sendo f , g, A e B fun¸c˜oes C∞, com λ 6= 0, f (0) 6= 0, g(0) = 0, j∞A(0, 0) = 0 e
j∞B(0, 0) = 0.
Prova: O Lema 5.1.9 garante a existˆencia de pelo menos uma variedade central para o sistema (5.30). Assim, escolhemos uma variedade central dada pelo gr´afico de uma fun¸c˜ao ρ de classe C∞ com j∞ρ(0) = 0. Tomemos a mudan¸ca de coordenadas da forma
(u, v) = (x, y − ρ(x)). Da´ı, ˙u = ˙x, ˙v = ˙y − ρ0(x) ˙x, isto ´e,
˙u = um(f (u) + u ˜A(u, v)),
˙v = v(λ + g(u) + u ˜B(u, v)) − ρ0(u)(umf (u) + um+1A(u, v)),˜
(5.63)
onde ˜A(u, v) = A(u, v − ρ(u)) e ˜B(u, v) = B(u, v − ρ(u)).
Observe que v = 0 se, e somente se, (x, y) ´e um ponto do gr´afico de ρ. Logo, pr´oximo a (0, 0), o eixo v = 0 ´e invariante pelo sistema (5.63).
Ainda, podemos reescrever o sistema (5.63) da forma
˙u = um(f (u) + u ˜A(u, v)),
˙v = v(λ + g(u)) + uB(u, v),˜˜
(5.64)
onde B(u, v) = v ˜˜˜ B(u, v)) − ρ0(u)(um−1f (u) + umA(u, v)). Note que˜ B ´˜˜ e flat na origem,
visto que ˜B e ρ tamb´em s˜ao.
Analogamente ao Lema 5.1.4, temos queB(u, 0) = 0, se u ´˜˜ e pequeno. Disso, segue que ∂θB(u, 0) = 0, se u ´˜˜ e pequeno e θ ´e da forma (θ1, 0).
Usando a F´ormula de Taylor em (u, 0) obtemos, de modo an´alogo a (5.17), que
˜ ˜
B(u, v) = v ˜H(u, v),
onde ˜H(u, v) = ∂(0,1)B(u, 0)+v˜˜ R1
0(1−t)∂
(0,2)B((u, 0)+t(0, v))dt. Renomeando os termos,˜˜
segue que o sistema (5.30) pode ser escrito da forma (5.62).
´
E poss´ıvel demonstrar que, atrav´es de uma mudan¸ca de coordenadas σ de classe C∞ com a propriedade de que σ ´e infinitamente tangente `a identidade em (0, 0), os termos flat’s A e B do sistema (5.62) podem ser removidos. Os detalhes da constru¸c˜ao dessa mudan¸ca de coordenadas podem ser encontrados na Se¸c˜ao 2.7 de Dumortier et al (2006). Assim, podemos supor que o campo definido pelo sistema (5.62) ´e C∞-conjugado ao campo definido por ˙x = xmf (x), ˙ y = y(λ + g(x)), (5.65)
onde f e g s˜ao fun¸c˜oes C∞, λ 6= 0, f (0) 6= 0 e g(0) = 0.
Nosso pr´oximo objetivo ´e realizar uma mudan¸ca de coordenadas que transforme o sistema (5.65) numa forma polinomial adequada. Para isso, o resultado que segue ´e o argumento principal.
Proposi¸c˜ao 5.1.11 Seja
˙u = um(1 + g(u)) (5.66)
uma equa¸c˜ao diferencial em R, onde m ∈ N com m > 2, g uma fun¸c˜ao de classe C∞ e g(0) = 0. Ent˜ao, existe uma mudan¸ca de coordenadas da forma
u = x(1 + α(x)), (5.67)
com α uma fun¸c˜ao de classe C∞ satisfazendo α(0) = 0, que conjuga suavemente o campo definido pela equa¸c˜ao (5.66) com o campo definido por
˙x = xm(1 + axm−1), (5.68)
para algum a ∈ R.
Prova: Faremos a prova por etapas mas, primeiramente, observemos que a composi¸c˜ao de finitas mudan¸cas de coordenada da forma (5.67) com α(0) = 0 ´e, tamb´em, da forma (5.67) com α(0) = 0.
Etapa 1: se g(u) = alul+ O(|x|l+1) e 1 6 l 6 m − 2, ent˜ao existe c ∈ R tal que a
mudan¸ca de coordenadas
u = x(1 + cxl) (5.69)
conjuga o campo definido pela equa¸c˜ao (5.66) com o campo dado pela equa¸c˜ao
˙x = xm(1 + g(x)), (5.70)
com g(x) = O(|x|l+1).
De fato, de (5.66) e (5.69) segue que,
˙x(1 + c(l + 1)xl) = xm(1 + cxl)m[1 + alxl(1 + cxl)l+ O(|x|l+1)]
= xm(1 + cmxl+ O(|x|2l))(1 + alxl+ O(|x|2l) + O(|x|l+1)]
= xm(1 + cmxl+ O(|x|2l))(1 + alxl+ O(|x|l+1), isto ´e, ˙x(1 + c(l + 1)xl) = xm(1 + cmxl+ alxl+ O(|x|l+1). (5.71) Note que 1 1 + c(l + 1)xl = 1 − c(l + 1)x l + (c(l + 1)xl)2 − (c(l + 1)xl)3+ · · · = 1 − c(l + 1)xl+ (c(l + 1)xl)2(1 − c(l + 1)xl+ · · · ) = 1 − c(l + 1)xl+ (c(l + 1)xl)2 1 1 + c(l + 1)xl = 1 − c(l + 1)xl+ O(|x|2l).
