A medida chamada de Injusti¸ca n˜ao quantifica a ineficiˆencia de um equil´ıbrio em fun¸c˜ao do custo social, ou seja, o quanto esse equil´ıbrio se distancia do mais ben´efico `a rede ou aos jogadores de maneira geral. Ao inv´es, essa medida nos diz o quanto um determinado fluxo, ou um conjunto de fluxos vi´aveis para uma instˆancia, pode beneficiar alguns jogadores em detrimento de outros. Essa medida foi definida por Roughgarden [89] e Correa et al. [23] para jogos de roteamento n˜ao-atˆomicos. Apesar das duas defini¸c˜oes serem ligeiramente distintas, elas compartilham da mesma ideia central.
Roughgarden [89] definiu a Injusti¸ca da seguinte forma.
96 Apˆendice C. Outras M´etricas de Ineficiˆencia
Defini¸c˜ao C.2.1 (Injusti¸ca de um equil´ıbrio de Wardrop). Sejam FEW o conjunto dos fluxos que s˜ao um equil´ıbrio de Wardrop para a instˆancia (G, r, l) e fOPTum fluxo ´otimo para essa instˆancia. Ent˜ao, a
Injusti¸ca u(G, r, l) dessa instˆancia ´e dada por
u(G, r, l) := sup fEW∈FEW lP1(f OPT) lP2(f EW) : P1, P2∈ Pi, f OPT P1 > 0, f EW P2 > 0, para todo i ∈ I . (C.3)
Lembre que para o caso n˜ao-atˆomico o conjunto I representa os pares origem-destino. Essa m´etrica nos diz o qu˜ao prejudicial um fluxo ´otimo pode ser para alguns dos jogadores, comparando o custo individual que eles tem num fluxo ´otimo fOPT, por exemplo, enviando seu fluxo pelo caminho P
1, com
o que eles teriam num equil´ıbrio de Wardrop fEW em que escolhessem o caminho P
2. Para ilustrar,
considere o Exemplo 3.2.9. Nele, o equil´ıbrio de Wardrop fEW induz custo individual 1 para todos os jogadores. Por´em, o fluxo ´otimo fOPT envia (1 − ) pelo arco e
2, onde → 0, resultando em custo
individual (1 − )d para todos os jogadores enviando seu fluxo pelo arco e
2. Quando d tende ao infinito,
esse custo tende a 0, logo, o arco que fornece a maior raz˜ao ´e o arco e1, onde h´a uma quantidade de
jogadores enfrentando custo individual 1. Assim, le1(f
OPT e1 )/le2(f
EW
e2 ) = 1 e conclui-se que o fluxo ´otimo
n˜ao prejudica o desempenho dos jogadores.
Correa et al. [23] definiram a Injusti¸ca da seguinte forma.
Defini¸c˜ao C.2.2 (Injusti¸ca de um fluxo vi´avel). Seja f um fluxo vi´avel para a instˆancia (G, r, l). Ent˜ao, a Injusti¸ca U (f ) desse fluxo ´e dada por
U (f ) := max lP1(f )
lP2(f )
: P1, P2∈ Pi, fP1 > 0, fP2 > 0, para todo i ∈ I
(C.4)
Essa m´etrica nos diz o quanto um fluxo vi´avel f , podendo este ser um fluxo ´otimo ou um equil´ıbrio de Wardrop, beneficia uns jogadores em detrimento de outros. Por exemplo, os jogadores enviando seu fluxo pelo caminho P1 podem ter que enfrentar um custo individual muito maior que aqueles enviando
seu fluxo pelo caminho P2. Para ilustrar, considere o Exemplo 3.2.8. Nele, o fluxo ´otimo fOPT induz
custo individual 1 para os jogadores enviando seu fluxo pelo arco e1e custo individual 12 para os jogadores
enviando seu fluxo pelo arco e2. Logo, U (fOPT) = 1/12 = 2, ou seja, os jogadores utilizando o arco e1
Apˆendice D
Algoritmos e Complexidade
Nesse apˆendice, apresentamos um breve resumo da an´alise de complexidade dos problemas de calcular um equil´ıbrio e um fluxo ´otimo, al´em dos principais algoritmos desenvolvidos.
