Intervalos de confiança e testes de hipóteses para métricos

4 Intervalos de confiança e testes de hipóteses

4.1 Intervalos de confiança e testes de hipóteses para métricos

4.1.1 Intervalos de confiança e testes de hipóteses para o valor médio

No caso do valor médio, iremos considerar os casos em que a variância populacional é ou não conhecida.

Exemplo 4.1.Um fabricante produz peças de peso especificado em 204 gramas. Querendo estimar o verdadeiro peso médio num grande lote a fornecer ao seu maior cliente, seleccionou 35 peças ao acaso, que depois de pesadas forneceram os seguintes valores:

198; 198; 200; 202; 202; 202; 202; 204; 204; 204; 205; 205; 205; 205; 205; 206; 206; 206; 206; 206; 206; 207; 207; 207; 207; 208; 208; 208; 210; 210; 211; 211; 211;

212; 214.

(a) Apresente uma estimativa para o peso médio e para o desvio padrão do peso das peças do lote.

Comecemos por introduzir os valores observados. Para isso teremos que escrever:

dados<– c p198, 198, 200, 202, 202, 202, 202, 204, 204, 204, 205, 205, 205, 205, 205, 206, 206, 206, 206, 206, 206, 207, 207, 207, 207, 208, 208, 208,

210, 210, 211, 211, 211, 212, 214_q.

Para obter uma estimativa para o peso médio das peças do lote basta fazer

mean_{pdadosq ,}

obtendo-se x “ 205, 9429. Para determinar uma estimativa do desvio padrão basta fazer:

sd_{pdadosq ,} obtendo-se s “ 3, 709629.

(b) Suponha que o verdadeiro desvio padrão do peso das peças produzidas é 3, 5 gramas.

pb1q Construa um intervalo de confiança a 95% para o peso médio das

peças do lote;

Seja X - “peso, em gramas, das peças do lote”. Pretendemos um intervalo de confiança para o peso médio das peças.

∗ Parâmetro a estimar: µ; ∗ Tipo de população: desconhecida; ∗ Dimensão da amostra: n“ 35; ∗ Nível de confiança: 1´ α “ 0, 95; ∗ Outros dados: x“ 205, 9429 e σ “ 3, 5. Comecemos por definir os valores conhecidos:

n<– 35; sigma<– 3.5; alpha<– 0.05.

Os limites inferior e superior do intervalo de confiança podem ser obtidos fazendo:

meanpdadosq ` qnorm p1 ´ alpha{2, 0, 1q ˚ sigma{sqrt pnq , obtendo-se o intervalo determinista:

sI0,95r˚µ“ s204, 7833; 207, 1024r .

Estima-se, com um nível de confiança de 95%, que o peso mé- dio das peças do lote se situa entre 204, 7833 gramas e 207, 1024 gramas.

pb2q Teste, ao nível de significância de 5%, se o verdadeiro valor médio

do peso das peças produzidas é igual a 204 gramas. ∗ Parâmetro a testar: µ;

∗ Formulação das hipóteses: $ & % H0: µ“ 204 (teste bilateral) H1: µ‰ 204 ;

∗ Tipo de população: desconhecida; ∗ Nível de significância: α“ 0, 05; ∗ Dimensão da amostra: n“ 35; ∗ Outros dados: x“ 205, 9429 e σ “ 3, 5. Comecemos por definir os valores conhecidos:

mu_0 <– 204; sigma<– 3.5; alpha<– 0.05.

Podemos usar a função do R que permite obter o teste de hipóteses bilateral fazendo:

z.testpdados, mu “ mu_0, sd “ sigma, conf.level “ 1 ´ alpha, alternative“ ”two.sided”q ,

obtendo-se o seguinte output: One Sample z ´ test data: dados

z_{“ 3, 284, n “ 35, 000, Std. Dev. “ 3, 500, Std. Dev. of the} sample mean “ 0, 592, p ´ value “ 0, 001023

alternative hypothesis: true mean is not equal to 204 95percent confidence interval:

204, 7833 207, 1024 sample estimates: mean of dados

205, 9429

Neste output podemos encontrar as seguintes informações: ∗ o valor da estatística de teste: Z0“ 3, 284;

