Introdução a Transformada Fourier

Para Protázio (2002), a Transformada Fourier é possivelmente a mais conhecida de todos os modelos dentre as inúmeras ferramentas existentes para análise de sinais. Ela dis- põe como característica relevante o fato de fragmentar (decompor) os sinais em componentes de senos e cossenos a partir de diferentes frequências. Com relação aos resíduos das medidas calculadas pelo processamento através de dados GPS, a FT transformará os dados residuais da observação no domínio do tempo observado (sem perda da originalidade) e converterá para o domínio da frequência (número de onda, no caso espacial). Essa fragmentação poderá ser feita pela filtragem passa-banda FT, a qual permite remover as frequências indesejadas devido ao ruído inerente ao sistema GPS. Dessa forma, permite separar a maior parte das baixas fre- quências que surgem a partir do efeito do multicaminhamento resistente ao pós- processamento das observáveis (SCHAAL e LAROCCA, 2002; LAROCCA, 2004; LAROC- CA e LAROCCA, 2010). Além do exposto, a função original, ao ser transformada, se apre- sentará na magnitude da frequência e permitirá determinar a amplitude e frequência da onda transformada no domínio do tempo.

A análise de Fourier clássica tem o seu marco inicial na física-matemática e os es- tudos tradicionais desenvolvidos por Fourier foram produzidos para resolver equações dife- renciais que envolviam calor e ondas eletromagnéticas. Vale ressaltar que o objetivo funda- mental era a aproximação de uma função no domínio do tempo por uma combinação linear de componentes senoidais. Ou seja, a FT permite transformar uma função periódica (0) numa função reestruturada baseada em equações de seno e cosseno sem perder a sua essência da função original (BUTKOV, 1978; MORETTIN, 2014). A Equação 3.3.1 apresenta o caminho dessa reestruturação:

(0) = 1

+ + ∑ {34cos(-4 ) + 84sin(-4 ) ;

4< } , Equação 3.3.1

Sendo que os coeficientes 34 e 84 são dados por:

34 = +_>?_{@> +}> +⁄_⁄ ( )cos(-4 ) , ( ≥ 0 Equação 3.3.2

84 =_>+?_{@> +}> +⁄_⁄ ( )sin(-4 ) , ( ≥ 1 Equação 3.3.3

A Transformada Fourier tem a ideia principal inspirada nas séries de Fourier e se trata de um modelo matemático capaz de identificar e quantificar a contribuição em que cada função seno e cosseno representa na série temporal. Por outra ótica, a TF apresenta caracterís- ticas proporcionais a um limite de uma combinação linear, representada por ondas senoidais e com vasta utilização no conjunto de análises aos sinais estacionários. Nesse caso, a função que não apresentar constante periodicidade (aperiódica) deverá ser considerada periódica, desde que a função limite apresente período → ∞ e ∆- → 0 (MORETTIN, 2014; BOLZAN, 2006). Dessa forma, refere-se às funções contínuas e representa todo tipo de função integrável

f(t) como a soma de exponenciais complexas com frequência angular F (em rd/s) e amplitude

complexa (-). No mesmo caminho, a Equação 3.3.4 representa a série temporal de Fourier como:

_{( ) = ?}; (-)"G/ _-

@; Equação 3.3.4

sendo (-) representado por:

(-) = _+H?; ( )"@G/

@; Equação 3.3.5

A ( ) é a série temporal e - é a frequência em que cada componente oscilatório disposto no sinal é representado por diferentes frequências encontradas na série. A exponenci- al " representa a transformação da série para o espaço das frequências.

Dentre as formas gráficas que ilustram os procedimentos de aplicação da Trans- formada Fourier de forma didática, a proposta por Bolzan (2006) dispõe de maior facilidade de entendimento. Nela, Bolzan utiliza três séries temporais de funções senos em um intervalo de 16 segundos em amplitudes e frequências diferentes de 1, 10 e 5 Hz, conforme Figura 3.13. Dentre as formas gráficas que ilustram os procedimentos de aplicação da Trans- formada Fourier de forma didática, a proposta por Bolzan (2006) dispõe de maior facilidade de entendimento. Nesse estudo, Bolzan utiliza três séries temporais de funções senos em um intervalo de 16 segundos em amplitudes e frequências diferentes de 1, 10 e 5 Hz, conforme Figura 3.13.