Disso e de (5.71), segue que
˙x = xm(1 + cmxl+ alxl+ O(|x|l+1)(1 − c(l + 1)xl+ O(|x|2l))
= xm(1 − c(l + 1)xl+ xl(al+ cm) + O(|x|l+1),
ou seja,
˙x = xm(1 + xl(c(−l − 1 + m) + al) + O(|x|l+1)). (5.72)
De (5.72), observamos que existe c tal que o coeficiente de xl se anula, logo, temos o afirmado na Etapa 1.
Etapa 2: se g(u) = aum−1 + a
lul+ O(|u|l+1) e l = m, m + 1, · · · , 2m − 3, ent˜ao
existe c ∈ R tal que a mudan¸ca de coordenadas
conjuga a equa¸c˜ao diferencial (5.66) com a equa¸c˜ao diferencial
˙x = xm(1 + g(x)), (5.74)
com g(x) = O(|x|l+1).
De fato, utilizando argumentos an´alogos aos da Etapa 1 obtemos que, para todo c ∈ R, a mudan¸ca de coordenadas (5.73) conjuga o campo dado pela equa¸c˜ao (5.66) com o campo definido pela equa¸c˜ao
˙x = xm(1 + axm−1 + xl(al− cl − c + mc) + O(|x|l+1)). (5.75)
De (5.75), observamos que existe c tal que o coeficiente de xl se anula, logo, temos o
afirmado na Etapa 2.
Etapa 3: existe uma mudan¸ca de coordenadas da forma (5.67), com α(0) = 0, que conjuga suavemente o campo dado pela equa¸c˜ao (5.66) com o campo definido por
˙x = xm(1 + g(x)), (5.76)
com g(x) = axm−1+ O(|x|N), onde N > 2m − 2.
De fato, basta aplicar a Etapa 1 com l = 1, 2, · · · , m − 2 e a Etapa 2 com l = m, m + 1, · · · , 2m − 3, sucessivamente.
Etapa 4: existe uma mudan¸ca de coordenadas da forma
u = x(1 + bxm−1), (5.77)
para b = −a/m, que conjuga suavemente o campo definido pela equa¸c˜ao
˙u = um(1 + g(u)),
sendo g(u) = aum−1+ O(|u|N), com o campo definido pela equa¸c˜ao
˙x = x
m
1 − bxm−1(1 + h(x)), (5.78)
De fato, de (5.77) segue que ˙x(1 − bxm−1) = xm(1 + bxm−1)m(1 + axm−1(1 − bxm−1)m−1+ O(|x|N)) = xm(1 + bmxm−1 + O(|x|2m−2))(1 + axm−1(1 + (m − 1)bxm−1+ + O(|x|2m−2)) + O(|x|N)) = xm(1 + bmxm−1 + O(|x|2m−2))(1 + axm−1+ O(|x|2m−2)+ + O(|x|N)) = xm(1 + bmxm−1 + O(|x|2m−2))(1 + axm−1+ O(|x|2m−2)) = xm(1 + axm−1+ bmxm−1 + O(|x|2m−2)), isto ´e, ˙x = x m 1 − bxm−1(1 + O(|x| 2m−2 )).
Isso mostra o afirmado na Etapa 4.
Etapa 5: existe uma mudan¸ca de coordenadas da forma
u = x(1 + y(x))
com y uma fun¸c˜ao de classe C∞ e y(0) = 0, que conjuga suavemente o campo definido por
˙u = u
m
1 − aum−1(1 + g(u)),
sendo g(u) = O(|u|2m−2), com o campo definido por
˙x = x
m
1 − axm−1. (5.79)
Tomemos a mudan¸ca de coordenadas
u = x(1 + y(x)), donde ˙u = ˙x 1 + y(x) + xdy dx ,
que, por simplicidade, escreveremos
˙u = ˙x 1 + y + xdy dx . Da´ı, ˙x = x m(1 + y)m 1 − axm−1(1 + y)m−1 1 + O(|x|2m−2) 1 + y + xdxdy . (5.80)
Igualando (5.79) e (5.80), temos 1 + y + xdy dx = (1 − ax m−1)(1 + y)m 1 − axm−1(1 + y)m−1(1 + ˜B(x, y)), (5.81)
onde ˜B(x, y) = O(|x|2m−2) e, portanto, y(x) deve ser a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (5.81). De (5.81), segue que
1 + y + xdy dx =
(1 − axm−1)(1 + my + y ˜A(x, y))(1 + ˜B(x, y))
1 − axm−1− axm−1(m − 1)y + y ˜C(x, y)
= (1 + my − ax
m−1+ yA(x, y))(1 + ˜˜˜ B(x, y))
1 − axm−1+ yC(x, y)˜˜
,
onde ˜A(0, 0) = 0, ˜C(0, 0) = 0, A(0, 0) = 0,˜˜ C(0, 0) = 0 e ˜˜˜ B(x, y) = O(|x|2m−2). Da´ı,
1 + y + xdy
dx = (1 + my − ax
m−1+ y ¯A(x, y) +B(x))(1 + ax˜˜ m−1+ yA(x, y) + ¯˜˜ C(x)),
onde ¯A(0, 0) = 0,B = O(|x|˜˜ 2m−2) e ¯C(x) = O(|x|2m−2) e, logo, y deve ser solu¸c˜ao de
xdy
dx = y((m − 1) + A(x, y)) + B(x, y), (5.82) com A(0, 0) = 0 e B(x, y) = O(|x|2m−2). Na Etapa 7 mostraremos que a equa¸c˜ao (5.82)
tem solu¸c˜ao C∞ definida em uma vizinhan¸ca da origem.
