Integrabilidade

As equa¸c˜oes de HJ e as caracter´ısticas, bem como suas solu¸c˜oes, desenham o quadro completo. A solu¸c˜ao do conjunto de EDP (2.51) ´e, se ´unica, uma fun¸c˜ao dependente de parˆametros arbitr´arios que representa uma fam´ılia de superf´ıcies. J´a as solu¸c˜oes das EDT (2.82) definem toda uma fam´ılia de curvas dependentes das condi¸c˜oes iniciais, que chamamos

10_{Quando usarmos o formalismo simpl´etico, os ´ındices das vari´aveis dobram de valor, ou seja, {a, b, c} =}

por uma congruˆencia de curvas. As solu¸c˜oes est˜ao ligadas pelo fato de toda curva da con- gruˆencia ser normal a todo vetor tangente a qualquer superf´ıcie da fam´ılia em qualquer ponto. Queremos que a solu¸c˜ao S exista para um dado campo vetorial definido pelas EDT e procu- raremos agora pela condi¸c˜oes que nos garantem esse quadro. A quest˜ao fundamental ´e, dada uma congruˆencia gerada por um campo vetorial conhecido, ´e poss´ıvel encontrar pelo menos uma fam´ılia de superf´ıcies que lhe seja ortogonal?

Um exemplo em R3pode ser ilustrativo. Dada uma curva C, assumiremos que existe uma fam´ılia de superf´ıcies S(x) = σ cortada pela curva e que esta seja transversa `a fam´ılia. Dado um ponto x(τ0) ≡ x0 sobre a trajet´oria, podemos definir um plano, Γ0, gerado a partir de dois

vetores linearmente independentes Xz= χiz∂i. Sobre este mesmo ponto passa uma superf´ıcie

σ0 de modo que o plano Γ0 ´e tangente a esta superf´ıcie em x0. Neste caso {i} = {1, 2, 3} e

{z} = {1, 2}. Esses vetores devem ser ortogonais a um vetor n0 tangente a C em x0, ou seja,

n0· Xz = 0 . (2.84)

Contudo, queremos n˜ao apenas que um plano seja ortogonal a C, mas toda uma fam´ılia de planos Γ. Neste caso n0 ´e um membro de um campo vetorial n e devemos ter que em

qualquer ponto sobre a curva a constru¸c˜ao acima seja v´alida. Chamaremos esta fam´ılia de planos por uma distribui¸c˜ao11 _{Γ. Neste caso, o campo n deve obedecer `a condi¸c˜ao}

n · ∇ × n = 0, (2.85)

que ´e a condi¸c˜ao de integrabilidade de Euler12. Esta condi¸c˜ao ´e necess´aria para garantir a existˆencia de uma fam´ılia de superf´ıcies S(x) = σ que seja ortogonal a C.

Por exemplo, consideremos o campo vetorial dado por

n = x2∂1− x1∂2+ ∂3 . (2.86)

Para este vetor, ∇ × n = −2∂3 e n · ∇ × n = −2, o que indica que n˜ao h´a uma fam´ılia

de superf´ıcies que obede¸ca (2.85). Por outro lado, se o vetor tiver componentes constantes, o rotacional sempre se anula e, portanto, a condi¸c˜ao (2.85) ´e sempre satisfeita. Podemos mostrar que se a trajet´oria for uma reta h´a sempre uma fam´ılia de superf´ıcies em R3 que lhe seja normal.

Temos tamb´em o covetor dual a n, que chamaremos de p. No exemplo acima ele ´e dado por

p = x2dx1− x1dx2+ dx3 .

Caso (2.85) n˜ao seja satisfeita, n˜ao ser´a poss´ıvel encontrar a partir da trajet´oria a distribui¸c˜ao Γ ortogonal a C em todo ponto. N˜ao h´a, por conseguinte, um conjunto completo de campos vetoriais que satisfa¸cam as equa¸c˜oes

p(Xz) = piχiz = 0. (2.87)

11

Ver [8] p. 166.

12

Figura 2.2: A trajet´oria C, uma superf´ıcie σ0 e o respectivo plano tangente Γ0. O vetor

tangente a C ´e ortogonal aos vetores de base que geram a distribui¸c˜ao. A condi¸c˜ao de integrabilidade ´e satisfeita se a figura for estendida a toda fam´ılia σ e a toda congruˆencia de curvas K, do qual C ´e membro.

H´a tamb´em a fam´ılia σ, que sendo transversal a C obedece `a condi¸c˜ao p = dS. Assim, temos de (2.87) o conjunto de EDP

Φz ≡ χiz∂iS = 0, (2.88)

que s˜ao as condi¸c˜oes para que os vetores Xz sejam tangentes `a fam´ılia σ. A condi¸c˜ao de

integrabilidade de Euler ´e necess´aria e suficiente para que a base Xz possa ser completa.