Figura 3.13 – Série temporal formada a partir três funções senoidais com frequências de 1, 10 e 5 Hz e amplitudes diferentes - Fonte: adaptado de Bolzan (2006)

O exemplo ilustrativo proposto por Bolzan combina a soma das séries em duas etapas, cujo resultado será similar aos conjuntos de funções no domínio do tempo encontrados na natureza; elas também são próximas aos valores de frequência encontrados pelos resíduos registrados pelas observações GPS oriundos da estrutura excitada. Na primeira soma, entre 0 e 8 s, utiliza-se as três séries propostas; na segunda soma, entre 8 e 16 s, utiliza-se apenas as frequências de 1 e 10 Hz. Para ilustrar, a Figura 3.14 apresenta os resultados dos somatórios das frequências nos dois intervalos. É possível perceber que o gráfico apresenta comporta- mento mais desordenado na soma do primeiro intervalo, quando comparado ao resultado do somatório da segunda metade da função resultante. Essa característica é peculiar à quantidade de funções temporais que originam a função resultante e a qualidade distintiva é pertinente. Ao se fazer uma analogia com as observações GPS, observa-se que o gráfico proveniente do processamento dos dados dispõe de erros inerentes ao sistema GPS e também da série que representa a movimentação dinâmica da estrutura. Dessa forma, o conjunto de funções resul- tantes será apresentado de forma mais desordenada e de difícil percepção.

Figura 3.14 – Série temporal originada pelas somas combinadas das séries temporal senoidal em diferentes amplitudes e frequências - Fonte: adaptado de Bolzan (2006)

Ao se aplicar a Transformada Fourier na série temporal combinada por diferentes frequências será possível identificar, na Figura 3.15, os picos do espectro de energia sobre suas respectivas frequências, o que demonstra a característica fundamental da Transformada Fourier Morettin (2014). Observa-se que cada pico de frequência isolada apresenta diferentes níveis de energia no eixo das ordenadas e que cada frequência apresenta seu comportamento de forma isolada. Isso se torna fundamental para a compreensão da resposta dinâmica de uma estrutura, pois a mesma frequência pode apresentar diferentes intensidades em distintos inter- valos de tempo.

Figura 3.15 – Disposição das frequências e dos espectros de energia resultante após a aplicação da TF - Fonte: adaptado de Bolzan (2006)

Ao se aplicar a FT sobre a série temporal, originada pelas somas combinadas das funções senoidais, observou-se que a energia resultante não apresentou disponibilidade tem- poral. Essa peculiaridade é exatamente a principal limitação da transformação inicial proposta por Fourier, pois o produto perde todas as informações do seu posicionamento temporal quando se transforma o sinal sob o domínio do tempo para o domínio da frequência e isso impossibilita identificar o momento em que ocorreu o evento. Isso não ocorre quando o even- to é estacionário e não se altera ao longo do tempo; todavia, a característica de qualquer ponte dispõe de eventos com característica totalmente aleatória.

Gabor10 (1946) percebeu a limitação da aplicação da FT e propôs uma alternativa de melhoria para sanar a diagnosticada insuficiência. Ele propôs o uso da Transformada Jane- lada de Fourier11 (TJF) para aplicar em eventos não estacionários. A TJF propõe a divisão da série temporal analisada em várias porções com espaçamentos fixos, espécie de janela, para analisar somente determinado intervalo ou parte do sinal, e em seguida aplica-se a TF nor- malmente. Na Figura 3.16, nota-se o resultado da aplicação da TJF aplicada em cinco interva-

10 _{Dennis Gabor (1900-1979) foi um Engenheiro Eletricista e cientista húngaro-britânico conhecido pela inven-} ção e aperfeiçoamento da holografia, pela qual recebeu o Nobel de Física de 1971.

los de três segundos sobre a série anteriormente analisada. A superioridade da TJF é constata- da com relação a TF ao se verificar o retorno das informações do tempo após extração da fre- quência.