∗ a dimensão da amostra: n“ 35; ∗ o desvio padrão usado no teste: σ“ 3, 5; ∗ o desvio padrão da média amostral: ?σ_n_{“ 0, 592;}

∗ o p´ value ou o valor p: p ´ value “ 0, 001023; ∗ a hipótese alternativa: H1: µ‰ 204;

∗ o intervalo de confiança bilateral a 95%: ȷ X´?σ_nZ1´α 2; X` σ ?_nZ1´α 2 „ “ s204, 7833; 207, 1024r ;

∗ a estimativa da média amostral: x“ 205, 9429. A conclusão pode ser retirada de duas formas:

∗ dado que α“ 0, 05 ě 0, 001023 “ p ´ value, deve-se rejeitar H0ao nível de significância de 5%;

∗ dado que o intervalo de confiança bilateral encontrado não inclui o valor µ “ 204, deve-se rejeitar H0ao nível de signi-

ficância de 5%.

pb3q Teste, ao nível de significância de 5%, se o verdadeiro valor médio

do peso das peças produzidas é de pelo menos 204 gramas. ∗ Parâmetro a testar: µ;

∗ Formulação das hipóteses: $

& %

H0: µě 204

(teste unilateral à esquerda) H1: µă 204

∗ Tipo de população: desconhecida; ∗ Nível de significância: α“ 0, 05; ∗ Dimensão da amostra: n“ 35;

∗ Outros dados: x“ 205, 9429 e σ “ 3, 5. Comecemos por definir os valores conhecidos:

mu_0 <– 204; sigma<– 3.5; alpha<– 0.05.

Podemos usar a função do R que permite obter o teste de hipóteses unilateral à esquerda fazendo:

z.test_{pdados, mu “ mu_0, sd “ sigma, conf.level “ 1 ´ alpha,} alternative_{“ ”less”q ,}

obtendo-se o seguinte output: One Sample z ´ test data: dados

z_{“ 3, 284, n “ 35, 000, Std. Dev. “ 3, 500, Std. Dev. of the} sample mean “ 0, 592, p ´ value “ 0, 9995

alternative hypothesis: true mean is less than 204 95percent confidence interval:

´Inf 206, 916 sample estimates: mean of dados

205, 9429

Neste output podemos encontrar as seguintes informações: ∗ o valor da estatística de teste: Z0“ 3, 284;

∗ a dimensão da amostra: n“ 35; ∗ o desvio padrão usado no teste: σ“ 3, 5; ∗ o desvio padrão da média amostral: ?σ_n_{“ 0, 592;}

∗ o p´ value ou o valor p: p ´ value “ 0, 9995; ∗ a hipótese alternativa: H1: µă 204;

∗ o intervalo de confiança unilateral a 95%, com limite superior X_`_?σ nZ1´α: ȷ ´8; X `?σ_nZ1´α „ “ s´8; 206, 916r ;

∗ a estimativa da média amostral: x“ 205, 9429.

A conclusão pode ser retirada de duas formas:

∗ dado que α“ 0, 05 ă 0, 9995 “ p´value, não se deve rejeitar H0ao nível de significância de 5%;

∗ dado que o intervalo de confiança unilateral encontrado inclui o valor µ “ 204, não se deve rejeitar H0ao nível de signifi-

cância de 5%.

pb4q Teste, ao nível de significância de 5%, se o verdadeiro valor médio

do peso das peças produzidas é superior a 204 gramas. ∗ Parâmetro a testar: µ;

∗ Formulação das hipóteses: $

& %

H0: µď 204

(teste unilateral à direita) H1: µą 204

mu_0 <– 204; sigma<– 3.5; alpha<– 0.05.

