4.2 Le système
L’^®0 est un noyau à couches fermées, sa fonction d’onde interne est bien décrite
par le modèle de l’oscillateur harmonique. Leurs énergies d’excitations sont suffisamment
élevées pour espérer obtenir de bons résultats avec un calcul à une voie. Cette structure
en couches conduit à des simplifications importantes dans le calcul des éléments de ma
trice microscopiques. Ce noyau possède un spin nul et une parité positive dans son état
fondamental. Quant à , c’est un noyau à couches ouvertes, le nucléon célibataire se
trouve sur Opi, qui dans son état fondamental possède un spin | et une parité négative. Le
système que nous allons étudier dans ce chapitre, était déjà l’objet d’une étude
microscopique et de plusieurs études expérimentales. En effet, la seule étude microscopique
de l’interaction de l’^®0 et de a été faite par Okabe [50] en utilisant la méthode du
groupe résonant RGM et en prenant comme force effective nucléon-nucléon le potentiel
M3Y [54]. Cette étude a montré une dépendance du spin-orbite et de la parité du système.
En effet, les déphasages microscopiques centraux montrent une grande dépendance de la
parité, la différence A( (3.28) est négative pour l’onde partielle paire, positive pour l’onde
partielle impaire. L’ordre de grandeur de cette différence est grand pour les ondes paires,
d’où un terme spin-orbite important. Malheureusement, les résultats de Okabe ne sont pas
analysés en termes de potentiels, donc une comparaison détaillée avec notre travail ne sera
pas possible.
L’étude expérimentale de la diffusion élastique faite par Siemssen et ses col
laborateurs [55] montre une grande structure des fonctions d’excitations, ces auteurs ont
conclu à une possibilité de transfert d’un trou entre les deux noyaux. Dans un système
où les deux noyaux en interaction possèdent une petite différence de masse, nous nous
attendons à ce que l’échange du coeur contribue d’une manière importante à la structure
de la dépendance de la parité.
Les calculs microscopiques qui suivent ont été faits avec un nombre N = 16 coordonnées
génératrices R sélectionnées de 1.8 à 10.8 par pas de 0.6/m. Ce nombre N dépend de
l’importance de l’effet de parité: plus cet effet sera important, plus ce nombre sera grand.
4.2.1 Résultats microscopiques
Le modèle de la coordonnée génératrice fournit une description unifiée des états liés et
des états libres, résonants ou non résonants; nous nous sommes donc intéressés aux états
liés physiques et aux résonances du système comme le montre la figure 3. Les
états de paxité positive d’une part et les états de parité négative d’autre part peuvent être
généralement regroupés en bandes. Ce modèle fournit trois bandes de parité positive et
trois bandes de parité négative.
E'^^{MeV)
Figure 3: La structure des bandes rotationnelles des états liés et des
résonances pour le système
4.2. Le système 53
Nous pensons que les états de la bande négative et de la bande positive les plus
basses de la figure ci-dessus correspondent à des états excités du spectre du La valeur
expérimentale de l’énergie de liaison de ce noyau est de l9.S0MeV. De ce fait, nous consta
tons que, dans le cas de ce système, le modèle de la coordonnée génératrice ne fournit pas
les niveaux d’énergies les plus profonds du noyau car une description réelle du spec
tre de celui-ci exige plus d’une seule configuration du système L’introduction
d’autres configurations, l’amélioration du comportement asymptotique des fonctions d’onde
et probablement la modification de l’interaction nucléon-nucléon sont nécessaires si nous
voulons reproduire l’ordre de grandeur des niveaux d’énergies.
Lors de la construction du potentiel, il faut tenir compte à la fois des états liés physiques
ni, des résonances étroites et du nombre d’états interdits me. Le nombre d’états interdits
est nécessaire, il permet de nous guider sur la bonne voie lors de cette construction. Ce
nombre constitue un ingrédient important dans le problème de la collision, il est calculé
avec la technique de la référence [53] pour le système -|- Le nombre calculé dépend
uniquement de £ et il est donné à la table 2 pour chaque onde partielle.