Figura 3.16 – Aplicação da TJF sobre a série temporal originada pelas somas combinadas - Fonte: adaptado de Bolzan (2006)

Embora a contribuição de Gabor tenha coberto grande parte da lacuna deixada pe- la Transformada Fourier, grande parte dos sinais exige abordagens flexíveis. Isso significa que as janelas (intervalos) necessitariam de comprimentos variáveis para possibilitar a locali- zação mais precisa de acordo com o tipo de evento ocorrido, tanto no tempo quanto no valor da frequência. Portanto, na maioria dos casos não é possível determinar o tamanho da janela com perfeição para ser aplicado a eventos com distintas frequências misturadas, sendo neces- sário o uso da FT ainda mais modernizada que a proposta por Gabor (PROTÁZIO, 2002; MORETTIN, 2014).

O processamento de dados que toma como base equação da TF pode ser comple- xa, inviável e lenta no que se refere à formulação matemática proposta por Fourier, mesmo diante da evolução dos sistemas computacionais atuais. Dessa maneira, a aplicação cientifica ou processamento digital de sinais por sistema computacional solicita que se use a Transfor- mada Discreta de Fourier (DFT – Discrete Fourier Transform). Isso se deve ao fato dela tra- balhar com dados discretos12 e eliminar um dos principais problemas da TF e TJF, que dis- põem de suas funções limitadas apenas entre −∞ e ∞. Ou seja, exclui-se o método teórico de integração no processamento da série temporal e se utiliza somatórios (ROBERTS, MENG e DODSON, 2004; LAROCCA, 2004; KALOOP et al., 2015).

12 _{Cujos dados pertencem ao conjunto dos números finitos ou enumerável solicitados comumente em usos com-} putacionais.

É importante mencionar que, comumente, os trabalhos dessa linha de pesquisa uti- lizam a Transformada Rápida de Fourier (FFT – Fast Fourier Transform), que se trata de um algoritmo especial de implementação da DFT para torná-la mais rápida no processamento. É pertinente que a FFT forneça os mesmos resultados da DFT em tempo reduzido e com menor poder computacional. O modelo matemático da DFT utilizado pelos softwares computacio- nais, por exemplo, o MatLab, é apresentado pela Equação 3.3.6:

𝑋[𝑚] = ∑𝑁−1𝑥[𝑛](𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑛𝑚/𝑁) − 𝑗𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑛𝑚/𝑁))

𝑛=0 Equação 3.3.6

Segundo Weeks (2012), a forma retangular da DFT é definida por: 𝑚 = 0, … , 𝑁 − 1 e 𝑗 representa o número complexo. A equação anterior pode ser expressa com o uso da ex- ponencial em vez de senoides para facilitar a análise; logo, será expressa da seguinte forma: 𝑒−𝑗2𝜋𝑛𝑚/𝑁_{. E também, segue a equação da DFT na forma convencional:}

𝑋[𝑚] = ∑𝑁−1_𝑛=0𝑥[𝑛]𝑒−𝑗2𝜋𝑛𝑚/𝑁 Equação 3.3.7 Dessa maneira, esse trabalho priorizará a utilização da FFT como filtro passa ban- da para identificar e quantificar os deslocamentos verticais e amplitude máxima da ponte e, também, para usá-la como parâmetro de comparação com outras medidas representadas por outras filtragens. Nesse caso, o registro do evento na escala de tempo em que ocorreu o valor máximo não é fator indispensável, pois o interesse imediato é o valor da variação da frequên- cia a partir do deslocamento pico a pico da estrutura. Contudo, a FFT, assim como a FT, per- manece com limitação pertinente ao modelo, uma vez que o procedimento da análise espectral apresenta aplicabilidade com sucesso em séries temporais ergométricas, as quais se desenvol- vem no tempo aleatoriamente e possuem momentos estatísticos invariantes. Normalmente, esse fato não se verifica com os dados experimentais de processos físicos, por exemplo, vi- bração de uma estrutura (BUENO, 2008). Essa flexibilidade em se analisar um espectro de- senvolvido de forma aleatória é obtida com o uso da transformada Wavelet (MORETTIN, 2014), que se trata do filtro mais completo referente à extração de informações de dados que representam uma série temporal, a qual será abordada no próximo capítulo.