Podemos usar a função do R que permite obter o teste de hipóteses unilateral à direita fazendo:

z.test_{pdados, mu “ mu_0, sd “ sigma, conf.level “ 1 ´ alpha,} alternative“ ”greater”q ,

obtendo-se o seguinte output: One Sample z ´ test data: dados

z_{“ 3, 284, n “ 35, 000, Std. Dev. “ 3, 500, Std. Dev. of the} sample mean “ 0, 592, p ´ value “ 0, 0005117

alternative hypothesis: true mean is greater than 204 95percent confidence interval:

sample estimates: mean of dados

205, 9429

Neste output podemos encontrar as seguintes informações: ∗ o valor da estatística de teste: Z0“ 3, 284;

∗ a dimensão da amostra: n“ 35; ∗ o desvio padrão usado no teste: σ“ 3, 5; ∗ o desvio padrão da média amostral: ?σ_n_{“ 0, 592;}

∗ o p´ value ou o valor p: p ´ value “ 0, 0005117; ∗ a hipótese alternativa: H1: µą 204;

∗ o intervalo de confiança unilateral a 95%, com limite inferior X_´_?σ nZ1´α: ȷ X´?σ_nZ1´α;`8; „ “ s204, 9697; `8r ;

∗ a estimativa da média amostral: x“ 205, 9429. A conclusão pode ser retirada de duas formas:

∗ dado que α“ 0, 05 ě 0, 0005117 “ p ´ value, deve-se rejeitar H0ao nível de significância de 5%;

∗ dado que o intervalo de confiança unilateral encontrado não inclui o valor µ “ 204, deve-se rejeitar H0ao nível de signi-

ficância de 5%.

(c) Qual deve ser a dimensão mínima da amostra para que a margem de erro do intervalo de confiança a 95% para o peso médio seja inferior a 1, 75?

Queremos determinar n tal que Erro ă 1, 75. Comecemos por definir os valores conhecidos:

erro<– 1.75; sigma<– 3.5; alpha<– 0.05. Basta fazer

n<– pqnorm p1 ´ alpha{2, 0, 1q ˚ sigma{erroq ˆ2

e em seguida pedimos o valor arredondado por excesso fazendo ceilingpnq ,

obtendo-se a dimensão mínima de n “ 16 peças.

(d) Suponha que o verdadeiro desvio padrão do peso das peças produzidas é desconhecido. Construa um intervalo de confiança a 95% para o peso médio das peças do lote;

Seja X - “peso, em gramas, das peças do lote”. Pretendemos um intervalo de confiança para o verdadeiro peso médio das peças.

– Parâmetro a estimar: µ; – Tipo de população: desconhecida; – Dimensão da amostra: n “ 35; – _{Nível de confiança: 1 ´ α “ 0, 95;}

– Outros dados: x “ 205, 9429 e s “ 3, 709629. Comecemos por definir os valores conhecidos:

n<– 35; alpha<– 0.05.

Os limites inferior e superior do intervalo de confiança podem ser obtidos fazendo:

meanpdadosq ´ qnorm p1 ´ alpha{2, 0, 1q ˚ sd pdadosq {sqrt pnq e

meanpdadosq ` qnorm p1 ´ alpha{2, 0, 1q ˚ sd pdadosq {sqrt pnq , obtendo-se o intervalo determinista:

sI0,95r˚µ“ s204, 7139; 207, 1718r .

Estima-se, com um nível de confiança de 95%, que o peso médio das peças do lote se situa entre 204, 7138 gramas e 207, 1718 gramas.

(e) Suponha agora que a variável em estudo segue uma distribuição normal e que o verdadeiro desvio padrão do peso das peças produzidas é desconhecido.

pe1q Construa um intervalo de confiança a 95% para o peso médio das

peças do lote;

Seja X - “peso, em gramas, das peças do lote”. Pretendemos um intervalo de confiança para o verdadeiro peso médio das peças.

∗ Parâmetro a estimar: µ; ∗ Tipo de população: normal; ∗ Dimensão da amostra: n“ 35; ∗ Nível de confiança: 1´ α “ 0, 95;

∗ Outros dados: x“ 205, 9429 e s “ 3, 709629. Comecemos por definir os valores conhecidos:

n<– 35; alpha<– 0.05.

Os limites inferior e superior do intervalo de confiança podem ser obtidos fazendo:

meanpdadosq ´ qt p1 ´ alpha{2, n ´ 1q ˚ sd pdadosq {sqrt pnq e

meanpdadosq ` qt p1 ´ alpha{2, n ´ 1q ˚ sd pdadosq {sqrt pnq , obtendo-se o intervalo determinista:

sI0,95r˚µ“ s204, 6686; 207, 2172r .