Etapa 6: existe uma mudan¸ca de coordenadas da forma
u = x(1 + y(x)) (5.83)
com y(0) = 0, que conjuga C∞ o campo definido pela equa¸c˜ao
˙u = u
m
1 − aum−1
com o campo dado pela equa¸c˜ao
˙x = xm(1 + axm−1). (5.84)
A demonstra¸c˜ao da Etapa 6 ´e an´aloga a da Etapa 5 e, portanto, ser´a omitida.
Etapa 7: a equa¸c˜ao diferencial
xdy
com A(0, 0) = 0 e B(x, y) = O(|x|2m−2), tem solu¸c˜ao da forma
y(x) = x2m−3Y (x),
onde Y ´e uma fun¸c˜ao de classe C∞ em uma vizinhan¸ca da origem.
As solu¸c˜oes da equa¸c˜ao diferencial (5.85), para x 6= 0, s˜ao dadas pela solu¸c˜ao do sistema ˙x = x, ˙
y = y((m − 1) + A(x, y)) + B(x, y),
(5.86)
onde A(0, 0) = 0 e B(x, y) = O(|x|2m−2).
Usando o blow-up na dire¸c˜ao x dado por
(x, y) = (u, vu2m−3), (5.87)
temos que
˙
y = ˙vu2m−3+ (2m − 3)u2m−4˙uv,
donde, notando que ˙u = u, segue que
vu2m−3((m − 1) + ˜A(u, v)) + ˜B(u) = ˙vu2m−3+ (2m − 3)u2m−3v,
onde ˜A(u, v) = A(u, vu2m−3) e ˜B(u) = B(u). Da´ı,
˙v = v(2 − m) + ˜A(u, v) + ¯B(u)
com ¯B(u) = ˜B(u)/u2m−3.
Portanto, o blow-up (5.87) transforma o sistema (5.86) no sistema
˙u = u, ˙v = v((2 − m) + ˜A(u, v)) + ¯B(u, v), (5.88)
onde ˜A(0, 0) = 0 e ¯B(x, y) = O(|x|4m−5).
Note que 4m − 5 > m para todo m > 2, isto ´e, ¯B(u, v) = O(|u|2) e, logo, ∂ ¯B(u,v)∂u = O(|u|). Ainda, notemos que (0, 0) ´e a ´unica singularidade de (5.88).
Da´ı, observando que a matriz jacobiana do campo definido pelo sistema (5.88) no ponto (0, 0) ´e " 1 0 0 2 − m # ,
e segue que (0, 0) ´e uma singularidade semi-hiperb´olica, quando m = 2 e, uma sela hiperb´olica, quando m > 3.
Em ambos os casos, existe uma variedade inst´avel invariante de classe C∞ (resp. Cω) que ´e o gr´afico de uma fun¸c˜ao (x, Y (x)). Logo, a fun¸c˜ao y(x) = x2m−3Y (x) fornece
uma solu¸c˜ao de (5.85).
Aplicando convenientemente a Proposi¸c˜ao 5.1.11 ao sistema (5.65), encontraremos as formas normais C∞ para sistemas do tipo (5.1) concluindo, assim, a demonstra¸c˜ao das afirma¸c˜oes C∞ do Teorema 5.0.1. Observe que todas as mudan¸cas de coordenadas anteriores produziam campos C∞-conjugados. No entanto, o pr´oximo resultado trata de campos C∞-equivalentes.
Lema 5.1.12 Se m ´e par, ou se m ´e ´ımpar mas f (0) > 0, ent˜ao existe uma vizinhan¸ca da origem na qual o campo definido pelo sistema (5.65) ´e C∞-equivalente ao campo dado pelo sistema ˙x = xm(1 + axm−1), ˙ y = y, (5.89)
sendo a ∈ R. Se m ´e ´ımpar e f (0) < 0, ent˜ao existe uma vizinhan¸ca da origem na qual o campo definido pelo sistema (5.65) ´e C∞-equivalente ao campo dado pelo sistema
˙x = −xm(1 + axm−1), ˙ y = y, (5.90) sendo a ∈ R.
Prova: Primeiro, utilizando o Lema 2.0.4, multiplicamos o sistema (5.65) por (λ + g(x))−1, obtendo que o sistema (5.65) ´e C∞-equivalente ao sistema
˙x = xm(b + ˜f (x)), ˙ y = y, (5.91)
para alguma fun¸c˜ao ˜f de classe C∞ satisfazendo ˜f (0) = 0 e b = f (0)/λ.
Como λ > 0, segue que se m ´e par, ou se m ´e ´ımpar mas f (0) > 0, ent˜ao m−1√b ∈ R e a mudan¸ca linear de coordenadas dada por (x, y) 7→ (m−1√
bx, y) conjuga o campo definido pelo sistema (5.91) com o campo dado por
˙x = xm(1 + ¯f (x)), ˙ y = y, (5.92)
sendo ¯f uma fun¸c˜ao de classe C∞ tal que ¯f (0) = 0.
