4.4 Integrabilidade Uniforme e Martingais Interg´ aveis
Teorema de Lebesgue sobre convergˆencia dominada (Shiriayev). Sejamη, ξ, ξ1, ξ2, . . . vari´aveis aleat´orias tais que |ξn| ≤ η, IE[η]<∞ e ξn →ξ quase certamente.
Ent˜ao IE[|xi|]<∞, IE[ξn]→IE[ξ] e IE(|ξn−ξ|)→0 quando n → ∞.
Exerc´ıcio* 12. Tudo isto indica que ´e poss´ıvel que ξn → ξ quase cetamente, que IE(|ξn−ξ|) → 0 quando n → ∞, mas que ao mesmo tempo IE[ξ] = +∞. D´e exemplo de (ξn) e ξ que satisfazem estas condi¸c˜oes.
Exerc´ıcio* 13. Prove o Teorema de Lebesgue sobre convergˆencia dominada (pode usar o livro de Shiriayev para ajuda). Na demostra¸c˜ao, preste a aten¸c˜ao ao uso do Lema de Fatou, pois as condi¸c˜oes “|ξn| ≤ η e IE[η] < ∞” deste lema podem ser substituidas por condi¸c˜ao de integrabilidade uniforme nos resultados a seguir.
Exerc´ıcio* 14. Veja a defini¸c˜ao da intergabilidade uniforme (no Shiriayev ou no Williams) e prove que se uma sequencia de vari´aveis aleat´orias (ξn) ´e tal que|ξn| ≤η eIE[η]<∞para alguma vari´avel aleat´oria η, ent˜ao (ξn) ´e uniformamente integr´avel.
Isto garante que o Lema de Fatou ´e uma consequencia do seguinte resultado:
Teorema 4 Se¸c˜ao 6 do Cap´ıtulo II do Shiriayev. Seja(ξn)uma fam´y lia de vari´aveis aleat´orias uniformamente integr´avel.
(a) Ent˜ao
IE(lim infξn)≤lim infIE(ξn)≤lim supIE(ξn)≤IE(lim supξn). (b) Se ainda ξn →ξ quase certamente, ent˜sao ξ ´e integr´avel e IE[ξn]→IE[ξ]
e IE(|ξn−ξ|)→0.
Exerc´ıcio* 15. Prove o teorema do exerc´ıcio anterior (pode usar o livro de Shiriayev para ajuda).
Exerc´ıcio* 16. Prove o seguinte teorema formulado no livro de Shiriayev (pode usar o livro de Shiriayev para ajuda).
Teorema 5 Se¸c˜ao 6 do Cap´ıtulo II do Shiriayev. Seja(ξn)uma fam´y lia de vari´aveis aleat´orias tais que 0 ≤ξn e IE[ξn]< ∞ para todo n. Ent˜ao IE[ξn] →IE[ξ] e IE[ξ]<∞ se e somente se a fam´ılia (ξn) ´e uniformamente integr´avel.
Exerc´ıcio* 17. Shiriayev mensiona que se (ξn) ´e uniformamente integr´avel ent˜ao obrigatoriamente supnIE[|ξn|] < ∞. Prove este fato. Ser´a que este fato assegura que seξn →ξ quase certamente para uma seguˆencia (ξn) uniformamente integr´avel, ent˜ao ´e imposs´ıvel que IE[|ξ|] =∞?
Exerc´ıcio* 18. Prove o seguinte lema formulado no livro de Shiriayev (pode usar o livro de Shiriayev para ajuda).
Lema 2 Se¸c˜ao 6 do Cap´ıtulo II do Shiriayev. Para que (ξn) seja uma fam´y lia de vari´aveis aleat´orias uniformamente integr´avel ´e necessario e suficiente que (IE[|ξn|]) foram uniformamente limitados (quer dizer, que vale supnIE[|ξn|]<
∞) e que supn(IE{|ξn|1IA}) → 0 conforme IP (A) → 0 (esta condi¸c˜ao leva o nome “continuidade uniforme).
Agora passamos da teoria geral de intergrabilidade uniforme `a sua aplica¸c˜ao em Teoria de Martingais. A partir de agora, sigo o livro de Williams.
Exerc´ıcio* 19. Neste exerc´ıcio vocˆe provar´a o Teorema sobre propriedades gen´ericas de martingais uniformamente integr´aveis que est´a formulado na Se¸c˜ao 14.1 do livro de Williams.