Estima-se, com um nível de confiança de 95%, que o peso mé- dio das peças do lote se situa entre 204, 6686 gramas e 207, 2172 gramas.

pe2q Teste, ao nível de significância de 5%, se o verdadeiro valor médio

do peso das peças produzidas é igual a 204 gramas. ∗ Parâmetro a testar: µ;

∗ Formulação das hipóteses: $ & % H0: µ“ 204 (teste bilateral) H1: µ‰ 204 ;

∗ Tipo de população: normal; ∗ Nível de significância: α“ 0, 05; ∗ Dimensão da amostra: n“ 35;

∗ Outros dados: x“ 205, 9429 e s “ 3, 709629. Comecemos por definir os valores conhecidos:

mu_0 <– 204; alpha<– 0.05.

Podemos usar a função do R que permite obter o teste de hipóteses bilateral fazendo:

t.testpdados, mu “ mu_0, conf.level “ 1 ´ alpha, alternative“ ”two.sided”q ,

obtendo-se o seguinte output: One Sample t ´ test data: dados

t“ 3, 0984, df “ 34, p ´ value “ 0, 003889 alternative hypothesis: true mean is not equal to 204 95percent confidence interval:

204, 6686 207, 2172 sample estimates: mean of dados

205, 9429

Neste output podemos encontrar as seguintes informações: ∗ o valor da estatística de teste: T0“ 3, 0984;

∗ os graus de liberdade: df“ 34;

∗ o p´ value ou o valor p: p ´ value “ 0, 003889; ∗ a hipótese alternativa: H1: µ‰ 204;

∗ o intervalo de confiança bilateral a 95%: ȷ X´?S_ntn´1;1´α 2; X` S ?_ntn´1;1´α 2 „ “ s204, 6686; 207, 2172r ;

∗ a estimativa da média amostral: x“ 205, 9429. A conclusão pode ser retirada de duas formas:

∗ dado que α“ 0, 05 ě 0, 003889 “ p ´ value, deve-se rejeitar H0ao nível de significância de 5%;

∗ dado que o intervalo de confiança bilateral encontrado não inclui o valor µ “ 204, deve-se rejeitar H0ao nível de signi-

ficância de 5%.

pe3q Teste, ao nível de significância de 5%, se o verdadeiro valor médio

do peso das peças produzidas é de pelo menos 204 gramas. ∗ Parâmetro a testar: µ;

∗ Formulação das hipóteses: $

& %

H0: µě 204

(teste unilateral à esquerda) H1: µă 204

∗ Tipo de população: normal; ∗ Nível de significância: α“ 0, 05; ∗ Dimensão da amostra: n“ 35;

∗ Outros dados: x“ 205, 9429 e s “ 3, 709629. Comecemos por definir os valores conhecidos:

mu_0 <– 204; alpha<– 0.05.

Podemos usar a função do R que permite obter o teste de hipóteses unilateral à esquerda fazendo:

t.testpdados, mu “ mu_0, conf.level “ 1 ´ alpha, alternative_{“ ”less”q ,}

obtendo-se o seguinte output: One Sample t ´ test data: dados

t_{“ 3, 284, df “ 34, p ´ value “ 0, 9981}

alternative hypothesis: true mean is less than 204 95percent confidence interval:

´Inf 207, 0031 sample estimates: mean of dados

205, 9429

Neste output podemos encontrar as seguintes informações: ∗ o valor da estatística de teste: T0“ 3, 0984;

∗ os graus de liberdade: df“ 34;

∗ o p´ value ou o valor p: p ´ value “ 0, 9981; ∗ a hipótese alternativa: H1: µă 204;

∗ o intervalo de confiança unilateral a 95%, com limite superior X_`_?S ntn´1;1´α: ȷ ´8; X `?S_ntn´1;1´α „ “ s´8; 207, 0031r ;

∗ a estimativa da média amostral: x“ 205, 9429. A conclusão pode ser retirada de duas formas:

∗ dado que α“ 0, 05 ă 0, 9981 “ p´value, não se deve rejeitar H0ao nível de significância de 5%;

∗ dado que o intervalo de confiança unilateral encontrado inclui o valor µ “ 204, não se deve rejeitar H0ao nível de signifi-

cância de 5%.

