Na área do cálculo estrutural, os engenheiros e projetistas devem garantir que a estrutura não estará sujeita a falhas sob as diversas condições de operação, e essa verificação é realizada através da resistência dos materiais, que trata da resistência e da rigidez dos elementos das estruturas, apoiando-se nos teoremas da mecânica geral e em particular no estudo da estática. (12)
Ao iniciar o desenvolvimento dos cálculos de uma estrutura, o engenheiro deve formular um esquema de cálculo para a estrutura, em que a estrutura é idealizada de modo que possa ser analisada, como exemplo uma viga biapoiada, onde os passos principais para analise da estrutura seria:
1. Problema real – Estrutura a ser analisada;
2. Modelo para analise;
3. Definição das equações de equilíbrio aplicáveis ao modelo;
4. Solução das equações de equilíbrio;
5. Interpretação dos resultados, verificando a coerência com o modelo proposto do modelo real.
As soluções analíticas do problema de flexão de vigas que os engenheiros utilizam a partir das tabelas e soluções analíticas encontradas nos livros de resistências dos materiais é o produto do tratamento matemático clássico baseado no estudo das equações diferenciais, que descrevem o equilíbrio da estrutura.
Embora a utilização dessas expressões finais seja até certo ponto de fácil aplicação, o desenvolvimento dessas soluções é bastante trabalhoso e necessita de um conhecimento matemático aprofundado. (12)
Uma ampla classe de problemas pode ser resolvida utilizando essas técnicas clássicas desenvolvidas para a Teoria de Vigas. As chapas largamente utilizadas são estudadas pela Teoria geral de placas e cascas que utiliza o recurso matemático das equações diferenciais, que com base nessas equações são desenvolvidos soluções para diversas configurações (quadrada, retangular, etc.), diversas condições de fixação (apoio simples, engastamentos, livres, etc.) e diversas condições de carregamentos (pressão uniforme, carga concentrada, etc.). (12)
Da mesma forma, a Teoria da elasticidade estuda o comportamento dos sólidos deformáveis, também utilizando as equações diferenciais, efetuando grande quantidade de cálculos. Mesmo com todo desenvolvimento dessas expressões
prontas às limitações são grandes, porque são aplicadas às geometrias simples, com condições de carregamento e apoio bem definidos.(12)
Como a maioria das estruturas na pratica são muito complexas para ser analisada pelas técnicas clássicas, sua solução analítica frequentemente torna-se impossível, gerando grandes simplificações para ser possível a aplicação dessas expressões, resultando em cálculos poucos aperfeiçoados. (12)
Os métodos analíticos clássicos permitem o cálculo da resposta exata dos deslocamentos na estrutura em todos os seus pontos, isto é, nos seus infinitos pontos através de uma expressão matemática, sendo tratado como um sistema contínuo, pois a solução é obtida para todos os pontos que constituem o corpo contínuo, porem essas soluções é somente conhecido para alguns casos, que fogem da maioria das aplicações que encontramos no dia a dia. (12)
Diante deste problema, foram desenvolvidos procedimentos aproximados, que pudessem ser aplicados em caráter geral, independente da forma da estrutura e da condição de carregamento, dentro da precisão aceitável do problema de engenharia. Esse caminho alternativo aos procedimentos analíticos clássicos é o Método dos Elementos Finitos (MEF). (12)
Assim, esquematicamente, podemos representar na Figura 2-13 e Figura 2-14 os caminhos para a solução dos problemas anteriormente levantados:
Estrutura com
Figura 2-13- Solução exata e solução aproximada
Figura 2-14-Solução exata e solução aproximada (12)
2.9.1 Sistema Discreto
O método dos elementos finitos é o método aproximado de cálculo de sistemas contínuos, obtendo uma ótima solução nos problemas de engenharia, e consiste na divisão de um sistema ou conjunto a ser analisado em partes discretas menores que é a discretização do modelo, conforme mostra a Figura 2-15.(12)
Neste caso, a solução aproximada simula a estrutura como uma montagem de elementos que tem um comprimento finito, assim o sistema é subdividido em um numero finito de partes ou elementos, sendo a estrutura inteira modelada por um agregado de estruturas simples onde os pontos de conexão são chamados de nós do modelo. (12)