£ me ne £ me ne
0 12 2 1 11 2
2 11 2 3 10 2
4 10 2 5 9 2
6 9 2 7 8 2
8 8 2 9 7 2
10 7 2 11 6 2
Table 2: Le nombre d’états liés interdits me et le nombre
d’états liés physiques ne pour chaque onde partielle
pour le système -f
Au-delà de £ = 11, quelques irrégularités peuvent se produire et le nombre d’états liés
interdits me dépendra aussi de J comme le montre la table 1 de la référence [3]. Une
résonance tout près du seuil avec une largeur presque nulle peut être considérée comme un
état lié en appliquant le principe d’approximation d’état lié. Cette approximation consiste à
ne pcis corriger le comportement asymptotique gaussien des fonctions d’ondes GCM. Pour
les états liés, cette approximation est en général excellente puisque les fonctions d’onde
sont concentrées à de petites interdistances et décroissent exponentiellement au-delà de
la portée des forces nucléaires. Pour les résonances dont les fonctions d’onde exactes ont
un comportement asymptotique oscillant, l’approximation d’état lié reste valable pour des
résonances étroites jusqu’à des largeurs d’environ 0.5MeV [56]. Nous qualifierons d’étroite
une résonance dont la largeur F (en MeV) est telle que sa durée de vie est nettement
supérieure au temps caractéristique de la collision. Pendant un temps très long, à l’échelle
des temps de collision, une résonance se comporte donc comme un état lié. Suivant cette
approximation, le modèle de la coordonnée génératrice fournit deux états liés physiques
pour chaque onde partielle ^ < 11. Pour éclairer la situation, étudions le cas de Fonde
partielle ^ = 10 dont les états liés et les résonances sont portés à la figure 3. Pour J — ^
nous avons un état lié de -0.38MeV et deux résonances situées à 8.03MeV (F = 1.7 10“®)
et à 13.34MeV (F = 0.62). Pour J = y ' avons 3 résonances situées à 6.05, 11.59
et 15.92MeV dont les largeurs sont respectivement 8. 10“^^, 2. 10“^ et 2.59 . De ce fait,
la première résonance de J = y et les deux premières résonances de J = y sont con
sidérées comme des états liés puisque leurs largeurs sont inférieures à 0.5MeV.
Les déphasages microscopiques qui représentent l’effet de la partie centrale du po
tentiel noyau-noyau et qui sont calculés selon l’équation (3.27) décroissent en fonction de
l’énergie. Nous avons représenté ces déphasages (figure 4) qu’ à partir de E = 16MeV pour
éviter la région de résonances, les ondes partielles paires et les ondes partielles impaires
diffèrent par leurs nombres d’états liés.
La différence A; (3.28) entre les déphasages et pour chaque onde partielle en
fonction de l’énergie est portée à la figure 5. Elle est due à l’effet du potentiel spin-orbite
noyau-noyau. Nous constatons que cette différence A^ dépend fortement de la parité,
elle est grande pour les ondes partielles paires (parité négative) et décroît en fonction de
l’énergie. A( est positive pour les moments angulaires impairs et négative pour les moments
angulaires pairs.
4.2. Le système *^(9 + 55
^GCMi^deg)
l’énergie pour le système Les labels représentent
les moments angulaires i.
Atiàeg)
E(M#V)
Figure 5: La différence A/ en fonction de l’énergie pour le système
Les labels désignent les moments angulaires £.
Toutes les propriétés de nos résultats microscopiques obtenues par le modèle microscopique
de la coordonnée génératrice sont en plein accord avec celles obtenues par Okabe [50].
4.2.2 Construction des potentiels pour le système
Dans ce paragraphe, nous allons construire des potentiels réels qui reproduisent au
mieux les déphasages microscopiques centraux des potentiels spin-orbite ainsi
que des potentiels de parité Vp. En plus des déphasages microscopiques , les poten
tiels réels doivent reproduire aussi le nombre d’états liés total ne -f me pour chaque onde
partielle pour satisfaire au théorème de Levinson (2.40).