pe4q Teste, ao nível de significância de 5%, se o verdadeiro valor médio

do peso das peças produzidas é superior a 204 gramas. ∗ Parâmetro a testar: µ;

∗ Formulação das hipóteses: $

& %

H0: µď 204

(teste unilateral à direita) H1: µą 204

∗ Tipo de população: normal; ∗ Nível de significância: α“ 0, 05; ∗ Dimensão da amostra: n“ 35;

∗ Outros dados: x“ 205, 9429 e s “ 3, 709629. Comecemos por definir os valores conhecidos:

mu_0 <– 204; alpha<– 0.05.

Podemos usar a função do R que permite obter o teste de hipóteses unilateral à direita fazendo:

t.test_{pdados, mu “ mu_0, conf.level “ 1 ´ alpha,} alternative_{“ ”greater”q ,}

obtendo-se o seguinte output: One Sample t ´ test data: dados

t“ 3, 0984, df “ 34, p ´ value “ 0, 001944 alternative hypothesis: true mean is greater than 204 95percent confidence interval:

204, 8826 Inf sample estimates: mean of dados

205, 9429

Neste output podemos encontrar as seguintes informações: ∗ o valor da estatística de teste: T0“ 3, 284;

∗ os graus de liberdade: df“ 34;

∗ o p´ value ou o valor p: p ´ value “ 0, 001944; ∗ a hipótese alternativa: H1: µą 204;

∗ o intervalo de confiança unilateral a 95%, com limite inferior X_´_?S ntn´1;1´α: ȷ X_´?S_ntn´1;1´α;`8; „ “ s204, 8826; `8r ;

∗ a estimativa da média amostral: x“ 205, 9429. A conclusão pode ser retirada de duas formas:

∗ dado que α“ 0, 05 ě 0, 001944 “ p ´ value, deve-se rejeitar H0ao nível de significância de 5%;

∗ dado que o intervalo de confiança unilateral encontrado não inclui o valor µ “ 204, deve-se rejeitar H0ao nível de signi-

ficância de 5%.

Nota 4.1.Recordemos que seja ou não o desvio padrão populacional conhe- cido, independentemente do tipo de população da variável aleatória, desde que a amostra seja suficientemente grande pn ą 30q, podemos sempre usar a distribuição normal como distribuição amostral.

4.1.2 Intervalos de confiança e testes de hipóteses para a variância Para que o teste utilizado esteja disponível, será necessário carregar um pa- cote específico, escrevendo library(TeachingDemos).

Exemplo 4.2.Seleccionou-se aleatoriamente uma amostra da cotação diá- ria, em euros, de uma empresa, em relação aos dois últimos meses. Os dados obtidos, após tratamento resultaram na seguinte informação:

10, 1; 10, 3; 9, 9; 9, 8; 10, 0; 10, 2; 10, 4; 10, 6; 10, 1. A cotação diária da empresa é normalmente distribuída.

(a) Apresente uma estimativa para a cotação média diária e para o desvio padrão da cotação diária, em euros, desta empresa.

Comecemos por introduzir os valores observados. Para isso teremos que escrever:

dados<– c p9.8, 9.9, 10.0, 10.1, 10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.6q. Para obter uma estimativa para a cotação média diária, em euros, de uma empresa basta fazer

meanpdadosq , obtendo-se 10, 15556.

Para determinar uma estimativa do desvio padrão basta fazer: sd_{pdadosq ,}

obtendo-se s “ 0, 2505549.

(b) Construa um intervalo de confiança a 95% para o desvio padrão da cotação diária, em euros, desta empresa;

Seja X - “cotações diárias da empresa”. Pretendemos um intervalo de confiança para o desvio padrão da cotação diária, em euros, desta empresa.

– Parâmetro a estimar: σ; – Tipo de população: normal; – Dimensão da amostra: n “ 9; – Nível de confiança: 1 ´ α “ 0, 95;

– Outros dados: x “ 10, 15556 e s “ 0, 2505549. Comecemos por definir os valores conhecidos:

alpha<– 0.05.