Reformularei o teorema para que seu conte´udo seja mais f´acil a ser discutido e compreendido:
Teorema. Suponha que M ´e martingal uniformamente limitado. Ent˜ao:
(a)
M converge quase certamente, (4.2) quer dizer limn→∞Mn(ω) existe para quase cada ω∈Ω;
(b) definindo M∞ seguindo `a equa¸c˜ao M∞(ω) := limn→∞Mn(ω) para cada ω em qual este limite existe, e acrescentando que M∞(ω) = 0 para cada ω onde o limite n˜ao existe (´e ´obvio que no conjunto onde o limite n˜ao existe poderiamos colocar valores a nosso gosto), temos que
M∞ ∈ L1, ou, em outra nota¸c˜ao: IE
|M∞|
<∞; (4.3) (c) aproveitando-se da nota¸c˜ao introduzida no item anterior,
Mn →M∞ em L1, ou, em outra nota¸c˜ao: IE
Mn−M∞
→0, quando n→ ∞.
(4.4) (d) aproveitando-se da nota¸c˜ao introduzida no item (b), tem-s e aseguinte
rela¸c˜ao:
Mn=IE M∞
Fn
. (4.5)
(a) Demonstre a validade da afirma¸c˜ao (a) do teorema. ´E ´obvio que a demostra¸c˜ao deve baseiar-se no Teorema de Doob sobre Convergˆencia de Martingais. J´a que o fato de queM ´e martingal est´a no enunciado do teorema que queremos provar, ent˜ao o que falta para poder usar o Teorema de Doob ´e o fato de que este martingal est´a limitado em L1, quer dizer, que supn{IE[|Mn|]}< ∞. Vocˆe vai conseguir este fato da propriedade de integrabilidade uniforme de M. Para tal, ´e s´o achar o teorema apropreado da nossa discuss˜ao da integrabilidade uniforme.
(b) Demonstre a validade da afirma¸c˜ao (b) do teorema. Vou colocar o problema a ser demonstrado em termos mias precisos. Vocˆe tem uma sequˆencia (Mn) uni-formamente integr´avel de vari´aveis aleat´orias . Vocˆe tem uma vari´avel aleat´oria M− ∞sobre a qual sabe-se (do item (a)) que Mnq.c.→ M∞. Vocˆe precisa provar que IE[|M∞|]<∞. Note que nesta coloca¸c˜ao, n˜ao ´e precisa usar que (Mn) ´e martingal.
A solu¸c˜ao vem de um dos teoremas da nossa discuss˜ao da integrabilidade uniforme.
(c) Demonstre a validade da afirma¸c˜ao (c) do teorema. Vou colocar o problema a ser demonstrado em termos mias precisos. Vocˆe tem uma sequˆencia (Mn) uni-formamente integr´avel de vari´aveis aleat´orias . Vocˆe tem uma vari´avel aleat´oria M − ∞ sobre a qual sabe-se (do item (a)) que Mn q.c.→ M∞. Vocˆe precisa provar que IE[|Mn−M∞|] →0. Note que nesta coloca¸c˜ao, n˜ao ´e precisa usar que (Mn) ´e
martingal. A solu¸c˜ao vem de um dos teoremas da nossa discuss˜ao da integrabilidade uniforme.
(d)Demonstre a validade da afirma¸c˜ao (d) do teorema. Note a diferen¸ca do ambi-ente deste item dos ambinetes dos itens (b) e (c): aqui vocˆe vai ter que usar o fato de que (Mn) ´e um martingal.
Mas antes de mais nada, surge para vocˆe a seguinte quest˜ao: “Qual ´e o caminho para provar uma vari´avel aleat´oria ´e identicamente igual a uma outra (ao menos no conjunto de medida zero)?” Talvez, existam muitas abordagem – as quais des-conhe¸co, pra dizer a verdade, – mas a mais cl´assica, a ´unica que conhe¸co e a que estar´a usada aqu´ı vem da seguinte propriedade cuja verdedude vocˆe tem que provar:
Sub-exerc´ıcio* 19(a). Suponha que duas vari´aveis aleat´orias X e Y definidas no mesmo espa¸co de probabilidades (Ω, IP,F) s˜aoG-mensur´aveis para algumaσ-´algebra G ⊆ F. Suponha que
IE
X·1IG
=IE
Y ·1IG
, para todoG∈ G. (4.6)
Ent˜ao X = Y quase certamente. Confesso que n˜ao conhe¸co a demostra¸c˜ao deste fato.
