Influência no Coeficiente de Sustentação (C L )

Estudos experimentais revelam que o coeficiente hidrodinâmico de sustentação, CL, tem uma notória dependência do número de Reynolds. Dados experimentais para a força de

sustentação, FL, em diferentes valores de Reynolds são mais escassos e menos consistentes que aqueles levantados para a força de arrasto (SARPKAYA, 2010). E há vários motivos para eventuais discrepâncias entre os valores de CL encontrados por diversos autores para uma dada faixa de Reynolds. Dentre eles podemos citar: a influência das condições de contorno do sistema, a turbulência do escoamento incidente, o grau de rigidez dado ao cilindro na montagem experimental, etc.

Visando melhor organizar os resultados de CL de diversos autores, Norberg (NORBERG, 2003) compilou dados experimentais e dados de simulação numérica para o coeficiente de sustentação encontrado para cilindro rígido estacionário (CL0) em função do número de Reynolds. Essa compilação pode ser vista na Figura 3.15. A faixa de Reynolds para esses resultados está entre 47 < Re < 2.105_{, limitando-se, portanto, ao regime subcrítico.} Pode-se concluir da Figura 3.15 que o coeficiente de sustentação para cilindros estacionários sofre influência do número de Reynolds, porém o grau dessa influência é incerto devido à grande disparidade dos resultados.

Figura 3.15 – Coeficiente de sustentação RMS em função do número de Reynolds para cilindros rígidos estacionários (NORBERG, 2003). Adaptado de (SARPKAYA, 2010).

Considerando o caso de VIV para cilindros flexíveis, a relação entre CL e Re torna-se muito mais complexa e de difícil análise. Isso se deve ao fato de CL ser dependente também da velocidade reduzida, VR, e da amplitude de oscilação do cilindro, A/D (GOPALKRISHNAN, 1993). Alguns trabalhos de pesquisa, como de Swithenbank

(SWITHENBANK, VANDIVER, et al., 2008) e de Resvanis (RESVANIS, JHINGRAN, et

al., 2012), foram realizados utilizando dados de vários experimentos com cilindros flexíveis e

cilindros rígidos montados sobre molas livres para vibrar na direção cross-flow e concluíram que o valor de CL tende a aumentar com o aumento do número de Reynolds independentemente de VR e A/D.

3.5.3. Influência na Amplitude Máxima (Amax/D)

A influência do número de Reynolds na amplitude máxima de oscilação (Amax/D) de cilindros sujeitos a VIV é um assunto relativamente atual e de grande relevância. Por muitos anos desenvolveu-se um trabalho de pesquisa focado em obter uma relação entre as máximas amplitudes atingidas por um cilindro rígido livre para vibrar na direção cross-flow e o amortecimento reduzido (m*+Ca)ζ. Pouca atenção foi dada à influência do número de Reynolds no qual os ensaios experimentais eram realizados. A complexidade do arranjo experimental somado a fatores como necessidade de ensaiar uma grande quantidade de casos limitou as pesquisas direcionadas a esse assunto. Mais recentemente, notou-se que o número de Reynolds tem fundamental importância na variação da amplitude de resposta do cilindro. Autores como Klamo (KLAMO, LEONARD e ROSHKO, 2005) e Govardhan & Williamson (GOVARDHAN e WILLIAMSON, 2006) realizaram um notável trabalho de caracterização da influência de Re sobre Amax/D. Neste texto será resumido as descobertas feitas por Govardhan & Williamson nesse assunto.

O aparato experimental utilizado por Govardhan & Williamson consistiu em um cilindro vertical montado sobre molas e livre para vibrar somente na direção cross-flow submetido a ação de uma correnteza uniforme em um canal de água. A concepção mais importante desse aparato experimental é o uso de um mecanismo que introduz um amortecimento estrutural que pode ser regulado com alta precisão e que pode gerar um amortecimento nulo ao sistema. A faixa de Reynolds do experimento foi 500 < Re < 33000. Considerando-se que para a condição de ressonância (lock-in) não haja variação nas frequências naturais e de oscilação do cilindro e nem na velocidade incidente de correnteza de forma a manter VR constante, então pode-se afirmar que a amplitude máxima será função somente do amortecimento reduzido (BEARMAN, 1984). Com o mecanismo de controle de amortecimento do sistema é possível manter (m*+Ca)ζ constante e com isso investigar a variação de Amax/D conforme a variação de Re.

Um resultado importante encontrado por Govardhan & Williamson assim como por Klamo (KLAMO, LEONARD e ROSHKO, 2005) revela que VIV de amplitudes mais altas serão atingidas em sistemas com maiores Re. Essa afirmação é válida para o regime subcrítico de escoamento (300 < Re < 2.105) e somente o regime de “Upper-branch” do lock-in é influenciado por Re. Além da amplitude média aumentar com o aumento de Re, observaram- se grandes flutuações no valor da amplitude em Re maiores. Essas grandes flutuações são explicadas por um salto maior de amplitude entre “Upper” e “Lower-branch”, já que para Re maiores tem-se amplitudes maiores no “Upper-branch”.