La construction du potentiel réel se fera en deux étapes. Dans une première étape, nous
ferons un ajustement des déphasages par un potentiel V(o)(r) où la partie nucléaire est
représentée par un potentiel gaussien simple. Puis dans la seconde étape, nous appliquons
l’algorithme de Kukulin et collaborateurs [5] dans le but de correction. L’ajustement et la
correction s’effectuent sur un domaine d’énergie allant de 16MeV jusqu’à G5MeV car en
dessous de IGMeV, nous observons une forte manifestation des résonnances qui perturbent
considérablement la construction du potentiel. Les résultats de l’ajustement pour toutes
les ondes partielles sont regroupés dans la table 3 suivante:
i Vq flo l wo ÛO
0 396.29 3.18 1 508.25 2.94
2 398.70 3.18 3 509.75 2.93
4 399.65 3.17 5 512.20 2.92
6 402.95 3.17 7 517.39 2.91
8 405.75 3.15 9 520.92 2.90
10 412.58 3.12 11 529.74 2.89
Table 3: Les paramètres de l’ajustement vq et cq du potentiel
central pour le système ^^0
-t-Les potentiels gaussiens ajustés reproduisent le nombre d’états liés total ne + me ainsi
que les déphasages microscopiques mais avec un écart type moyen de 2°. Dans
le but d’une bonne amélioration de la précision sur ces déphasages, nous avons appliqué
l’algorithme de Kukulin et collaborateurs décrit au chapitre 3 à chaque onde partielle ^ et
4.2. Le système -t- 57
nous avons obtenu de nouveaux potentiels (figure 6):
N
V'/(r) = K(o)(r) +
I
où N est le nombre de fonctions de base, qui sont des fonctions d’oscillateur harmonique
utilisées pour la correction; ce nombre est bien choisi afin de permettre d’atteindre la
convergence et améliorer suffisamment la précision. Pour déterminer cette valeur, deux
contraintes importantes doivent être réalisées à savoir une bonne précision et la reproduc
tion du nombre d’états liés total nt + mt. Pour le système avec deux fonctions
d’oscillateur harmonique et y>2(r)) nous avons bien reproduit les déphasages micro
scopiques ainsi que le nombre d’états liés total de la table 2, l’écart type moyen est
de l’ordre de 0.5®( 2® avant la correction ), une amélioration de la précision d’un facteur 4.
VtiMeV)
Figure 6: Les potentiels centraux V( qui reproduisent les déphasages de la
figure 4. Les labels représentent les moments angulaires L
A petites distances, les potentiels associés aux ondes partielles impaires sont plus pro
fonds que ceux associés aux ondes paires; ils se croisent aux alentours de 4.5/m et puis
au-delà de cette valeur, c’est la situation inverse de la précédente qui est observée. Le com
portement asymptotique de ces potentiels suit la loi proposée par Baye dans la référence
[13]; c’est-à-dire que la parité du moment angulaire pour le potentiel profond est donnée
par (3.36). Les informations données par les résultats expérimentaux montrent que cette
loi est bien vérifiée ( voir la référence [13] pour les détails ) et ce comportement est ren
contré dans toutes les études théoriques faites avec des noyaux à couches p.
V^iMeV)
Figure 7: Les potentiels de parité Vp pour le système -f-
Les labels désignent les moments angulaires pairs
^=0, 2, 4, 6, 8 et 10
4.2. Le système 59
Les potentiels construits Vt montrent une très forte dépendance de la parité mais, pour
chaque parité, la dépendance du moment angulaire i est faible. Pour mettre en évidence
cette situation, nous avons porté à la figure 7 les potentiels de parité Vp (3.34). Nous con
statons que le terme de la parité est positif à courtes distances et il est négatif à grandes
distances. La dépendance de ces potentiels en l est faible mais la dépendance des V/ en
parité est beaucoup plus évidente. Leur comportement asymptotique suit la loi proposée
à la référence [12] au-delà de 4.5/m.
Les potentiels spin-orbites (3.32) construits montrent aussi une dépendance de la
parité (figure 8), ils changent tous de signe aux alentours d’une même distance qui est de
2/m.
2
Figure 8: Les potentiels spin-orbite pour le système
-|-Les moments angulaires pairs sont en traits pleins et les
moments impairs sont en traits coupés.
Pour les moments angulaires pairs, le terme spin-orbite est négatif à courtes distances et,
au-delà de 2/m, le terme spin-orbite est positif. Par contre pour les moments angulaires
impairs, c’est la situation inverse de la précédente que nous observons. Les potentiels spin-
orbite associés aux ondes partielles paires sont approximativement trois fois plus grands
que ceux associés aux ondes impaires dans la région asymptotique. Cet ordre de grandeur
traduit exactement la différence portée à la figure 5.
Les coefficients A, des fonctions d’oscillateurs harmoniques pour le potentiel central, les
coefficients Hi pour le potentiel spin-orbite et le paramètre ro sont donnés à l’appendice E.