Visto que a partir do plano Γ0podemos encontrar qualquer outro membro da distribui¸c˜ao

a partir das equa¸c˜oes (2.87), podemos tratar os vetores Xz como bases da distribui¸c˜ao Γ. De-

sejamos agora que essas condi¸c˜oes de integrabilidade sejam estendidas para toda a congruˆencia K, do qual C ´e membro. Para tanto, os vetores base tangentes a σ tornam-se tamb´em campos vetoriais e estes adquirem a qualidade de geradores de curvas no espa¸co. As curvas geradas pela base da distribui¸c˜ao s˜ao definidas tamb´em por parˆametros, tantos quantos forem as equa¸c˜oes (2.88), no nosso caso consistindo em duas equa¸c˜oes. As caracter´ısticas do sistema (2.88) s˜ao dadas por

dxi = χi_zduz, (2.89)

em que u1 e u2 s˜ao os parˆametros mencionados. Se as caracter´ısticas consistirem em um

base da distribui¸c˜ao permanecem sempre sobre uma superf´ıcie de σ. Isto tamb´em significa que a derivada de Lie LXy(Xz) ´e um vetor que permanece em σ0. Assim, este sistema obedece

`

a condi¸c˜ao

[Xy, Xz] ⊂ Γ. (2.90)

Portanto o comutador de Lie entre dois vetores da distribui¸c˜ao ´e tamb´em um vetor perten- cente a Γ. Dizemos que este sistema est´a em involu¸c˜ao. Assim, a condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que as caracter´ısticas consistam em um sistema completo ´e a involu¸c˜ao da distribui¸c˜ao, e esta ´e tamb´em a condi¸c˜ao para que a congruˆencia K e a fam´ılia σ sejam transversais. Esta condi¸c˜ao ´e conhecida como o Teorema de Frobenius13.

A estens˜ao para sistemas dinˆamicos em espa¸cos de ordem geral ´e imediata. No formalismo de HJ, as equa¸c˜oes (2.88):

χi_z∂iS = 0 (2.91)

s˜ao os v´ınculos da teoria no espa¸co de fase, e estas est˜ao ligadas ao conjunto de caracter´ısticas

dξa= χa_zdqz. (2.92)

O ´ındice z adquire ent˜ao o conjunto de valores do n´umero de v´ınculos existentes. A integra- bilidade exige que o comutador de Lie dos campos vetoriais presentes em (2.92) obede¸cam `a equa¸c˜ao

[Xx, Xy] S = CxyzXz(S) . (2.93)

Ou seja, esses campos devem obedecer a uma ´algebra de Lie.

Estamos interessados no caso em que χa_z = {ξa, Φz}, e ent˜ao podemos escrever

Xz(S) = {ξa, Φz}∂aS = {S, Φz}, (2.94)

em que usamos (2.83). Assim,

[Xx, Xy] S = XxXy(S) − XyXx(S) = Xx{S, Φy} − Xy{S, Φx} = {{S, Φy}, Φx} − {{S, Φx}, Φy} = {{S, Φ_y}, Φ_x} + {{Φ_y, S}, Φx} + {{Φx, Φy}, S} , ou seja, [Xx, Xy] S = {{Φx, Φy}, S} . (2.95)

As condi¸c˜oes de integrabilidade vˆem a ser

{{Φ_x, Φy}, S} = CxyzXz(S) = Cxyz{S, Φz} = − {CxyzΦz, S}, (2.96)

ou,

{Φ_x, Φy} = − CxyzΦz= 0. (2.97)

Tomando a diferencial dos v´ınculos e usando as equa¸c˜oes (2.82),

dΦx= {Φx, Φy}dqy. (2.98)

Para que o sistema de equa¸c˜oes (2.82) seja completamente integr´avel devemos exigir, por fim, que

dΦx= 0. (2.99)

Portanto, encontramos as condi¸c˜oes suficientes para que o sistema de EDP de HJ seja integr´avel completamente e, por conseq¨uˆencia, essas s˜ao as mesmas condi¸c˜oes que garantem a existˆencia de uma fam´ılia de superf´ıcies transversa `a trajet´oria do sistema. Vimos da compara¸c˜ao com o caso em R3 que se justifica o fato de as coordenadas ligadas `a parte n˜ao invers´ıvel da Hessiana serem utilizadas como parˆametros. O pr´oximo passo ´e exigir a validade de (2.99) para todos os v´ınculos e verificar as conseq¨uˆencias dessa imposi¸c˜ao na dinˆamica em T∗Qm.