Em virtude do resultado apresentado no Sub-exc´ıcio anterior, para provar o item (d) ´e precisa provar que
IE
Mn1IF
=IE IE
M∞
Fn
1IF
, para todoF ∈ Fn. (4.7) Antes de abordar o problema, note que a defini¸c˜ao de esperan¸ca condicional garante que o lado direito da iguladade (4.7), que desejamos provar, ´e igual aIE
M∞1IF
.Isto alivia nosso problema: em vez de (4.7) temos que provar que
IE
Mn1IF
=IE
M∞1IF
, para todoF ∈ Fn. (4.8) Seja ent˜aonfixo. Fixe tambem arbitrareamenteF deFn. Vocˆe precisa provar (4.8).
Para tal, tomeMr com r > ne prove que (veja o desenho abaixo)
IE
Mn1IF
=IE
Mr1IF
para qualquer r > n
usando o fato de que (M) ´e martingal, e
IE
Mr1IF
→IE
M∞1IF
= quando r→ ∞ usando a convergˆencia em L1, quer dizer, que IE|Mr−M∞| →0.
Exerc´ıcio* 20. J´a que Mn = IE M∞
Fn
para martingais uniformamente inte-graveis conforme Ex. 19 nos assegura, ent˜ao surge-se a pergunta: “Por que que em
geral n˜ao se pode afirmar que Mn =IE M∞
Fn
para os casos quando M∞ existe como o limite pontual (quer dizer, em cada ω) do martingla M?”
(a) Responda na pergunta acima. D´e exemplo de M para o qual M∞ existe mas Mn6=IE
M∞
Fn
.
(b) Uma quest˜ao relacionada a de acima ´e provar que Mn = IE MN
Fn
no caso quando M0, M1, . . . , MN ´e um martingale de tempo finito (N <∞). Vocˆe deve ter feito este exerc´ıcio numa de minhas primeiras listas. Se sim, refresque a mem´oria.
Sen˜ao, corra para faz´e-lo antes que eu saba do sinistro e fique bravo.
Exerc´ıcio* 21. Nosso presente exerc´ıcio surge, assim como o exerc´ıcio anterior, da an´alise do teorema provado no Ex. 19. Agora a pergunta ´e: “Se o martingal M foi construido a partir de uma vari´avel aleat´oria ξ, no sentido de que Mn:=IE
ξ Fn
, onde {Fn}∞n=0 ´e uma filtra¸c˜ao em F, ser´a que o limite de Mn “recupera” ξ, isto ´e, ser´a que M∞ =ξ?” O Teorema Upward de L´evy (se¸c˜ao 14.2 do livro de Williams) responde nesta quest˜ao. Eis a resposta: M∞=IE
ξ F∞
e n˜ao M∞=IE ξ
como vocˆe poderia ter esperado! A explica¸c˜ao a isto foi dada na aula por intermˆedio do desenho que est´a repetido abaixo:
(a) Veja a demonstra¸c˜ao do L´evy’s Upward Theorem no livro de Williams. Preste a aten¸c˜ao `a frase: “without loss of generality we may (and do) assume thatξ ≥0”.
Isto desencadeia minha primeira pergunta: como prosseguir no caso geral quandoξ assume valores tanto negativos quanto positivos?
(b) Siga a demonstra¸c˜ao do L´evy’s Upward Theorem no livro de Williams e veja que seu objetivo ´e provar a igualdade entre duas vari´aveis aleat´orias . Isto nos leva de volta `a Ex. 19(d) no qual tambem precisavamos provar este tipo de igualdade.
Porque as abordagens s˜ao diferentes? Me parece que a abordagem da demonstra¸c˜ao do L´evy’s Upward Theorem cont´em aquilo que era uma das d´uvidas no Ex. 19(d), especificamente falando, a demonstra¸c˜ao cont´em o argumento que a igualdadeIE
X· 1IG
= IE
Y ·1IG
que ocorre para todo G ∈ G em duas vari´aveis aleat´orias X e Y que s˜ao G-mensur´avel implica no que X =Y quase certamente. Ser´a que ´e isso mesmo?