4.3. Le système 61
4.3 Le système
Le noyau possède une structure en couches ouvertes, dans son état fondamen
tal, le neutron célibataire se trouve sur la sous couche nucléaire 0p|. Contrairement à
l’^®0 où le caractère magique du noyau permettait une bonne description par le modèle
de l’oscillateur harmonique; une fonction d’onde réaliste du est probablement plus
éloignée. Cette différence de qualité de fonctions d’onde entraîne que, dans la plupart des
calculs théoriques, l’état fondamental du est situé beaucoup trop bas par rapport au
seuil du système Les deux noyaux du système -f sont étudiés dans leurs
états fondamentaux avec des spins et parités respectifs O'*’ et | . Cette étude théorique
constitue la première étude microscopique réalisée avec le modèle GCM. Par contre, ce
système a été depuis longtemps l’objet de nombreuses études expérimentales comme la
mesure de la distribution angulaire et de la section efficace totale de la diffusion élastique.
Nos calculs microscopiques sont faits avec 14 coordonnées génératrices R sélectionnées de
1.8 à 9.6 par pas de 0.6/m.
4.3.1 Résultats microscopiques
L’étude microscopique du système ^^0 + par le modèle de la coordonnée génératrice
montre une structure de bandes rotationnelles des états liés et des résonances. Le modèle
fournit trois bandes de parité positive et quatre bandes de parité négative comme le montre
la figure 9.
E'^^iMeV)
Figure 9: La structure des bandes rotationnelles des états liés et des
résonances pour le système
Les premiers états | et | de la bande négative la plus basse correspondent approxi
mativement aux états excités |~(6.71MeV’) et |~(6.38MeV') du spectre des niveaux du
4.3. Le système 63
Les états excités | et | prévus par le modèle de la coordonnée génératrice sont respec
tivement à —13.57MeV et —13.90MeF (voir figure 9 ci-dessus); ces états sont approxi
mativement à Q.ZMeV près des valeurs expérimentales. Cependant, nous constatons que
les états les plus profonds du spectre expérimental du ne sont pas reproduits par le
modèle GCM. Si nous voulons reproduire les niveaux d’énergies les plus profonds, nous de
vons tenir compte d’autres configurations lors des calculs microscopiques, de l’amélioration
du comportement asymptotique des fonctions d’onde et, probablement, de la modification
de l’interaction nucléon-nucléon. Puisque, lors de la construction du potentiel, nous tenons
compte à la fois du nombre d’états liés physiques et du nombre d’états interdits m<,
nous donnons ceux-ci à la table 4 pour chaque onde partielle l.
rri( ne e me ne
0 11 2 1 10 2
2 10 2 3 9 2
4 9 2 5 8 2
6 8 2 7 7 2
8 7 2 9 6 2
10 6 2
Table 4: Le nombre d’états liés interdits mt et le nombre
d’états liés physiques ni pour chaque onde partielle
pour le système
Pour des moments angulaires i plus élevés, des irrégularités peuvent se produire et le nom
bre d’états liés interdits mi dépendra aussi de J [3]. Suivant le principe d’approximation
d’état lié dont nous avons tenu compte, des résonances tout près du seuil avec des largeurs
presque nulles peuvent être considérées comme des états liés. De ce fait, nous aurons deux
états liés physiques pour chaque onde partielle l < 10.
Les déphasages microscopiques sur lesquels nous allons nous baser pour la con
struction des potentiels pour le système -f sont représentés à la figure 10. Ces
déphasages sont donnés pour chaque onde partielle l et ils représentent l’effet direct de la
partie centrale du potentiel noyau-noyau du système -|- Pour tous les moments
angulaires, les déphasages de la figure 10 décroissent en fonction de l’énergie.
^GCM^deg)
Figure 10: Les déphasages microscopiques centraux fonction de
l’énergie pour le système Les labels représentent
les moments angulaires i.
La différence A/ qui est due à l’effet du potentiel spin-orbite noyau-noyau de ce système
est portée à la figure 11 pour chaque onde partielle. Si dans le système -|- le signe
de A^ dépend de la parité, positif pour les ondes partielles impaires et négatif pour les
ondes paires; dans le système -h le signe de celle-ci est toujours négatif quelle que
soit l’onde partielle £. Par contre, l’ordre de grandeur de cette différence A/ dépend de la
parité comme dans le cas du système précédent. En général, elle est plus grande pour les
ondes partielles paires (parité négative) que pour les ondes impaires.