Os limites inferior e superior do intervalo de confiança podem ser obtidos fazendo:

pn ´ 1q ˚ psd pdadosqq ˆ2{qchisq p1 ´ alpha{2, n ´ 1q e

pn ´ 1q ˚ psd pdadosqq ˆ2{qchisq palpha{2, n ´ 1q , obtendo-se o intervalo determinista:

sI0,95r˚σ“ s0, 02864187; 0, 2304056r .

Estima-se, com um nível de confiança de 95%, que o desvio padrão da cotação diária, em euros, desta empresa se situa entre 0, 02864187 euros e 0, 2304056 euros.

(c) Afirma-se que a variância das cotações da empresa é igual a 0, 04. Con- siderando um nível de significância de 5%, verifique a validade desta afirmação.

–Parâmetro a testar: σ2_;

–Formulação das hipóteses: $ & % H0: σ2“ 0, 04 (teste bilateral) H1: σ2‰ 0, 04 ;

–Tipo de população: normal; –Nível de significância: α “ 0, 05; –Dimensão da amostra: n “ 9;

–Outros dados: x “ 10, 15556 e s “ 0, 2505549. Comecemos por definir os valores conhecidos:

sigma<– 0.2; alpha<– 0.05.

Podemos usar a função do R que permite obter o teste de hipóteses bilateral fazendo:

sigma.test_{pdados, sigma, conf.level “ 1 ´ alpha,} alternative_{“ ”two.sided”q ,}

obtendo-se o seguinte output:

One Sample Chi-squared test for variance data: dados

X´ squared “ 12, 5556, df “ 8, p ´ value “ 0, 2562 alternative hypothesis: true variance is not equal to 0, 04 95percent confidence interval:

0, 02864187 0, 23040562 sample estimates: var of dados

0, 06277778

Neste output podemos encontrar as seguintes informações: – o valor da estatística de teste: Q0“ 12, 5556;

– os graus de liberdade: df “ 8;

– o p ´ value ou o valor p: p ´ value “ 0, 2562; – a hipótese alternativa: H1: σ2‰ 0, 04;

– o intervalo de confiança bilateral a 95%: ﬀ pn ´ 1q S2 χ2 n´1;1´α 2 ; pn´ 1q S 2 χ2 n´1;α 2 « “ s0, 02864187; 0, 23040562r;

– a estimativa da variância amostral: s2

“ 0, 06277778. A conclusão pode ser retirada de duas formas:

– dado que α “ 0, 05 ă 0, 2562 “ p ´ value, não se deve rejeitar H0

ao nível de significância de 5%;

– dado que o intervalo de confiança bilateral encontrado inclui o valor σ2

“ 0, 04, não se deve rejeitar H0ao nível de significância

de 5%.

(d) Afirma-se que a variância das cotações da empresa é pelo menos 0, 04. Considerando um nível de significância de 5%, verifique a validade desta afirmação.

–Formulação das hipóteses: $

& %

H0: σ2ě 0, 04

(teste unilateral à esquerda) H1: σ2ă 0, 04

;

–Tipo de população: normal; –Nível de significância: α “ 0, 05; –Dimensão da amostra: n “ 9;

–Outros dados: x “ 10, 15556 e s “ 0, 2505549. Comecemos por definir os valores conhecidos:

sigma<– 0.2; alpha<– 0.05.

Podemos usar a função do R que permite obter o teste de hipóteses unilateral à esquerda fazendo:

sigma.test_{pdados, sigma, conf.level “ 1 ´ alpha,} alternative_{“ ”less”q ,}

obtendo-se o seguinte output:

One Sample Chi-squared test for variance data: dados

X´ squared “ 12, 5556, df “ 8, p ´ value “ 0, 8719 alternative hypothesis: true variance is not equal to 0, 04 95percent confidence interval:

0, 0000000 0, 1837867 sample estimates: var of dados

0, 06277778

Neste output podemos encontrar as seguintes informações: –o valor da estatística de teste: Q0“ 12, 5556;

–os graus de liberdade: df “ 8;

–o p ´ value ou o valor p: p ´ value “ 0, 8719;

– a hipótese alternativa: H1: σ2ă 0, 04;

– o intervalo de confiança unilateral a 95%, com limite superior

pn´1qS2 χ2 n´1;α: „ 0, 0;pn ´ 1q S 2 χ2 n´1;α „ “ r0, 0000000; 0, 1837867r;

– a estimativa da variância amostral: s2

“ 0, 06277778. A conclusão pode ser retirada de duas formas:

– dado que α “ 0, 05 ă 0, 8719 “ p ´ value, não se deve rejeitar H0

ao nível de significância de 5%;

– dado que o intervalo de confiança unilateral encontrado inclui o valor σ2

“ 0, 04, não se deve rejeitar H0ao nível de significância

de 5%.