Exerc´ıcio* 22. H´a uma pequena bagun¸ca na demostra¸c˜ao da Lei 0–1 do Kol-mogorov da Se¸c˜ao 14.3 do livro de Williams. Recorde que (da defini¸c˜ao dada no Cap´ıtulo 10 do ambiente no qual estudamos martingias) queF∞surge-se da filtra¸c˜ao {Fn}∞n=0 pela seguinte f´ormula: F∞:=σ(∪∞n=0Fn). Esta σ-´algebraF∞ “participa”
ativamente no resultado do L´evy’s Upward Theorem pois o limite de martingal ´e expresso com a esperan¸ca condicional em rela¸c˜ao desta σ-´algebra. Um dos fatos nos quais bas´eia-se a demostra¸c˜ao da Lei 0–1 do Kolmogorov ´e que η =IE[η
F∞].
Para tal, η deve ser F∞ mensur´avel. O que garante esta mensurabilidade? Analise a demonstra¸c˜ao e ache a resposta nesta pergunta.
Exerc´ıcio* 23. Compare os teoremas Upward and Downward de L´evy. Me parece que as suposi¸c˜oes, as conclus˜oes e as demostra¸c˜oes das duas s˜ao muito parecidas entre si. Falando das demostra¸c˜oes, ambas bas´eiam-se em dois fatos: Primeiro, que se pegarmos uma vari´avel aleat´oria ξ com IE[|ξ|]<∞e construirmos uma cole¸c˜ao de vari´aveis aleat´orias (Mn) via Mn := IE[ξ
Fn], onde (Fn) ´e uma cole¸c˜ao de quaisquerσ-´algebras (com a ´unica restri¸c˜ao de cada uma ´e⊆ F ondeF ´e do espa¸co de probabilidades no qual ξ est´a definida), ent˜ao tal cole¸c˜ao ser´a uniformamente integr´avel. O segundo fato ´e o Forward Convergence Theorem de Doob. S´o que acontece que este teorema aplica-se para a demonstra¸c˜ao do Upward Theorem de L´evy. Para o Dwonward Theorem, ´e precisa reformular o teorma de Doob e prov´a-lo novamente pois o Downward martingal de L´evy “martinga-se” na dire¸c˜ao contr´aria
`
aquela para qual foi provado o Forward Convergence Theorem de Doob. Fa¸ca isto.
Em outras palavras, complete a demonstra¸c˜ao do Teorema Downward de L´evy.
Exerc´ıcio* 24. Ao comparar os teoremas Upward and Downward de L´evy percebe-se a diferen¸ca berrante: G∞ = ∩nG−n no teorema downward, enquanto que F∞ = σ(∪nFn) no teorema upward. Quer dizer, os “objetos” que desempenham os papeis iguais em dois teoremas (no sentido de que condiciona-se por G∞ e por cF∞ nos teoremas downward e upward respectivamente, para expressar a vari´avel aleat´oria limite) possuem constru¸c˜oes diferentes. Isto aconteceu por que assim que queremos ou por raz˜oes naturais sobre as quais n˜ao temos controle?
(a)Responda na pergunta acima. Talvez o item (b) abaixo pode lhe dar uma pista.
(b) G∞ poderia ter sido definida como σ(∪nG−n), e F∞ poderia ter sido definida como∩nFn?
Observa¸c˜ao: Vale muito a pena consultar o livro de Shiriaev sobre o papel da integrabilidade uniforme quando o assunto ´e a passagem de limite por dentro da esperan¸ca matem´atica, quer dizer, quando pergunta-se se ξn → ξ quasi certamente implicaIE[ξn]→ IE[ξ]. Observe o teorema que diz que esta passagem ´e valida se e somente se a fam´ılia de vari´aveis aleat´orias {ξn, n∈N}´e uniformamente integr´avel.
Ainda preste a aten¸c˜ao `a frase de Shiriaev de que o conceito de intergabilidade uniforme relaxa as condi¸c˜oes sobre as quais o Lema de Fatou ´e va´lida.
Observa¸c˜ao: Junte a compreen¸c˜ao da importˆancia da propriedade de integrabili-dade uniforme com o fato de que esta proprieintegrabili-dade ´e “natural” para as martigais, conforme aformado pelo Williams no Cao´ıtulo 13 de seu livro. Ai vocˆe perceber´a que as martingais uniformamente integraveis devem constituir uma ferramente muito poderosa.