Se m ´e ´ımpar e f (0) < 0 ent˜ao a mudan¸ca linear de coordenadas dada por (x, y) 7→ (m−1√−bx, y) conjuga o campo definido pelo sistema (5.91) com o campo dado por
˙x = −xm(1 + ¯f (x)), ˙ y = y, (5.93)
sendo ¯f uma fun¸c˜ao de classe C∞ tal que ¯f (0) = 0.
Basta aplicar a mudan¸ca de coordenadas (x, y) 7→ (x(1 + α(x)), y), sendo α dada pela Proposi¸c˜ao 5.1.11, aos campos definidos pelos sistemas (5.92) e (5.93).
5.2
RESULTADOS TOPOL ´OGICOS
Seja X um campo planar com a origem uma singularidade isolada semi-hiperb´olica. Na se¸c˜ao anterior vimos que existe uma vizinhan¸ca da origem na qual o campo X ´e C∞-equivalente ao campo dado pelo sistema (5.92) ou (5.93). Diremos que X est´a no sua forma normal quando considerarmos X dado pelo sistema (5.92) ou (5.93), sendo m = 2, 3, ... e a ∈ R.
Para entendermos como ´e o retrato de fase de X pr´oximo `a origem, vamos conjugar topologicamente o campo X com campos cujos retratos de fase j´a s˜ao conhecidos, isto ´e, vamos encontrar modelos topol´ogicos para as formas normais. Para tal, vamos dividir esta se¸c˜ao em trˆes subse¸c˜oes.
5.2.1
PRIMEIRO CASO - N ´O
Nessas condi¸c˜oes, vamos demonstrar o lema abaixo:
Lema 5.2.1 Se m ´e um n´umero ´ımpar ≥ 3 e a ∈ R, ent˜ao existe uma vizinhan¸ca da origem na qual o campo X definido pelo sistema
˙x = xm(1 + axm−1), ˙ y = y, (5.94)
´e C0-conjugado ao campo L dado pelo sistema ˙x = x, ˙ y = y. (5.95)
Prova: Seja X o campo dado pelo sistema (5.94) e consideremos o aberto V0 contendo
a origem tal que (0, 0) ´e a ´unica singularidade de X|V0.
A prova ser´a dividida em v´arios passos, sendo que a desigualdade mais importante ´e apresentada no Passo 1.
Passo 1: Existe r > 0 tal que para todo (x, y) ∈ Br((0, 0)) − {(0, 0)} vale
h(x, y), X(x, y)i 6= 0, sendo h·, ·i o produto interno usual de R2.
De fato, note que
h(x, y), X(x, y)i = xm+1+ ax2m+ y2. (5.96)
Tomando r < 1/(2|a| + 1) segue que para |x| < r temos |x|m−1 < r, logo
(2|a| + 1)|x|m−1 < 1 ⇒ 2|a||x|m−1 < 1 ⇒ |axm−1| < 1 2, isto ´e, |x| < r ⇒ |ax|m−1 < 1 2. (5.97) Segue de (5.96) e (5.97) que |x| < r ⇒ x m+1 2 + y 2 < h(x, y), X(x, y)i < 3x m+1 2 + y 2, (5.98)
mostrando o primeiro passo.
Diminuindo r > 0 se necess´ario, podemos supor Br((0, 0)) ⊂ V0.
Passo 2: Sr((0, 0)) ´e uma se¸c˜ao transversal local dos campos X e L, para todo
(x, y) ∈ Sr((0, 0)).
De fato, como
h(x, y), L(x, y)i = x2+ y2 6= 0,
segue que L(x, y) n˜ao pertence ao espa¸co tangente a Sr((0, 0)) no ponto (x, y). De (5.98)
segue conclus˜ao an´aloga para X(x, y), o que mostra o resultado.
Passo 3: A fun¸c˜ao V (x, y) = (x2+ y2)/2 ´e uma fun¸c˜ao de Liapounov estrita do
campo −X no ponto (0, 0).
De fato, note que
V (0, 0) = 0 e V (x, y) > 0 para (x, y) ∈ Br((0, 0)) − {(0, 0)}. De (5.98) segue que h(x, y), −X(x, y)i < −x m+1 2 − y 2, isto ´e, ˙ V (x, y) < −x m+1 2 − y 2,
mostrando que
˙
V (x, y) < 0, ∀(x, y) ∈ Br((0, 0)) − {(0, 0)},
e, logo, mostrando o Passo 3.
Passo 4: Seja ϕ o fluxo do campo X. Vamos mostrar que existe 0 < r1 6 r tal
que
lim
t→−∞ϕ(t, x, y) = 0, ∀(x, y) ∈ Br1((0, 0)) − {(0, 0)},
isto ´e, todas as ´orbitas de X “emanam” do ponto (0, 0).
De fato, do Passo 3 e do Teorema 1.5.3, segue que existe 0 < r1 6 r tal que
k(x, y)k ⇒ lim
t→∞ϕ(−t, x, y) = 0, (5.99)
isto ´e, (0, 0) ´e singularidade assintoticamente est´avel do campo −X. Observe que de (5.99), temos que
lim
t→−∞ϕ(t, x, y) = 0, ∀(x, y) ∈ Br1((0, 0)) − {(0, 0)}.
Mostramos, assim, o quarto passo.