(e) Afirma-se que a variância das cotações da empresa é no máximo 0, 03. Considerando um nível de significância de 5%, verifique a validade desta afirmação.

– Parâmetro a testar: σ2_;

– Formulação das hipóteses: $

& %

H0: σ2ď 0, 03

(teste unilateral à direita) H1: σ2ą 0, 03

;

– Tipo de população: normal; – Nível de significância: α “ 0, 05; – Dimensão da amostra: n “ 9;

– Outros dados: x “ 10, 15556 e s “ 0, 2505549. Comecemos por definir os valores conhecidos:

sigma<– sqrt p0.03q; alpha<– 0.05.

Podemos usar a função do R que permite obter o teste de hipóteses unilateral à direita fazendo:

alternative“ ”greater”q , obtendo-se o seguinte output:

One Sample Chi-squared test for variance data: dados

X_{´ squared “ 16, 741, df “ 8, p ´ value “ 0, 03292} alternative hypothesis: true variance is not equal to 0, 03 95percent confidence interval:

0, 03238615 Inf sample estimates: var of dados

0, 06277778

Neste output podemos encontrar as seguintes informações: –o valor da estatística de teste: Q0“ 16, 741;

–os graus de liberdade: df “ 8;

–o p ´ value ou o valor p: p ´ value “ 0, 03292; –a hipótese alternativa: H1: σ2ă 0, 03;

–o intervalo de confiança unilateral a 95%, com limite inferior

pn´1qS2 χ2 n´1;1´α: ȷ pn ´ 1q S2 χ2 n´1;1´α ;_`8 „ “ s0, 03238615; `8r ;

–a estimativa da variância amostral: s2

“ 0, 06277778. A conclusão pode ser retirada de duas formas:

–dado que α “ 0, 05 ą 0, 03292 “ p ´ value, deve-se rejeitar H0ao

nível de significância de 5%;

–dado que o intervalo de confiança unilateral encontrado não inclui o valor σ2

“ 0, 03, deve-se rejeitar H0ao nível de significância de

5%.

4.1.3 Intervalos de confiança e testes de hipóteses para a propor- ção

Exemplo 4.3.Uma empresa pretende lançar um novo produto numa cidade de um milhão de habitantes. No estudo de mercado realizado foram inquiridas 1000pessoas, tendo 800 delas afirmado que muito dificilmente iriam utilizar aquele novo produto.

(a) Construa um intervalo de confiança a 95% para a proporção de habitantes que utilizarão o novo produto.

Seja X - “Número de pessoas que pretendem utilizar um determinado produto”. Pretendemos um intervalo de confiança para a proporção de habitantes que utilizarão o novo produto.

– Parâmetro a estimar: p; – Tipo de população: Bernoulli; – Dimensão da amostra: n “ 1000; – Nível de confiança: 1 ´ α “ 0, 95; – Outros dados: pp “ 200

1000“ 0, 2.

Comecemos por definir os valores conhecidos: n<– 1000;

p_e <– 0.2; alpha<– 0.05.

Observe-se que pp “ p_e “ 0, 2. Os limites inferior e superior do intervalo de confiança podem ser obtidos fazendo:

p_e ´ qnorm p1 ´ alpha{2, 0, 1q ˚ sqrt pp_e ˚ p1 ´ p_eq {nq e

p_e ` qnorm p1 ´ alpha{2, 0, 1q ˚ sqrt pp_e ˚ p1 ´ p_eq {nq , obtendo-se o intervalo determinista:

sI0,95r˚µ“ s0, 1752082; 0, 2247918r .