4.3. Le système 65
At{deg)
E(M«V)
Figure 11: La différence A/ en fonction de l’énergie pour le système
Les labels désignent les moments angulaires i.
4.3.2 Construction des potentiels pour le système
La construction des potentiels réels pour le système en se basant sur
l’information donnée à la figure 10 se fera de la même manière que dans le cas du système
étudié précédemment. Nous évitons la gamme d’énergie en dessous de 16MeK
car il y a une forte manifestation des résonances qui perturbent la construction des poten
tiels.
Les potentiels gaussiens ajustés doivent reproduire le nombre d’états liés total de la table 4
pour satisfaire le théorème de Levinson; les résultats de l’ajustement pour toutes les ondes
partielles i sont donnés à la table 5 suivante:
£ vo O
q£ Vo Oo
0 559.58 2.81 1 475.45 2.83
2 557.37 2.82 3 474.13 2.84
4 555.77 2.83 5 471.27 2.86
6 552.08 2.84 7 466.36 2.89
8 549.36 2.86 9 467.76 2.90
10 546.17 2.88
Table 5: Les paramètres de l’ajustement vq et
oqdu potentiel
central pour le système
Les gaussiennes de la table 5 reproduisent les déphasages microscopiques de la fi
gure 10 ainsi que le nombre d’états liés total -t- rrif de la table 4. Les déphasages sont
reproduits avec un écart type moyen de l’ordre de 2.5°. Dans le souhait d’améliorer la
précision sur les déphasages, nous avons appliqué la méthode de Kukulin et collaborateurs
à chaque moment angulaire £. Les potentiels obtenus après correction sont donnés à la
figure 12. Les potentiels gaussiens liés aux ondes partielles paires sont améliorés avec deux
fonctions d’oscillateur harmonique, tandis que les potentiels gaussiens associés aux ondes
partielles impaires sont améliorés avec trois fonctions d’oscillateur. Dans chaque cas de
parité (positive ou négative), le nombre de fonctions utilisé est bien choisi afin de per
mettre d’atteindre la convergence et d’améliorer suffisamment la précision. L’écart type
moyen est de l’ordre de 1° (2.5° avant la correction), nous observons une nette progression
de la précision. A courtes distances, les potentiels associés aux moments angulaires pairs
sont plus profonds que ceux associés aux moments angulaires impairs. Ils se croisent une
première fois aux alentours de 3/m, puis une deuxième fois aux alentours de 5/m. Le
comportement asymptotique de ces potentiels suit la loi (3.36).
Les potentiels centraux portés à la figure 12 dépendent de la parité. Pour mettre en
évidence la différence existante dans des couples de potentiels successifs, nous portons à la
4.3. Le système 67
figure 13 les potentiels de parité (3.34) pour les ondes partielles pairs £ = 0, 2, 4, 6
et 8. Leur forme ne dépend pcis beaucoup de £\ à courtes distances et au-delà de 5/m,
le terme de parité est négatif c’est-à-dire que les potentiels correspondant aux ondes par
tielles paires sont plus profonds que ceux associés aux ondes impaires. La dépendance de
ces potentiels de parité en £ est faible. Comme le plus petit des deux noyaux Ai et A
2est
un nombre impair, le terme des potentiels de parité est négatif asymptotiquement, d’où
vérification de la loi de la référence [12].
Vt{MeV)
Figure 12: Lee polenliels centraux V, qui reproduisent les déphasages de la
figure 10. Les labels représentent les moments angulaires t.
Vp{MeV)
Figure 13: Les potentiels de parité Vp pour le système
Les labels désignent les moments angulaires pairs
^ = 0, 2, 4, 6, et 8
Les potentiels spin-orbite déterminés pour le système montrent aussi une forte
dépendance de la parité comme indiqué à la figure 14. Leur signe est négatif à des distances
inférieures à 2/m, ils s’annulent tous aux alentours d’un même point 2/m, puis au-delà
de cette valeur, leur signe est positif. Les potentiels spin-orbite correspondant aux ondes
pcirtielles paires(parité négative) sont deux fois plus grands que ceux associés aux ondes
partielles impaires (parité positive); cet ordre de grandeur traduit exactement la différence
A/ portée à la figure 11.
4.3. Le système 69
2
Figure 14: Les potentiels spin-orbite pour le système
No documento
A EVT na dinâmica inter e transdisciplinar : um estudo de caso em contexto TEIP
(páginas 119-180)