Passo 5: A aplica¸c˜ao t 7→ kϕ(t, x, y)k ´e crescente para todo (x, y) ∈ Br1((0, 0)) −
{(0, 0)}.
De fato, note que
d
dtkϕ(t, x, y)k
2
= 2hϕ(t, x, y), X(ϕ(t, x, y))i, ∀(x, y) ∈ R2. Portanto, de (5.98), segue que
d
dtkϕ(t, x, y)k
2 > ϕ1(t, x, y)m+1
2 + ϕ2(t, x, y) > 0, ∀(x, y) ∈ Br1((0, 0)) − {(0, 0)},
onde ϕ(t, x, y) = (ϕ1(t, x, y), ϕ2(t, x, y)).
Logo, a aplica¸c˜ao t 7→ kϕ(t, x, y)k2´e crescente para todo ponto (x, y) ∈ B
r1((0, 0))−
{(0, 0)} e o mesmo vale para a aplica¸c˜ao t 7→ kϕ(t, x, y)k, como quer´ıamos mostrar.
Do Passo 4 conclu´ımos que toda trajet´oria do campo −X, iniciando em pontos de Br1((0, 0)) − {(0, 0)}, est´a contida no compacto Br1[(0, 0)] para todo t > 0. Ainda, pelo
Passo 5, temos que t 7→ kϕ(−t, x, y)k ´e decrescente para todo (x, y) ∈ Br1((0, 0))−{(0, 0)}.
Assim, do Teorema de Poincar´e-Bendixson temos que o conjunto ω−limite de (x, y) rela- tivo ao campo −X s´o pode ser ou um foco ou uma ´orbita peri´odica. No pr´oximo passo
descartamos a segunda possibilidade.
Passo 6: Vamos mostrar que os eixos x = 0 e y = 0 s˜ao invariantes pelo fluxo de X.
Toda fun¸c˜ao da forma t 7→ (0, ety) ´e solu¸c˜ao do sistema (5.94). Da´ı segue que o eixo x = 0 ´e invariante pelo fluxo de X. Analogamente, se t 7→ x(t) ´e solu¸c˜ao da primeira equa¸c˜ao do sistema (5.94), ent˜ao t 7→ (x(t), 0) ´e solu¸c˜ao do sistema (5.94). Da´ı segue que o eixo y = 0 ´e invariante pelo fluxo de X.
Dos passos anteriores segue que, para todo (x, y) ∈ Br1((0, 0)) − {(0, 0)}, existe
t0 > 0 tal que
kϕ(t0, x, y)k2 = r1.
Ainda, sabemos que d
dtkϕ(t, x, y)k
2 6= 0, ∀(x, y) ∈ B
r1((0, 0)) − {(0, 0)}.
Logo, pelo Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita, a fun¸c˜ao
τ : Br1[(0, 0)] − {(0, 0)} → R
(x, y) 7→ τ(x,y)
definida por kϕ(τ(x,y), x, y)k = r1, ´e de classe Ck, com k = 1, 2, · · · , ∞ ou k = ω (depen-
dendo do campo X).
Vamos tomar por r2 = min{r1, 1}. Denotando por ψ o fluxo do campo L, definimos
a fun¸c˜ao h : Br2[(0, 0)] → R 2 por h(x, y) =
ψ(−τ(x,y), ϕ(τ(x,y), x, y)), se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
(5.100)
Geometricamente, podemos interpretar h como a Figura 5.5.
Passo 7: Mostraremos que h, definida em (5.100), ´e um homeomorfismo.
Observa-se que para (x, y) 6= (0, 0), h ´e cont´ınua visto que ´e uma composi¸c˜ao de fun¸c˜oes cont´ınuas. Nosso objetivo, ent˜ao, ´e mostrar que
lim
(x,y)→(0,0)kh(x, y)k = 0.
Note que, de (5.98), temos, para (x, y) ∈ Br2((0, 0)) − {(0, 0)}, que
h(x, y), X(x, y)i 6 3 2x
Figura 5.5: Interpreta¸c˜ao geom´etrica da aplica¸c˜ao h. 𝑥 𝑥 𝑦 (𝑥, 𝑦) ℎ(𝑥, 𝑦)
Ainda, para (x, y) ∈ Br2((0, 0)) − {(0, 0)}, vale
xm−1 < r2 ⇒ xm−1 < 1 ⇒ xm+1 < x2. (5.102)
Logo, de (5.101) e de (5.102), segue que
h(x, y), X(x, y)i 6 3
2k(x, y)k
2
, ∀(x, y) ∈ Br2((0, 0)) − {(0, 0)}. (5.103)
De (5.103) segue que, para (x, y) ∈ Br2((0, 0)) − {(0, 0)},
d dtkϕ(t, x, y)k 2 6 3 2kϕ(t, x, y)k 2. (5.104) Integrando (5.104) de 0 a t, temos lnkϕ(t, x, y)k 2 k(x, y)k2 6 3 2t, ∀(x, y) ∈ Br2((0, 0)) − {(0, 0)} e t > 0,
que implica que
e−32t 6 k(x, y)k 2
kϕ(t, x, y)k2, ∀(x, y) ∈ Br2((0, 0)) − {(0, 0)} e t > 0. (5.105)
Ainda, note que, para todo (x, y) ∈ Br2[(0, 0)]
kh(x, y)k = kψ(−τ(x,y), x, y)k
6 ke−τ(x,y)kkϕ(τ
(x,y), x, y)k
isto ´e,
kh(x, y)k 6 ke−τ(x,y)kr. (5.106)
De (5.105) e (5.106), segue que
lim
(x,y)→(0,0)h(x, y) = (0, 0).