Na introdução ao MEF foram definidos os principais passos para à análise de um sistema estrutural. Essa mesma sequencia aplica-se a analise de sistemas discretos, levando em conta as particularidades da montagem dos elementos. (12)
Figura 2-15-Método geral para análise de sistemas discretos - Sistema Discreto padrão (12)
A ideia da discretização de um sistema contínuo foi inicialmente introduzida para uma aplicação de cálculo estrutural sendo a configuração deformada da estrutura determinada pelos deslocamentos dos nós, qualquer que seja a forma da estrutura e o tipo de carregamento. Sendo assim, os parâmetros que descrevem o comportamento do sistema são os deslocamentos nodais, e partir desses deslocamentos é determinado os esforços internos, as tensões, avaliando a resistência da estrutura. (12)
2.9.2 Tipos de modelos discretizados 2.9.2.1 Estruturas Reticuladas
Para esses tipos de estruturas a interação entre os elementos ocorre somente nas juntas ou nós, trocando forças e deslocamentos entre si somente nesses pontos.
Nessa classe de estruturas encontram-se vigas contínuas, pórticos planos, pórticos espaciais, grelhas, treliças planas e treliças espaciais. (12)
Figura 2-16-Estrutura reticulada
2.9.2.2 Elementos estruturais conectados continuamente
No dia a dia das aplicações mecânicas e da engenharia em geral, existem diversos componentes que apresentam características bastante diferentes das estruturas constituídas apenas por vigas, por exemplo, a caixa estrutural completa de um veículo, os componentes de um chassi, eixos, componentes de máquinas, carcaças, lajes, barragens etc. Nestes casos, o corpo contínuo é subdividido artificialmente em certo numero finito de elementos, também conectados apenas nos
nós, assim estamos fazendo a representação aproximada de um corpo contínuo, pois na realidade os diversos trechos do contínuo não estão conectados apenas em alguns pontos, como no caso de uma estrutura reticulada. (12)
Para que essa representação não se torne grosseira, devemos considerar algumas condições adicionais além da imposição do equilíbrio e da compatibilidade apenas nos nós do modelo:
• A subdivisão da estrutura em elementos, isto é, a malha de elementos finitos;
• A escolha do elemento apropriado para modelar uma dada situação física.
A escolha do tamanho adequado da malha não parece óbvia em uma estrutura contínua, e essa escolha depende do conhecimento das propriedades do elemento escolhido para a representação do problema, que é a característica fundamental do método. (12)
Figura 2-17-Malha de elementos finitos de estrutura de chassi de caminhão (12)
Do ponto de vista prático, os “softwares” de elementos finitos oferecem uma biblioteca de elementos do programa, contendo diversos elementos, cada qual tentando representar um diferente comportamento físico conhecido da mecânica estrutural (estado plano de tensões, placas, cascas, membranas, sólidos, etc.). Esse comportamento é descrito por intermédio de funções matemáticas que representam o comportamento interno do elemento. (12)
Ao representar um determinado comportamento físico por meio de um modelo de análise, o modelo proposto deve representar trecho a trecho o que ocorre na estrutura real, por intermédio da igualdade de energias dos sistemas contínuo e discreto para os elementos. Essa ideia fundamental envolve o conceito de energia de deformação, armazenada pela estrutura deformada sob a ação do carregamento, tal qual uma mola deformada absorve energia potencial elástica decorrente da ação da força externa que a deforma e realiza um trabalho externo. (12)
2.9.3 Matriz de rigidez de uma estrutura
Tomemos como exemplo simples em que a estrutura é constituída por apenas um elemento, como representado na figura 2-12. Nesse caso a estrutura esta fixada em um nó e a força externa F causa na estrutura um deslocamento U que é linearmente proporcional a F. Como a estrutura é idêntica ao elemento, à rigidez da estrutura é igual à rigidez do elemento. Assim apresentamos a Equação 2.51:
F=K.U Equação 2.51
Onde:
K é a constante elástica da mola, que contabiliza a rigidez da estrutura.