Estima-se, com um nível de confiança de 95%, que a proporção de habitantes que utilizarão o novo produto se situe entre 17, 52082% e 22, 47918%.

(b) Teste, ao nível de significância de 5%, se a verdadeira proporção de habitantes que utilizarão o novo produto pode ser considerada igual a 0, 18;

–Parâmetro a testar: p; –Formulação das hipóteses:

$ & % H0: p“ 0, 18 (teste bilateral) H1: p‰ 0, 18 ;

–Tipo de população: Bernoulli; –Nível de significância: α “ 0, 05; –Dimensão da amostra: n “ 1000; –Outros dados: pp “ 0, 2.

Para que o output contenha todas as informações e permita uma in- terpretação mais simples, teremos que introduzir, directamente na fun- ção do R, o número de sucessos p200q, o número total de observações p1000q, o valor do parâmetro em teste p0, 18q. Comecemos por definir os restantes valores conhecidos:

alpha<– 0.05.

Podemos usar a função do R que permite obter o teste de hipóteses bilateral fazendo:

prop.testpx “ 200, n “ 1000, p “ 0.18, conf.level “ 1 ´ alpha, alternative“ ”two.sided”, correct “ F ALSEq , obtendo-se o seguinte output:

1-sample proportions test without continuity correction data: 200 out of 1000, null probability 0, 18

X´ squared “ 2, 71, df “ 1, p ´ value “ 0, 09972 alternative hypothesis: true p is not equal to 0, 18 95percent confidence interval:

0, 1763771 0, 2259190

sample estimates: p

0, 2

Neste output podemos encontrar as seguintes informações: – o número de sucessos: 200;

– o número total de observações: n “ 1000; – o valor do parâmetro em teste: p “ 0, 18;

– o valor da estatística de teste: Q0“ 2, 71, pelo que Z0será obtido

fazendo Z0“?Q0“ 1, 646;

– os graus de liberdade: df “ 1;

– o p ´ value ou o valor p: p ´ value “ 0, 09972; – a hipótese alternativa: H1: p‰ 0, 18;

– o intervalo de confiança bilateral a 95%: s0, 1763771; 0, 2259190r ; – a estimativa da proporção amostral: pp “ 0, 2. A conclusão pode ser retirada de duas formas:

– dado que α “ 0, 05 ă 0, 09972 “ p ´ value, não se deve rejeitar H0ao nível de significância de 5%;

– dado que o intervalo de confiança bilateral encontrado inclui o valor p “ 0, 18, não se deve rejeitar H0 ao nível de significância

de 5%.

(c) Teste, ao nível de significância de 5%, se a verdadeira proporção de habitantes que utilizarão o novo produto pode ser considerada inferior a 0, 18.

– Parâmetro a testar: µ; – Formulação das hipóteses:

$ & %

H0: pě 0, 18

(teste unilateral à esquerda) H1: pă 0, 18

–Nível de significância: α “ 0, 05; –Dimensão da amostra: n “ 1000; –Outros dados: pp “ 0, 2.

alpha<– 0.05.

Podemos usar a função do R que permite obter o teste de hipóteses bilateral fazendo:

prop.test_{px “ 200, n “ 1000, p “ 0.18, conf.level “ 1 ´ alpha,} alternative“ ”less”, correct “ F ALSEq , obtendo-se o seguinte output:

1-sample proportions test without continuity correction data: 200 out of 1000, null probability 0, 18

X´ squared “ 2, 71, df “ 1, p ´ value “ 0, 9501 alternative hypothesis: true p is less than 0, 18 95percent confidence interval:

0, 0000000 0, 2216031 sample estimates: p

0, 2

Neste output podemos encontrar as seguintes informações: –o número de sucessos: 200;

–o número total de observações: n “ 1000; –o valor do parâmetro em teste: p “ 0, 18;

–o valor da estatística de teste: Q0“ 2, 71, pelo que Z0será obtido

fazendo Z0“?Q0“ 1, 646;

–os graus de liberdade: df “ 1;

– o p ´ value ou o valor p: p ´ value “ 0, 9501; – a hipótese alternativa: H1: pă 0, 18;

No documento O software estatístico R. 1 Cálculo combinatório. 1.1 Amostras aleatórias (páginas 40-66)