Intepretação da Onda Piloto

Se associarmos movimento de um fluido à equação de continuidade, podemos ter uma relação entre densidade de corrente e densidade de probabilidade como mostra a equação:

𝑗⃗(𝑟⃗, 𝑡) = 𝜌𝑣⃗ (22)

onde 𝑣⃗ é o campo de velocidade do fluido. Embora usamos o fluido como analogia, trataremos apenas da velocidade de uma partícula e não de um fluido. A velocidade de uma partícula pode ser calculada através da função de onda como

𝑣⃗ = 𝑖ℏ2 2𝑚(ψ ∗_{∇ψ−ψ∇ψ}∗₎ ψ∗_ψ (23) ou 𝑣⃗ =𝑖ℏ2 2𝑚( ∇ ⃗⃗⃗ψ 𝜓 − ∇ ⃗⃗⃗𝜓∗ 𝜓∗) (24)

A equação acima informa a velocidade da partícula numa posição 𝑟⃗ e tempo 𝑡. Se chamarmos de 𝑅⃗⃗(𝑡), a posição da partícula, a evolução temporal da sua posição será:

𝑑

𝑑𝑡𝑅⃗⃗(𝑡) = 𝑣⃗(𝑅⃗⃗, 𝑡) (25)

Nessa teoria de Bohm, existe uma equivalência com a intepretação usual, pois a posição inicial da partícula não é conhecida com precisão, mas existe uma densidade de probabilidade de encontrar a partícula num tempo posterior 𝑡 dado por ‖Ψ(𝑅⃗⃗, 𝑡)‖2. Na mecânica bohmiana, a partícula possui uma posição e velocidade bem definida embora não conhecida com precisão. As probabilidades estão ligadas a falta de conhecimento dos valores que na realidade estão bem definidos, eles apenas não são conhecidos. Já na interpretação usual ou ortodoxa, a posição e velocidade estão definidas apenas no ato de medição. Fora da medição, o valor da posição e da velocidade está indefinido, não apenas desconhecidos. (BETZ, 2014, pg.4).

Numa tentativa de tratar o formalismo quântico com uma descrição clássica de movimento de objetos quânticos como partículas, Bohm introduziu um potencial quântico associado a uma onda que guia uma partícula com um potencial clássico associado à ela.

Quando esse potencial quântico é somado ao potencial clássico da partícula, isso nos permite interpretar o movimento da partícula devido a uma força associada ao potencial total.

Para melhor compreensão da equação da continuidade e do Potencial Quântico vamos separar a equação de Schroedinger em duas partes (Real e Imaginária). Partindo da equação de Schroedinger temos: 𝑖ℏ𝜕𝜓(𝑟⃗,𝑡) 𝜕𝑡 = −ℏ2 2𝑚 ∇ 2_{Ψ(𝑟⃗, 𝑡) + 𝑉(𝑟⃗, 𝑡)Ψ(𝑟⃗, 𝑡) (26)}

Escrevendo a função de onda na forma polar ficando: 𝜓 = 𝑅𝑒𝑖𝑆/ℏ

Pode-se aplicar a regra da cadeia para desenvolver as derivadas, lembrando que o laplaciano é o divergente do gradiente.

∇2_{𝜑 = ∇⃗⃗⃗. (∇⃗⃗⃗𝜑) (27)}

Assim os três termos da equação de Schroedinger se torna: Termo 1: 𝑖ℏ𝜕𝜓 𝜕𝑡 = 𝑖ℏ ( 𝜕𝑅 𝜕𝑡 − 𝑅 𝜕𝑆 𝜕𝑡) 𝑒 𝑖𝑆/ℏ ₍₂₈₎ Termo 2: − ℏ 2𝑚∇ 2_{𝜓 = −} ℏ 2𝑚(∇ 2_{𝑅 −} 𝑅 ℏ2(∇⃗⃗⃗𝑆) 2 + 𝑖2 ℏ∇⃗⃗⃗𝑅. ∇⃗⃗⃗𝑆 + 𝑖 𝑅 ℏ∇ 2_{𝑆) 𝑒}𝑖𝑆/ℏ ₍₂₉₎ Termo 3: 𝑉𝜓 = 𝑉𝑅𝑒𝑖𝑆/ℏ ₍₃₀₎

A equação de Schroedinger pode agora ser separada na parte real e imaginaria, como mencionamos anteriormente e assim fornece duas equações interligadas. Para obter a primeira, multiplicamos por 𝑒−𝑖𝑆/ℏ_{/𝑅, e para obter a segunda, multiplicamos por (2𝑅/ℏ)𝑒}−𝑖𝑆/ℏ_{. Assim}

a equação (26) pode ser reescrita ficando: Parte Real: 𝜕𝑆 𝜕𝑡 + (∇⃗⃗⃗𝑆)2 2𝑚 + 𝑉 + ℏ2 2𝑚 ∇2𝑅 𝑅 = 0 (31) Parte Imaginaria: 𝜕𝑅 2 𝜕𝑡 + ∇⃗⃗⃗. (𝑅 2 ∇⃗⃗⃗𝑆 𝑚) = 0 (32)

A equação da continuidade aparece na equação 32, desde que 𝑅2 _{seja igual à densidade}

probabilidade 𝜌(𝑟⃗, 𝑡) = 𝑅(𝑟⃗, 𝑡)2_{, exprimindo a conservação de densidade de probabilidade.}

As equações 31 e 32 são equivalentes à equação de Schroedinger, não envolvendo ainda nenhuma hipótese interpretativa. A nova interpretação surge ao se postular que a função de onda 𝜓 está associada a um ponto material (uma partícula) de massa 𝑚 que se propaga continuamente no espaço seguindo uma trajetória bem definida 𝑟⃗(𝑡), com momento de probabilidade clássica 𝜌(𝑟⃗, 𝑡) de a partícula estar em 𝑟⃗ no instante 𝑡.