É importante observar um aspecto conceitual que estará sempre presente no cálculo dos deslocamentos da estrutura, que é a determinação de k, ou o conhecimento da rigidez da estrutura e constitui a tarefa fundamental da analise. Se considerarmos que no caso particular da mola a sua rigidez é expressa pela constante elástica k, essa ideia torna-se clara. (12)
Figura 2-18-Mola fixada em uma de suas extremidades (12).
Na montagem de um modelo discretizado em elementos finitos, o primeiro passo consiste em subdividir a estrutura em uma montagem de elementos, de sorte que a rigidez do conjunto possa ser adequadamente contabilizada. A única diferença entre o exemplo isolado da mola e das estruturas reais é que as estruturas são
constituídas de muitos elementos, e como consequência, de muitos componentes de deslocamentos a se determinar. A partir destes, são obtidas as deformações nos elementos, e finalmente as forças internas ou as tensões. (12).
Na mola estava presente apenas um componente de deslocamento possível, associado a apenas um componente de rigidez, a rigidez axial da mola.
Nas estruturas reais temos muitos componentes de deslocamentos e muitos componentes de rigidez. A relação geral linear entre todas as forças externas e todos os deslocamentos nodais é melhor expressa em notação matricial apresentado na Equação 2.52. (12)
Equação 2.52
A montagem da matriz de rigidez da estrutura deve considerar o modo pelo qual os elementos são arranjados na estrutura e como são conectados entre si, contabilizando a partir da rigidez de cada elemento a rigidez do conjunto. A Figura 2-19 mostra de forma esquemática a comparação entre a aplicação da mola e um caso mais geral. (12)
De modo geral, os diversos componentes de deslocamento presentes nas estruturas reais são chamados de graus de liberdade da estrutura, que são as variáveis de estado do problema.(12)
Figura 2-19-A matriz de rigidez da estrutura representa a relação entre forças e descolamentos nodais para a estrutura inteira. Para a mola, com apenas um deslocamento, a matriz contém um termo. Para uma estrutura real, com vários deslocamentos, a matriz contém vários termos (12)
2.9.4 Formulação dos elementos finitos bidimensionais e tridimensionais.
Para a formulação de elementos finitos bidimensionais e tridimensionais deve ser discutido a escolha da função de interpolação, junto as características do comportamento físico que um tipo de elemento se propõe a simular.(12)
2.9.4.1 Elemento de estado plano de tensões triangular linear
Forças agem somente no plano x, y de um corpo sólido, devido a esta característica recebe o nome de estado plano de tensões. (12)
A chapa contínua pode ser dividida em um número finito de elementos conectados aos seus nós, podendo ser representados por um conjunto de triângulos e cada elemento triangular é estudado isolando-o do restante da estrutura para verificação do seu comportamento físico. (12)
O deslocamento dos nós do elemento triangular é descrito pelos componentes u e v, sendo que o número de pontos para descrever o comportamento da chapa é discreto. O elemento de estado plano de tensões apresenta dois graus de liberdade por nó, sendo seis graus de liberdade no total para o elemento triangular, ver figura 2-15. A matriz coluna das forças e a matriz de deslocamentos nodais tem dimensão 6x1 e como consequência a matriz de rigidez terá dimensão 6x6, {f}6x1= [k]6x6 . {δ}6x1. (12)
Figura 2-20-Elemento triangular linear de estado plano de tensões (12)
2.9.4.2 Elemento sólido tetraédrico linear
Forças agem nas direções x, y, z de um corpo sólido, devido a esta característica recebe o nome de estado triaxial de tensões.