D.1
Jogos n˜ao-atˆomicos
Nessa se¸c˜ao, apresentamos alguns algoritmos propostos na literatura para o c´alculo do equil´ıbrio de Wardrop. Esses algoritmos se valem da convexidade do problema (4.8), utilizando-se de m´etodos iterativos para se obter um m´ınimo global para a fun¸c˜ao objetivo (4.7). Esses algoritmos n˜ao calculam um equil´ıbrio de Wardrop exato, visto que pode ser computacionalmente custoso fazˆe-lo. Em vez disso, define-se um n´ıvel de precis˜ao desejado para a solu¸c˜ao devolvida, isto ´e, o quanto ela se aproxima de um equil´ıbrio de Wardrop exato. O n´ıvel de precis˜ao de uma solu¸c˜ao ´e determinado por uma m´etrica denominada lacuna relativa (relative gap), de modo que quanto menor ´e a lacuna relativa, maior ´e a precis˜ao da solu¸c˜ao. Assim, uma das formas de se avaliar a eficiˆencia de um algoritmo ´e pela verifica¸c˜ao da menor lacuna relativa aceit´avel para o c´alculo de uma solu¸c˜ao em tempo vi´avel.
Um dos mais antigos algoritmos ´e o Frank-Wolfe, proposto por Frank e Wolfe [44]. Esse algoritmo pode demonstrar um desempenho pobre em termos de convergˆencia, em fun¸c˜ao de sua tendˆencia ao comportamento zig-zag em torno de um equil´ıbrio de Wardrop. Apesar disso, ele ´e considerado sufici- entemente bom para uso pr´atico, sendo, portanto, utilizado na maioria das implementa¸c˜oes comerciais (Correa e Stier-Moses [26]). Para tentar solucionar o problema de lentid˜ao na convergˆencia, outros algorit- mos foram propostos. Ao leitor interessado em se aprofundar na pesquisa desses algoritmos, listamo-los dos mais antigos para os mais atuais, sendo que os mais atuais apresentam, segundo os seus autores, desempenhos melhores, ou seja, s˜ao mais r´apidos e capazes de devolver uma solu¸c˜ao com um n´ıvel de precis˜ao maior (uma lacuna relativa menor). Bar-Gera [9] apresentou o algoritmo OBA (Origin- based Algorithm); Dial [34] apresentou o algoritmo B; Gentile [50] apresentou o algoritmo LUCE (Linear User Cost Equilibrium); e Bar-Gera [10] apresentou o algoritmo TAPAS (Traffic Assignment by Paired Alternative Segments). Para todos eles foram feitas an´alises experimentais, sendo que os algoritmos mais usados para compara¸c˜ao foram o Frank-Wolfe e o OBA.
Com rela¸c˜ao `a complexidade, Beckmann et al. [11] demonstraram que o problema de calcular um equil´ıbrio de Wardrop tem tempo polinomial. Ficher, R¨acke e V¨ocking [40] apresentaram um algoritmo distribu´ıdo que ´e polinomial na inclina¸c˜ao relativa de uma classe de fun¸c˜oes, onde a inclina¸c˜ao relativa γ de uma fun¸c˜ao diferenci´avel l ´e tal que l0(x) ≤ γ · l(x)/x, e γ ´e uma inclina¸c˜ao relativa para a classe de fun¸c˜oes L se ´e uma inclina¸c˜ao relativa para todo l ∈ L. Ent˜ao, eles provaram que a inclina¸c˜ao relativa ´e justamente o parˆametro que determina a velocidade de convergˆencia.
98 Apˆendice D. Algoritmos e Complexidade