Para o Potencial Quântico pode se demonstrado que a equação 31 mostra que o termo quântico −(ℏ2_{/2𝑚). ∇}2_{𝑅/𝑅 atua como um potencial 𝑈 que se adiciona ao potencial clássico}

𝑉. Este é exatamente o potencial quântico que, na teoria de Bohm, guia a partícula nessa nova interpretação da Onda-Piloto:

𝑈(𝑟⃗, 𝑡) = ℏ2

2𝑚

∇2𝑅(𝑟⃗,𝑡)

𝑅(𝑟⃗,𝑡) (33)

A equação 31 pode ser escrita como uma equação de Newton, na qual o potencial quântico dá origem a uma força de tipo não-clássica:

𝑚𝑑2𝑟⃗

𝑑𝑡2 = −∇⃗⃗⃗(𝑉(𝑟⃗, 𝑡) + 𝑈(𝑟⃗, 𝑡)) (34)

Vemos que o potencial quântico se escreve como um quociente envolvendo a amplitude 𝑅 da função de onda. Na verdade, 𝑈(𝑟⃗, 𝑡) também depende da fase 𝑆, já que 𝑅 e 𝑆 estão relacionados pela equação 32 da continuidade.

Mas a forma como 𝑈(𝑟⃗, 𝑡) está escrito acima mostra que mesmo quando 𝑅2 _{≡ |𝜓|}2 _se

aproxima de zero, por exemplo em regiões de interferência destrutiva no experimento das duas fendas, o quociente ∇2_{𝑅/𝑅 pode ficar bastante grande, em modulo. Esta violenta variação em}

𝑈 faz com que a força agindo na partícula seja intensa, de forma que sua velocidade também se torne imensa (em casos ideais em que estritamente 𝑅 = 0, poderíamos ter velocidades infinitas). Dessa forma, o tempo que a partícula permanece nas regiões de interferência destrutiva é praticamente nulo, e ela nunca é detectada nesta região.

Podemos entender melhor essas passagens matemáticas no apêndice ao final do trabalho, onde expandimos as equações da seção 4.7 em apenas uma dimensão e assim podemos fazer uma generalização em outras dimensões.

Queremos lembrar que esse formalismo iniciou-se com De Broglie, mas Bohm o estendeu, de um caso de uma simples partícula, para o caso de várias partículas e então recalculou as equações. Embora a extensão desse novo formalismo para as condições relativísticas não terem sido concluído com sucesso, elas foram usadas para incluir o “spin”.( INTERPRETAÇÃO DE BOHM , sp, 2018)

Para guiar uma partícula até onde ela deve estar, Bohm definiu um “potencial quântico”. Ele abriga todas as variáveis quânticas, responde a outros sistemas e efeitos quânticos e está ligado à função de onda. A posição e a trajetória de uma partícula, então, são sempre definidas, mas como não conhecemos todas as propriedades da partícula no início, precisamos usar a função de onda para descrever a probabilidade de uma partícula estar em algum lugar ou em certo estado. As Variáveis Ocultas são as posições da partícula, não o potencial quântico ou função de onda. (BACKER, 2015, pg.188).

O corpúsculo seria uma “variável oculta”, com posição e velocidade bem definida a cada instante, que “surfaria” na onda que o acompanha, de forma que a probabilidade de ele se encontrar em uma certa posição seria proporcional ao quadrado da amplitude da onda. (PESSOA JR 005/08 pag.6).

Bohm mostrou que era possível escrever uma versão de variáveis ocultas da mecânica quântica. O próximo passo era testá-la. Em 1924, John Bell concebeu uma série de experimentos imaginários cujos resultados poderiam ser consistentes com a teoria de variáveis ocultas. Se os resultados diferissem das previsões, o emaranhamento quântico (superposição de estados) descrito pela interpretação de Copenhague seria, então, verdadeiro. Nos anos 1980, físicos conseguiram realizar esses testes.

O teorema de Bell é considerado um dos resultados mais profundos da Física do século XX – é uma desigualdade matemática que mostra uma incompatibilidade entre a Mecânica Quântica com a ideia de “não-localidade” e a Teoria das Variáveis Ocultas que defendia a “localidade”. Uma possível solução para resolver esse impasse apareceu com o artigo publicado por Clauser, Horne, Shimony e Holt em 1969, onde, a partir da generalização das desigualdades de Bell e de algumas modificações no experimento, eles propuseram um experimento realizável que poderia testar as desigualdades de Bell, surgindo ulteriormente os primeiros experimentos que as testaram. (FREIRE JR, pg.98, 2011).

No entanto, em 1964 John S. Bell demonstrou que, devido às suas fortes condições de localidade, as Teorias de Variáveis Ocultas são restritas a certas desigualdades que não são sempre obedecidas pela Mecânica Quântica. (HENRIQUE, pg.2, 2014).

Com isso eles descartaram o caso mais simples de variáveis ocultas “locais”, nos quais a informação é limitada pela velocidade da luz. Correlações instantâneas de longa distância ou o emaranhamento quântico são necessários, de fato. Portanto a teoria das Variáveis Ocultas era de fato uma teoria “não-local”, o que foi um golpe contra ela mesma.

“Em certo sentido, o homem é um microcosmo do Universo: aquilo que é o homem, portanto, é uma pista para o Universo. Estamos embrulhados em Universo.” (BACKER, 2015, pg.186 aput BOHM).