Logo, h ´e cont´ınua. ´E poss´ıvel verificar que h possui uma fun¸c˜ao inversa h−1 defi- nida em uma vizinhan¸ca compacta da origem por uma express˜ao an´aloga a de h. Como Br2[(0, 0)] ´e compacto, h
−1 ´e cont´ınua mostrando, assim, o Passo 7.
Passo 8: Existe uma vizinhan¸ca da origem na qual h conjuga topologicamente os campos X e L.
De fato, vamos considerar os pontos (x, y) ∈ Br2[(0, 0)] e h dado em (5.100).
Mostraremos que
h(ϕ(t, x, y)) = ψ(t, h(x, y)), ∀(x, y) ∈ Br2[(0, 0)].
Note que, se (x, y) = (0, 0), temos
h(ϕ(t, x, y)) = h(0, 0) = 0 = ψ(0, 0) = ψ(t, h(x, y)).
Se (x, y) 6= (0, 0), ent˜ao
h(ϕ(t, x, y)) = ψ(−τϕ(t,x,y), ϕ(τϕ(t,x,y), ϕ(t, x, y)))
= ψ(−τϕ(t,x,y), ϕ(τ(x,y)− t, ϕ(t, x, y)))
= ψ(−τϕ(t,x,y), ϕ(τ(x,y), x, y))
= ψ(t − τ(x,y), ϕ(τ(x,y), x, y))
= ψ(t, ψ(−τ(x,y), ϕ(τ(x,y), x, y))
= ψ(t, h(x, y)).
Concluindo, assim, o Passo 8.
Atrav´es dos passos anteriores, conclu´ımos o lema.
5.2.2
SEGUNDO CASO - SELA
Lema 5.2.2 Se m ´e um n´umero ´ımpar ≥ 3 e a ∈ R, ent˜ao existe uma vizinhan¸ca da origem na qual o campo X definido pelo sistema
˙x = −xm(1 + axm−1), ˙ y = y, (5.107)
´e C0-conjugado ao campo L dado pelo sistema ˙x = −x, ˙ y = y. (5.108)
Prova: Consideremos o aberto V0contendo a origem tal que (0, 0) ´e a ´unica singularidade
de X|V0. Ainda, seja ϕ o fluxo de X e ψ o fluxo de L. Assim, temos que
ϕ(t, x, y) = (ϕ1(t, x, y), ϕ2(t, x, y)) = (ϕ1(t, x, y), ety)
e
ψ(t, x, y) = (ψ1(t, x, y), ψ2(t, x, y)) = (e−tx, ety).
Note que ϕ1 e ψ1 s˜ao independentes de y.
Passo 1: Existe 0 < r < 1 tal que
0 < x < r =⇒ 0 6 ψ1(t, x, y) 6 ϕ1(t, x, y). (5.109)
De fato, como visto no caso anterior, existe r > 0 tal que
0 < x < r =⇒ 1 2x m < xm(1 + axm−1) < 3 2x m .
Disso, segue que se |x| < r ent˜ao
−xm(1 + axm−1) < −1 2x
m
.
Como m = 3, 5, · · · , diminuindo r se necess´ario, podemos escolher r tal que
0 < x < r =⇒ −xm(1 + axm−1) > −x.
Ent˜ao, para cada x0 fixo com 0 6 x0 < b, temos que as solu¸c˜oes t → ψ1(t, x0) e
t → ϕ1(t, x0) dos respectivos problemas de valor inicial
˙x = −x, x(0) = x0, e ˙x = −xm(1 + axm−1), x(0) = x0,
satisfazem (5.109).
Passo 2: Se 0 6 x0 6 b, ent˜ao lim
t→+∞ϕ1(t, x0) = 0.
De fato, como a derivada de ϕ1´e negativa, temos que a aplica¸c˜ao t → ϕ1(t, x0) ´e de-
crescente e, assim, lim
t→∞ϕ1(t, x0) existe. Com isso, ´e poss´ıvel provar que limt→+∞ϕ1(t, x0) = 0.
Denotamos por C a transversal {x = b} ao campo X. Pelo Passo 2, existe uma fun¸c˜ao
σ : (0, r) × R → R, de classe C∞ tal que
ϕ(σ(x,y), x, y) ∈ C, ∀(x, y) ∈ (0, r) × R.
Sendo assim, definimos h : (0, r) × R → R2 por
h(x, y) = ψ(−σ(x,y), ϕ(σ(x,y), x, y)).
Geometricamente, podemos interpretar h como a Figura 5.6.
Figura 5.6: Interpreta¸c˜ao geom´etrica da aplica¸c˜ao h.
𝑥 𝑥 𝑦 (𝑥, 𝑦) ℎ(𝑥, 𝑦) b
Como as segundas equa¸c˜oes dos sistemas (5.107) e (5.108) s˜ao iguais, segue que h ´e da forma
para alguma fun¸c˜ao real h1 apropriada. Observe que h ´e uma composi¸c˜ao de fun¸c˜oes
cont´ınuas e, logo, h ´e cont´ınua. Nosso pr´oximo objetivo ´e demonstrar que h posssui ex- tens˜ao cont´ınua para uma vizinhan¸ca da origem.