O aumento da amplitude máxima atingida em função do aumento de Re pode ser visto na Figura 3.16 para casos em que o amortecimento é nulo e, portanto, (m*+Ca)ζ = 0.

Figura 3.16 – Amplitudes máximas observadas em vários experimentos com amortecimento reduzido nulo em função de Re. Nota-se uma tendência linear entre a amplitude e log10(Re). Adaptado de

(GOVARDHAN e WILLIAMSON, 2006).

Os dados de amplitude observados na Figura 3.16 são de vários autores cujos os experimentos mantiveram um amortecimento reduzido nulo ou muito próximo de zero. Pode- se perceber desses dados uma tendência linear entre Amax/D e o log10(Re) no intervalo 500 < Re < 33000, compreendido no regime subcrítico. De fato a amplitude máxima atingida pode ser bem representada pela função de log10(Re) vista na equação 3.29, onde ζ* = (m*+Ca)ζ.

𝐴𝐴𝐿𝐿𝑎𝑎𝑚𝑚

𝑓𝑓 (𝜁𝜁∗ = 0) = log (0,41𝑅𝑅𝑅𝑅0,36) 3.29 Conforme estabelecido por Govardhan & Williamson, a equação 3.29 representa uma boa aproximação para a amplitude máxima atingida por um cilindro rígido levemente amortecido vibrando na direção cross-flow na faixa de Re < 2.105_.

Para um cilindro flexível vibrando na direção cross-flow, o aumento de Amax/D com o aumento de Re segue a mesma tendência que a observada para experimentos com cilindros rígidos suportados por molas (RESVANIS, JHINGRAN, et al., 2012).

Apesar da grande influência de Re na amplitude máxima para sistemas de mesmo amortecimento reduzido, ao normalizar os resultados de amplitudes máximas pela amplitude máxima quando ζ* = 0 (equação 3.29) obtemos uma independência de Re. Isso pode ser visto na Figura 3.17. Na Figura 3.17(a) dados de amplitudes máximas obtidas em vários experimentos apresentam grandes discrepâncias para um mesmo (m*+Ca)ζ devido à influência de Re. Já na Figura 3.17(b) ao normalizar as amplitudes máximas pela amplitude dada pela equação 3.29 em função de Re, as discrepâncias diminuem bastante.

A amplitude normalizada, também chamada de amplitude modificada ((Amax/D)M), pode ser aproximada por uma função de (m*+Ca)ζ, conforme visto na Figura 3.17(b) e reescrita na equação 3.30. �𝐴𝐴𝐿𝐿𝑎𝑎𝑚𝑚_𝑓𝑓 � 𝑀𝑀= 𝐴𝐴𝐿𝐿𝑎𝑎𝑚𝑚/𝑓𝑓 𝐴𝐴𝐿𝐿𝑎𝑎𝑚𝑚/𝑓𝑓(𝜁𝜁∗= 0) = 1 − 1,12𝜁𝜁 ∗_{+ 0,30𝜁𝜁}∗2 _3.30

Substituindo a equação 3.29 na equação 3.30 temos a relação (equação 3.31) encontrada por Govardhan & Williamson para a amplitude máxima esperada em função do amortecimento reduzido e do número de Reynolds. Os autores sugerem que essa relação seja usada para cilindros livres para vibrar na direção cross-flow com razão de massa menor que 1,2 no intervalo 500 < Re < 33000, podendo também ser utilizada com baixo erro para todo regime subcrítico (300 < Re < 2.105). Além disso, A/D deve ser maior que 0,1, mas esse requisito de amplitude é facilmente ultrapassado em sistemas de baixo amortecimento quando em lock-in.

𝐴𝐴𝐿𝐿𝑎𝑎𝑚𝑚

𝑓𝑓 = (1 − 1,12𝜁𝜁∗+ 0,30𝜁𝜁∗2)log (0,41𝑅𝑅𝑅𝑅0,36) 3.31

Figura 3.17 – (a) Amplitudes máximas observadas em vários experimentos em função do amortecimento reduzido. (b) Amplitudes máximas normalizadas conforme valor de Re (equação 3.29)

em função do amortecimento reduzido. Nota-se a influência de Re de (a) para (b). Adaptado de (GOVARDHAN e WILLIAMSON, 2006).

Resultados do experimento de Govardhan & Williamson ainda sugerem que Amax/D = 0,6 divide os regimes de resposta de um cilindro suportado por molas livre para vibrar na direção cross-flow da seguinte forma:

 Se Amax/D > 0,6 e Re > 500 haverá a presença de “Initial”, “Lower” e “Upper-

branch” na resposta, pois essa condição é característica de (m*+Ca)ζ mais baixos (olhar esquema da Figura 3.12).

 Se Amax/D < 0,6 e Re > 500 haverá a presença somente de “Initial” e “Lower-

branch” na resposta, pois essa condição é característica de (m*+Ca)ζ mais altos (olhar esquema da Figura 3.12).

 Se Re > 500 haverá a presença somente de “Initial” e “Lower-branch” na resposta independente de (m*+Ca)ζ (olhar esquema da Figura 3.12).