7 ESQUEMAS DE INTERPOLAÇÃO ESPACIAL
7.2 Interpolação upwind para os termos advectivos
Deve ser lembrado que quando foi considerada a discretização dos termos de caráter elíptico nas equações da pressão e da saturação, empregou-se uma função de interpolação bilinear para aproximar os gradientes dessas variáveis nos pontos de integração. Como já mencionado, este tipo de interpolação é a melhor opção para aproximar esses termos, já que dessa forma está-se assumindo que o valor em um ponto interior a um elemento está influenciado por todos os valores nodais circundantes, o qual é o comportamento esperado para uma variável elíptica. Além
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ESQUEMAS DE
disso, esta interpolação possui precisão de segunda ordem [35], o qual significa que o erro de truncamento associado a ela se reduz proporcionalmente ao quadrado do tamanho característico dos elementos, para uma malha suficientemente refinada.
De fato, do ponto de vista da precisão do método de discretização, seria extre- mamente favorável se todas as variáveis e propriedades nos pontos de integração pudessem ser aproximadas mediante interpolação bilinear quando o problema for bidimensional e malhas de quadriláteros estiverem sendo usadas. Contudo, isso não é possível no modelo de deslocamento imiscível, já que a equação da saturação é uma equação predominantemente hiperbólica que freqüentemente admite soluções com descontinuidades ou gradientes muito pronunciados. Como é relatado na literatura, o uso de funções de interpolação lineares ou bilineares para aproximar os termos advectivos neste tipo de equações conduz a soluções não realísticas, com oscilações espúrias e valores não limitados [31, 33, 34, 35]. Por tal razão, tradicionalmente nas formulações numéricas para deslocamento de fluidos em meios porosos são utilizados quase exclusivamente esquemas de interpolação tipo upwind para a aproximação das grandezas dependentes da saturação. Estes esquemas são os únicos esquemas que garantem soluções absolutamente livres de oscilações e com valores limitados a um certo intervalo. Entretanto, este tipo de interpolação possui precisão apenas de primeira ordem e introduz erros de caráter dissipativo nas soluções numéricas [31, 34]. Infelizmente, erros deste tipo tendem a suavizar extremamente descontinuidades e gradientes pronunciados, os quais, como já se mencionou, são comuns na solução das equações do modelo de deslocamento imiscível.
Para a aproximação dos termos advectivos da equação da saturação, neste trabalho são considerados esquemas de interpolação upwind porque, se adequada- mente definidos, estes esquemas representam apropriadamente a natureza física desses termos. Se a equação diferencial da saturação for considerada como uma equação não-linear de advecção-difusão, o termo advectivo ∇G ⋅ρIFI EvG poderá ser enxergado como representando o transporte da grandeza FI por uma corrente com
velocidade vE
G
. Para tal transporte existe uma direção preferencial, a qual coincide com a direção das linhas de corrente associadas ao campo de velocidade vE
G
uma função de interpolação upwind da grandeza FI nessa direção é consistente com a
física representada pelo termo advectivo.
Contudo, em formulações tradicionais baseadas em malhas estruturadas é costumeiro o emprego de esquemas de interpolação upwind unidimensionais seguindo a direção das linhas da malha, mesmo tratando-se de problemas de deslocamento multidimensionais. A razão dessa prática provavelmente esteja relacionada à relativa dificuldade encontrada para implementar esquemas de interpolação upwind verdadeiramente multidimensionais no contexto de metodologi- as convencionais de diferenças finitas ou volumes finitos em malhas estruturadas. Apenas para fins de comparação, no contexto do EbFVM pode ser definido um esquema equivalente, o qual será denominado de esquema upwind unidimensional. Para tanto será conveniente definir o seguinte fluxo de massa associado à face de um volume de controle1
n n
E i I i E i i
m 1
(∆ ) ≡ ( ) ( )ρ − vG ⋅ ∆SG (7.1)
Considerando o ponto de integração 1 em um elemento, o esquema de interpo- lação upwind unidimensional pode ser definido pela expressão
I i I p E I i I p E se se F F m F F m 1 1 1 1 4 1 ( ) ( ) ( ) 0 ; ( ) ( ) ( ) 0 = = = = = ∆ > ⎧⎪ ⎨ = ∆ < ⎪⎩ (7.2)
Expressões similares podem ser obtidas para os outros pontos de integração apenas permutando ciclicamente os subíndices das variáveis. A aplicação deste esquema de interpolação está exemplificada na figura 7.1, a qual mostra as duas possíveis situações consideradas na equação (7.2). Como se pode observar, apenas o sentido do fluxo de massa2 é considerado para determinar o valor nodal a montante
do ponto de integração.
A denominação de esquema upwind unidimensional provém do fato que apenas são considerados os valores nodais na direção perpendicular à face em questão, sem
1 Examinando a versão discretizada da equação da saturação, equação (4.29), pode-se comprovar que este fluxo de massa é o que ‘transporta’ a grandeza F no termo advectivo. I
2 O sinal dos fluxos de massa está de acordo com a definição convencional do sentido positivo dos vetores área de face dada na figura 3.5(a).
importar a direção real do escoamento que atravessa essa face. Como se observa na figura 7.1(a), a linha de corrente que passa pelo ponto de integração pode ter uma direção muito diferente da direção considerada na interpolação e, portanto, o valor determinado pela equação (7.2) é uma aproximação pobre do valor a montante do ponto de integração. O fato de desconsiderar a direção real do escoamento na aproximação numérica dos termos advectivos é uma das principais causas do denominado efeito de orientação de malha. Este fenômeno se manifesta por uma marcada preferência do escoamento para seguir as linhas da malha, como conse- qüência de que a interpolação é realizada na direção de tais linhas, em vez de ser realizada na direção das linhas de corrente. Por causa deste fenômeno numérico anómalo, quando se resolve um mesmo problema com malhas diferentes, existe o potencial problema de se obter soluções diferentes, especialmente em situações adversas tais como quando a mobilidade da fase injetada é muito maior que a mobilidade da fase deslocada.
Figura 7.1 Dois casos possíveis na interpolação upwind unidimensional para o ponto de integração 1 no elemento padrão.