A chapa contínua pode ser dividida em um número finito de elementos sólidos conectados aos seus nós, podendo ser representados por um conjunto de tetraedros e cada elemento tetraédrico é estudado isolando-o do restante da estrutura para verificação do seu comportamento físico.
O deslocamento dos nós do elemento tetraédrico é descrito pelos componentes u, v e w, sendo que o número de pontos para descrever o comportamento da chapa é discreto. O elemento apresenta três graus de liberdade por nó, sendo doze graus de liberdade no total para o elemento tetraédrico. A matriz coluna das forças e a matriz de deslocamentos nodais tem dimensão 12x1 e como consequência a matriz de rigidez terá dimensão 12x12, {f}12x1= [k]12x12 . {δ}12x1. (12)
Figura 2-21-Elemento sólido tetraédrico linear (12)
2.9.4.3 Elemento de estado plano de tensões retangular linear
A chapa contínua pode ser dividida em um número finito de elementos conectados aos seus nós, podendo ser representados por um conjunto de retângulos e cada elemento retangular é estudado isolando-o do restante da estrutura para verificação do seu comportamento físico.
O deslocamento dos nós do elemento retangular é descrito pelos componentes u e v. O elemento de estado plano de tensões apresenta dois graus de liberdade por nó, sendo oito graus de liberdade no total para o elemento retangular.
A matriz coluna das forças e a matriz de deslocamentos nodais tem dimensão 8x1 e como consequência a matriz de rigidez terá dimensão 8x8, {f}8x1= [k]8x8 . {δ}8x1. (12)
Figura 2-22-Elemento de estado plano de tensões retangular linear (12)
2.9.4.4 Elemento sólido hexaédrico linear
A chapa contínua pode ser dividida em um número finito de elementos sólidos conectados aos seus nós, podendo ser representados por um conjunto de sólidos na forma de “paralelepípedos” e cada elemento hexaédrico é estudado isolando-o do restante da estrutura para verificação do seu comportamento físico.
O deslocamento dos nós do elemento hexaédrico é descrito pelos componentes u, v e w. O elemento apresenta três graus de liberdade por nó, sendo vinte e quatro graus de liberdade no total para o elemento hexaédrico. A matriz coluna das forças e a matriz de deslocamentos nodais tem dimensão 24x1 e como consequência a matriz de rigidez terá dimensão 24x24, {f}24x1= [k]24x24. {δ}24x1.(12)
Figura 2-23-Elemento sólido hexaédrico linear (12)
2.9.4.5 Elemento de estado plano de tensões triangular parabólico
A chapa contínua pode ser dividida em um número finito de elementos conectados aos seus nós, podendo ser representados por um conjunto de triângulos e cada elemento triangular é estudado isolando-o do restante da estrutura para verificação do seu comportamento físico. Para o elemento triangular parabólico são admitidos nós intermediários entre os vértices, assim o grau de liberdade aumenta e a interpolação fica mais “rica” na representação de deslocamentos.
O deslocamento dos nós do elemento triangular parabólico é descrito pelos componentes u e v. O elemento de estado plano de tensões apresenta dois graus de liberdade por nó, sendo doze graus de liberdade no total para o elemento triangular parabólico. A matriz coluna das forças e a matriz de deslocamentos nodais tem dimensão 12x1 e como consequência a matriz de rigidez terá dimensão 12x12, {f}12x1= [k]12x12. {δ}12x1. (12)
Figura 2-24-Elemento de estado plano de tensões triangular parabólico (12)
2.9.4.6 Elemento sólido tetraédrico parabólico
A chapa contínua pode ser dividida em um número finito de elementos sólidos conectados aos seus nós, podendo ser representados por um conjunto de tetraedros e cada elemento tetraédrico é estudado isolando-o do restante da estrutura para verificação do seu comportamento físico. Para o elemento tetraédrico parabólico são admitidos nós intermediários entre os vértices, assim o grau de liberdade aumenta e
a interpolação fica mais “rica” na representação de deslocamentos com mais acuracidade.
