cesaro (através de Cesare), e Camestros (através de Camestres). O grande ganho do trabalho de

Sautter está na clara exposição dos pressupostos assumidos pelo sujeito da proposição, nos três tipos de silogismos: com pressupostos, sem pressupostos e nos enfraquecidos.

Murcho (2001, p. 397) distingue entre dois contextos nos quais podemos interpretar as implicações existenciais. Por um lado, na doutrina do quadrado de oposições (vista na seção 1.3) a implicação existencial se mantém apenas para o sujeito, enquanto que na teoria da conversão, o pressuposto tem de ser alargado também para os termos predicados de proposições universais negativas, dado que essas também são passíveis de ser convertidas simplesmente.

Existem várias outras interpretações acerca da pressuposição existencial (cf. Horn, 1989). Entretanto, uma solução usual tem sido interpretar a silogística como uma teoria que dita relações entre classes não vazias, fixando-se que todos os termos utilizados se referem ao menos a um objeto.

Contemporaneamente isso leva a números distintos de silogismos válidos,

46

Idem, Ibidem.

47

Silogismos com pressupostos são silogismos que tem sua validade condicionada ao pressuposto existencial, enquanto silogismos enfraquecidos são aqueles nos quais uma conclusão mais forte poderia ser extraída, como acontece com Barbari, e Barbara.

isto é, 24 quando se considera os pressupostos existenciais e 15 quando se os deixa de lado48. Aristóteles, no entanto, contava apenas 14 modos válidos, sem distinguir os modos com ou sem pressuposto existencial, e sem mencionar a quarta figura.

A tradição também reconhece outras duas operações como inferências imediatas possíveis, a partir das proposições categóricas e fazendo uso de termos negativos ou privativos (como por exemplo, “não branco”) 49

:

1. Obversão: esta operação consiste em utilizar a qualidade oposta e a negação do termo predicado, mantendo se a quantidade. Entretanto, é necessário observar que, embora as proposições mantenham seu valor de verdade, isto é, são equivalentes, elas não partilham da mesma estrutura semântica. As obversões são possíveis nas quatro proposições50:

a. AaE ╡╞ AeĒ Todo homem é mortal ╡╞ Nenhum homem é não mortal b. AeE ╡╞ AaĒ Nenhuma homem é perfeito ╡╞ Todo homem é não

perfeito

c. AiE ╡╞ AoĒ Algum Animal é vertebrado ╡╞ Algum animal não é não vertebrado

d. AoE ╡╞ AiĒ Alguma dedução não é formal ╡╞ Alguma dedução é não

formal

2. Contraposição: trata-se de negar ambos os termos da proposição (isto é, utilizar o termo privativo correspondente), e inverter a sua ordem, de modo que o termo sujeito vire o termo predicado e vice-versa. Entretanto, a contraposição somente é válida em duas proposições:

a. AaE ╡╞ ĒaĀ Todo humano é mortal ╡╞ Todo não mortal é não humano

48

Modos válidos apenas com pressupostos existenciais: Barbari, Celaront (1ª figura); Cesaro,

Camestros (2ª figura); Darapti, Felapton (3ª figura); Bramantip, Fesapo, Camenos (4ª figura). 49

Estas operações são costumeiramente utilizadas por autores da tradição que buscam fazer reduções de modos da primeira figura para os modos BARBARA e CELARENT, também da primeira figura. Entretanto, Aristóteles utilizou termos negativos apenas em algumas poucas provas e, ao que tudo indica, não lhe representavam um interesse em si mesmos. (Ver a seção 2.1.4 para uma explicação mais detalhada sobre termos negativos)

50 _{Aqui utilizo uma variável para termo e uma barra logo acima dela (exemplo: “Ā”), simbolizando a}

negação ou complemento deste termo. Não utilizo as tradicionais marcações “¬” e “~” por estarem mais associadas à negação da lógica proposicional.

b. AoE ╡╞ ĒoĀ Algum homem não é mortal ╡╞ Alguma não mortal não é

não humano

Esse tipo de inferência na verdade pode ser obtido por uma sequência de outras inferências, a saber, pela aplicação de uma obversão seguida de uma conversão simples e outra obversão51. A conversão simples neste processo nos mostra porque não é possível a contraposição em proposições do tipo E e I, dado que estas, depois da primeira operação de obversão, se transformam em proposições que não aceitam conversão simples. Contudo, Murcho (2001, p. 215) sugere que a contraposição em proposições universais negativas se dê através de “contraposição per accidens ou por limitação”, dada a semelhança com a conversão

per accidens no que tange à mudança na quantidade da proposição. Porém a

contraposição de proposições particulares afirmativas também é descartada, uma vez que não asseguram o mesmo valor de verdade das proposições de partida em todos os casos.

Para demonstrar o funcionamento do mecanismo de redução direta, dois modos serão demonstrados aqui, a saber, CAMESTRES, da segunda figura, e

DATISI, da terceira figura.

Eis o argumento dado por Aristóteles para CAMESTRES:

Se M pertencer a todo N, mas a nenhum X, X pertencerá a nenhum N. Pois, se não M pertence a nenhum X, tampouco X pertencerá a qualquer M; mas foi assumido que M pertence a todo X; portanto, X não irá pertencer a nenhum N – surgiu a primeira figura novamente. E dado que a premissa privativa se converte, também N não pertencerá a nenhum X, de modo que serão o mesmo silogismo. 52 (An Ant. A 5, 27a9-12)

Para facilitar a compreensão, desenvolveremos o argumento até chegar em sua conclusão:

1. MaN (premissa 1) 2. XeN (premissa 2)

51

Tomemos, por exemplo, AaE. A aplicação de uma obversão gera AeĒ. Se aplicarmos uma conversão simples, teremos ĒeA, e se aplicarmos novamente uma obversão, teremos ĒaĀ.

52_{“Again, if M belongs to all N and to no X, X will belong to no N. For if M belongs to no X, neither}

does X belong to any M; but it was assumed that M belongs to all X; therefore, X will belong to no N – for the first figure has come about again. And since the privative premiss converts, neither will N belong to any X, so that there will be the same syllogism.”.

3. XeM (conclusão pretendida)

4. NeX (obtido de 2, através da conversão b) 5. MaN (repetição da premissa 1)

6. MeX (obtido de 4 e 5, resultando em CELARENT) 7. XeM (obtido de 6 pela conversão b,) Q.E.D.

É possível notar que no passo 6 dessa prova aparece o modo CELARENT da primeira figura, o que demonstra o quão central é o papel dos modos da primeira figura em suas provas, dado que é desse modo que os elementos ausentes e necessários são encontrados. Vejamos outro caso, a saber, DATISI. Segundo Aristóteles:

Se um dos termos é universal, e o outro particular em relação ao médio, e se ambos são positivos, é necessário que haja silogismo, não importando qual o termo universal. Se R pertence a todo S e P pertença a algum, é necessário que P pertença a algum R. Pois uma vez que a premissa afirmativa é convertível, S pertencerá a algum P, uma vez que R pertença a todo S e S a algum P, R pertencerá a algum P assim P pertencerá a algum R. 53 (An. Ant. A 6, 28b 5-11)

Para facilitar a compreensão, eis a demonstração da redução do modo no nosso sistema:

1. SaR (premissa 1) 2. SiP (premissa 2)

3. PiR (conclusão pretendida)

4. PiS (obtido de 2, através da conversão c)

5. PiR (obtido de 1 e 4, resultando em DARII) provando 3.