Passo 3: Mostraremos que, para 0 6 x 6 b, temos |h1(x, y)| 6 x.
De fato, para 0 6 x 6 b, utilizando a desigualdade (5.109), temos h1(x, y) = ψ1(−σ(x,y), ϕ1(σ(x,y), x, y))
6 ϕ1(−σ(x,y), ϕ1(σ(x,y), x, y))
= ϕ1(0, x, y),
isto ´e,
h1(x, y) 6 x.
Passo 4: h possui extens˜ao cont´ınua H = (H1, H2) para [0, r) × R.
De fato, de (5.110) basta verificar que h1 possui extens˜ao cont´ınua para [0, r) × R.
Mas, pelo Passo 3, ´e suficiente definir
H1(x, y) =
(
h1(x, y), se 0 < x < r
0, se x = 0.
A prova de que H ´e uma conjuga¸c˜ao segue de modo an´alogo ao Caso N´o.
5.2.3
TERCEIRO CASO - SELA-N ´O
Neste caso, vamos demonstrar o lema abaixo:
Lema 5.2.3 Se m ´e um n´umero par ≥ 2 e a ∈ R, ent˜ao existe uma vizinhan¸ca da origem na qual o campo X definido pelo sistema
˙x = xm(1 + axm−1) ˙ y = y (5.111)
´e C0-conjugado ao campo L dado pelo sistema ˙x = x2 ˙ y = y. (5.112)
Prova: O homeomorfismo ´e constru´ıdo como uma “colagem”dos homeomorfismos dos casos n´o e sela. O ponto principal a ser observado ´e que ambos os homeomorfismos constru´ıdos nos casos n´o e sela s˜ao iguais `a aplica¸c˜ao identidade sobre pontos do eixo vertical. Como ambos os homeomorfismos coincidem em um conjunto fechado, podemos definir uma fun¸c˜ao “colagem”cont´ınua.
Cap´ıtulo 6
SINGULARIDADES
NILPOTENTES
Neste cap´ıtulo vamos considerar campos vetoriais planares de classe Cω da forma
X = (P (x, y), Q(x, y)), onde P (x, y) e Q(x, y) s˜ao fun¸c˜oes reais anal´ıticas em um aberto de R2. Tal cap´ıtulo ´e baseado em Dumortier et al (2006).
Do Teorema de Grobman-Hartman e do Teorema 5.0.1, sabemos que no caso de campos de vetores planares, existem trˆes possibilidades topol´ogicas de retrato de fase local tanto em uma singularidade hiperb´olica quanto em uma singularidade semi-hiperb´olica isolada. Nesse cap´ıtulo verificaremos que existem sete possibilidades topol´ogicas de retra- tos de fase locais poss´ıveis para uma singularidade nilpotente isolada.
Vamos supor que X tenha uma singularidade nilpotente. Como visto no Cap´ıtulo 2 podemos transladar tal singularidade para origem por uma mundan¸ca de coordenadas. Assim, vamos considerar a origem como sendo a singularidade nilpotente de X. Sendo assim, da Teoria de Jordan, podemos supor que o campo X ´e da forma
˙x = y + A(x, y), ˙ y = B(x, y), (6.1)
com A e B s˜ao fun¸c˜oes de classe C∞com ordem de anulamento pelo menos dois na origem. O objetivo deste cap´ıtulo ´e demonstrar o seguinte resultado:
Teorema 6.0.1 (Singularidades Nilpotentes) Seja (0, 0) um ponto singular isolado do campo de vetores X dado por
˙x = y + A(x, y), ˙
y = B(x, y),
(6.2)
onde A e B s˜ao fun¸c˜oes reais anal´ıticas em uma vizinhan¸ca do ponto (0, 0) e, tamb´em, A(0, 0) = B(0, 0) = 0 e DA(0, 0) = DB(0, 0) = 0. Seja y = f (x) solu¸c˜ao da equa¸c˜ao
y + A(x, y) = 0 em uma vizinhan¸ca do ponto (0, 0). Consideremos F (x) = B(x, f (x)) e G(x) = (∂A/∂x + ∂B/∂y)(x, f (x)). Ent˜ao
[1.] se G(x) ≡ 0 e F (x) = axm+ o(|x|m), para m ∈ N e a 6= 0, ent˜ao
[1.i] se m ´e ´ımpar e a > 0, ent˜ao a origem de X ´e uma sela (Figura 6.1(a)) e se a < 0, ent˜ao a origem de X ´e ou um centro ou um foco (Figura 6.1 (b) ou (c) ou (d));
[1.ii] se m ´e par, ent˜ao a origem X ´e uma c´uspide (Figura 6.1(e));
[2.] se F (x) = axm+ o(|x|m) e G(x) = bxn+ o(|x|n), com n > 1, m ≥ 2, a 6= 0 e
b 6= 0, ent˜ao temos
[2.i] se m ´e par, e
[2.i.1] m < 2n + 1, ent˜ao a origem de X ´e uma c´uspide (Figura 6.1(e)); [2.i.2] m > 2n + 1, ent˜ao a origem de X ´e uma sela-n´o (Figura 6.1(f )); [2.ii] se m ´e ´ımpar e a > 0, ent˜ao a origem de X ´e uma sela (Figura 6.1(a)); [2.iii] se m ´e ´ımpar, a < 0 e
[2.iii.1] ou m < 2n + 1, ou m = 2n + 1 e b2+ 4a(n + 1) < 0, ent˜ao a origem
de X ´e ou um centro ou um foco (Figura 6.1(b) ou (c) ou (d));
[2.iii.2] n ´e ´ımpar e ou m > 2n + 1, ou m = 2n + 1 e b2 + 4a(n + 1) ≥ 0, ent˜ao o retrato de fase de X pr´oximo a origem consiste de um setor hiperb´olico e um setor el´ıptico (Figura 6.1(h));
[2.iii.3] n ´e par e ou m > 2n + 1, ou m = 2n + 1 e b2+ 4a(n + 1) ≥ 0, ent˜ao
a origem de X ´e um n´o (Figura 6.1(i) ou (j)). O n´o ´e atrator, se b < 0 e repulsor, se b > 0.