O deslocamento dos nós do elemento tetraédrico é descrito pelos componentes u, v e w, sendo que o número de pontos para descrever o comportamento da chapa é discreto. O elemento apresenta três graus de liberdade por nó, sendo trinta graus de liberdade no total para o elemento tetraédrico. A matriz coluna das forças e a matriz de deslocamentos nodais tem dimensão 30x1 e como consequência a matriz de rigidez terá dimensão 30x30, {f}30x1= [k]30x30 . {δ}30x1. (12)
Figura 2-25-Elemento sólido tetraédrico parabólico (12)
2.9.4.7 Elemento sólido hexaédrico parabólico e estado plano de tensões retangular parabólico
Para a formulação destes elementos devem ser seguidos os passos já citados anteriormente, elementos de estado plano de tensões e estado triaxial de tensões.
Elementos lineares só apresentam nós nos vértices e interpolação do 1º grau, os parabólicos apresentam apenas um nó intermediário e interpolação do 2º grau, enquanto os elementos cúbicos apresentam dois nós intermediários e interpolação do 3º grau.(12)
Elementos unidimensionais são funções de apenas uma variável e o deslocamento depende da posição em que o ponto se encontra no elemento, como exemplo vigas e treliças.(12)
Elementos bidimensionais são funções de duas variáveis e o deslocamento depende da posição em que o ponto se encontra no elemento, como exemplo chapas. (12)
Elementos tridimensionais são funções de três variáveis e o deslocamento depende da posição em que o ponto se encontra no elemento, como exemplo os sólidos. (12)
A Tabela 2-6 resume o procedimento padrão adotado na formulação dos elementos finitos já estudados. (12)
Tabela 2-6- Elemento sólido tetraédrico parabólico
Tabela 2-7- Continuação - Elemento sólido tetraédrico parabólico
2.9.4.8 Elemento de placa retangular linear
Chapas podem estar sujeitas a cargas perpendiculares ao seu plano, neste caso sofrem flexão, este carregamento causa deslocamentos perpendiculares ao seu plano denominado comportamento de placa. Também pode apresentar-se em chapas forças paralelas ao seu plano caracterizando o estado plano de tensões.
O estudo do comportamento de chapas sob carregamento no próprio plano e cargas laterais podem ser tratados independentemente, dentro da hipótese de pequenas deflexões. (12)
A placa pode ser dividida em um número finito de elementos retangulares conectados aos seus nós, podendo ser representados por um conjunto de retângulos e cada elemento retangular é estudado isolando-o do restante da estrutura para verificação do seu comportamento físico. (12)
O deslocamento dos nós do elemento pode ser descrito pela componente w, pois o deslocamento de uma placa sobe ação de flexão é efetuado por um componenente de deslocamento perpendicular ao plano da placa. (12)
O elemento apresenta três graus de liberdade por nó, um deslocamento em z, e dois ângulos, um em x e um em y. Doze graus de liberdade no total para o elemento de placa. A matriz coluna das forças e a matriz de deslocamentos nodais tem dimensão 12x1 e como consequência a matriz de rigidez terá dimensão 12x12, {f}12x1= [k]12x12 . {δ}12x1. (12) (13)
Figura 2-26-Conceitos de teoria de placas(12)
3 METODOLOGIA
Apresenta-se a seguir a descrição dos materiais, ferramentas e as metodologias utilizadas para realizar o dimensionamento da estrutura da comporta ensecadeira. Será apresentada a metodologia para o cálculo analítico e método dos elementos Finitos. Para o cálculo analítico será apresentado a metodologia com base nos requisitos básicos da ABNT 8883 e para a verificação pelo método dos elementos finitos será apresentado a metodologia para o modelo sólido.