Figura 6.1: Possibilidades de retrato de fase no caso nilpotente.
(a) (b) (c) (d) (e)
(f) (g) (h) (i) (j)
6.0.1 caracteriza localmente os retratos de fase de campos pr´oximos `as singularidades nilpotentes isoladas.
Assim como no caso de singularidade semi-hiperb´olica, se as fun¸c˜oes A e B no sistema (6.2) s˜ao anal´ıticas e a singularidade (0, 0) ´e isolada, ent˜ao existe m > 2 tal que
dm
dxmf (0) 6= 0.
A verifica¸c˜ao desse fato ´e an´aloga a da Observa¸c˜ao 5.0.4.
6.1
RESULTADOS C
∞Utilizando os argumentos encontrados na p´agina 363 de Andronov et al (1973), verifica-se que a mudan¸ca da coordenadas u = x, v = y + A(x, y), ´e uma Cω−conjuga¸c˜ao
entre X e o campo definido pelo sistema
˙u = v,
˙v = f (u) + vg(u) + v2B(u, v),˜
(6.3)
onde j1f (0),g(0) = 0 e ˜B uma fun¸c˜ao de classe Cω em uma vizinhan¸ca da origem.
´
E poss´ıvel verificar que, embora a fun¸c˜ao F do Teorema 6.0.1 seja diferente da fun¸c˜ao f do sistema (6.3), ambas tˆem exatamente a mesma ordem de anulamento e, al´em disso, o coeficiente do primeiro termo n˜ao nulo da F´ormula de Taylor de ambas coincide. Ainda, a fun¸c˜ao g no sistema (6.3) ´e, em geral, diferente da fun¸c˜ao G do enunciado do teorema 6.0.1. Ambas podem ter ordem de anulamento distintas, inclusive uma pode ter ordem de anulamento infinito na origem e a outra n˜ao. Tamb´em pode ocorrer de G e g possu´ırem distintos primeiros coeficientes n˜ao nulos em suas respectivas F´ormulas de Taylor. Mas verifica-se que a aplica¸c˜ao do teorema 6.0.1 conduz `as mesmas conclus˜oes se subsituirmos G por g. Os detalhes podem ser encontrados na p´agina 363 de Andronov et al(1973).
Podemos ent˜ao supor que
f (x) = axm+ o(|x|m), (6.4)
com a 6= 0. Al´em disso, ou
g(x) = bxn+ o(|x|n), (6.5)
com b 6= 0 ou j∞g(0) = 0.
Lema 6.1.1 Se a 6= 0 ent˜ao existe uma vizinhan¸ca da origem na qual o campo dado pelo sistema (6.3) ´e linearmente equivalente ao campo dado pelo sistema da forma
˙ X = Y, ˙
Y = Xm+ ˜bY (Xn+ o(|X|n)) + o(|X|m) + O(|Y |2),
se m ´e par, ou da forma ˙ X = Y, ˙
Y = δXm+ ˜bY (Xn+ o(|X|n)) + o(|X|m) + O(|Y |2),
(6.7)
com δ = ±1, se m ´e ´ımpar. Al´em disso, ˜b = 1 se b 6= 0, e ˜b = 0 se b = 0.
Prova: Tomemos a mudan¸ca de coordenadas
(X(t), Y (t)) = (αu(γt), βv(γt)),
com αβγ 6= 0, sendo α, β e γ constantes a serem determinadas. Da´ı, ˙ X = αγY (t) β , (6.8) e de (6.4) e (6.5), temos ˙ Y = βγa αm X m+ βγo(|X|m) + γb αnY X n+ γY o(|X|n) + γ βY 2B(X, Y ). (6.9)
Tomemos, ent˜ao, αγ = β. Da´ı, ˙X = Y . Ainda
˙ Y = γ 2a αm−1X m+ γb αnY X
n+ o(|X|m) + Y o(|X|n) + O(|Y |2).
Suponha b 6= 0. Nesse caso, se m ´e par ent˜ao tomando α = m−1paγ2
temos γ2a/αm−1 = 1 e γ = αn/b resulta em γb/αn = 1. Caso m seja ´ımpar a argumenta¸c˜ao ´e an´aloga. O caso b = 0 tamb´em segue por argumentos similares.
6.2
RESULTADOS TOPOL ´OGICOS
Passamos agora ao estudo das singularidades do sistemas (6.6) e (6.7). N´os distin- guimos o estudo em trˆes casos, conforme o tipo de blow-up utilizado.
6.2.1
CASO m < 2n + 1
Come¸camos com a express˜ao
˙x = y,
˙
y = δxm+ y(bxn+ o(|x|n)) + O(|y|2),