O processamento de dados gravimétricos, com objetivo de se criar um modelo, nada mais é do que um problema de interpolação/aproximação, uma vez que são coletados dados discretos, necessitando-se, pois do preenchimento dos “espaços vazios” onde não foram feitas medições. Na figura 2.11 são demonstrados em pontos vermelhos amostras discretas e a linha azul uma aproximação linear entre os pontos.
Figura 2.11: Interpolação linear entre os pontos
Várias são as abordagens para interpolação que podem ser utilizadas em função da apli- cação, da qualidade dos resultados esperados, ou mesmo qual se aproxima mais da realidade. Isto porque existem muitos métodos de interpolação como é o caso da linear, da polinomial, conforme figura 2.12 ou da trigonométrica.
Figura 2.12: Interpolação polinomial
Outro ponto que deve ser lembrado é a densidade mínima da amostra, pois se esta for insuficiente pode-se criar um modelo que não represente a realidade conforme mostrado no
exemplo da figura 2.13. O Teorema de Nyquist sugere que a quantidade de amostras pelo tempo de um sinal deve ser maior que o dobro da maior frequência, para que possa ser reproduzido integralmente.
Figura 2.13: Densidade de amostra insuficiente
Outra característica importante da aplicação a que se refere esse trabalho é que a dis- tribuição das amostras feitas para gravimetria não são regulares no que concerne ao posicio- namento das estações (figura 2.14) necessitando de uma “interpolação” entre os pontos para que seja criado um modelo de uma superfície equipotencial.
Figura 2.14: Amostra de estações gravimétricas Fonte: (SÁ; MOLINA, 1995)
sugere uma abordagem baseada em Stokes para geração de uma superfície equipotencial do campo da gravidade terrestre que se aproxima ao nível médio do mar não perturbado. Stokes propôs em 1849 sua fórmula para determinação da ondulação geoidal a partir das anomalias da gravidade. Contudo, a solução de Stokes necessita de medidas da gravidade e anomalias reduzidas ao geoide em toda a Terra para determinar a ondulação geoidal de um ponto. Uma vez que as amostras não contemplam todo o globo, a geração do modelo limita a área de integração a uma calota esférica na região da amostra. Fato que gera distorções nas bordas do modelo pela falta de informações na área externa da calota (LOBIANCO; BLITZKOW; MATOS, 2005).
A fórmula 2.29 de Stokes (1849) é a mais importante já publicada em geodésia física. Com ela é possível o cálculo da ondulação geoidal N a partir das anomalias da gravidade (∆g). N = R 4πγ Z Z E S (ψ) ∆g dσ (2.29) sendo:
R raio médio da superfície da Terra; γ gravidade normal média;
E superfície da esfera de raio R;
S (ψ)é a função de Stokes que pode ser escrita como uma série polinomial Pn(cos ψ) de
Legendre11: S (ψ) = ∞ X n=2 2n + 1 n − 1 Pn(cos ψ) (2.30) sendo:
ψdistância esférica entre o ponto a ser determinado e o elemento na superfície da integral; Pn polinômio de Legendre de grau n;
onde:
ψ = arccos (sin ϕ sin ϕ0+ cos ϕ cos ϕ0cos ∆λ) (2.31) sendo:
ϕ latitude do ponto calculado;
ϕ0 latitude do ponto na superfície da integral;
∆λ diferença angular entre a longitude do ponto calculado e a longitude na superfície da integral.
A fórmula de Stokes (1849) é baseada em uma aproximação esférica do elipsoide de referência causando erros relativos na ordem de 3 × 10−3 ou erros absolutos com até 1 m.
Vaníček e Christou (1993) afirma que Sagrebin (1956), Molodenskii, Eremeev e Yurkina (1962) e Bjerhammar (1962) melhoraram a fórmula acrescentando o achatamento referente ao elipsoide.
A solução sugerida por Stokes (1849) requer que todas as massas externas ao geoide sejam removidas, ou seja, que as medidas da gravidade feitas na superfície física sejam reduzidas ao nível médio dos mares. Inicialmente, pressupõe-se que a densidade e o gradiente do geoide até a superfície topográfica sejam conhecidas. Com este passo é possível a determinação da sepa- ração entre o elipsoide de referência e a “aproximação” do geoide (VANÍČEK; CHRISTOU, 1993).
Uma vez determinado o modelo geoidal é possível determinar uma altitude ortométrica a partir da altitude elipsoidal conforme função 2.32:
H ≈ h − N (2.32)
sendo:
h altitude elipsoidal; H altitude ortométrica; N ondulação geoidal.
Para melhorar a solução de Stokes (1849) a abordagem de Molodenskii, Eremeev e Yur- kina (1962) sugere que seja introduzido o conceito do Teluróide, que é uma superfície auxiliar
que separa a altitude elipsoidal h em anomalia da altitude ζ e altitude normal H∗ conforme mostrado na figura 2.15.
h = ζ + H∗ (2.33)
sendo:
ζ anomalia da altitude; H∗ altitude normal;
Figura 2.15: Definições
Fonte: adaptado de (VANÍČEK; CHRISTOU, 1993)
Combinando as equações 2.32 e 2.33 tem-se:
N = ζ + H ∗ −H (2.34)
A anomalia da altitude é dada por:
ζ =T/γ (2.35)
onde T é o distúrbio potencial dado por:
T = Z Z E φ ld dE (2.36) sendo:
ld distância entre o ponto fonte até o ponto calculado pela integral;
φ densidade na superfície E da integral em questão;
Conforme Molodenskii a densidade φ pode ser definida como a solução para um equação integral de segunda ordem:
2πφ cos β − Z Z E δ δhP l−1d − γP−1l−1d δγ δhP φdE = ∆g (2.37)
O modelo geoidal pode ser obtido pela combinação de vários componentes com diferen- tes comprimentos de onda (figura 2.16). Modelos geopotenciais criados a partir dos dados das missões espaciais CHAMP (CHAllenging Minisatellite Payload), GRACE (Gravity Re- covery And Climate Experiment) e GOCE (Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer) são usados como componentes de baixa ou média frequência, já as anomalias calcu- ladas a partir dados gravimétricos terrestres tratadas a partir de fórmulas baseadas na solução de Stokes compõem a banda de média frequência e o MTD (Modelo Digital do Terreno) pode ser combinado na aproximação fornecendo detalhes de alta frequência.
Dependendo do objetivo e dos dados disponíveis, um modelo geoidal pode representar toda superfície terrestre ou apenas uma região. Sua qualidade por sua vez, depende de vários fatores, entre elas a densidade (quantidade de pontos observados em determinada área), qualidade dos dados de estações gravimétricas de referência, acurácia do modelo digital do terreno utilizado no processamento e a resolução do modelo.
ELIPSOIDE GEOIDE SUAVISADO 100 km GEOIDE DETALHADO MODELO GEOPOTENCIAL +Δg ANOMALIAS +MDT (Modelo Digital do Terreno)
Figura 2.16: Contribuição de diferentes dados para determinação de geoide regional Fonte: Adaptado de (VANÍČEK; CHRISTOU, 1993)
A determinação do geoide ainda não é um problema completamente fechado, e existem muitos trabalhos recentes comparando entre as várias técnicas que apresentam os mais vari-
ados resultados, como é o caso das abordagens de Stokes, Stokes modificada de Molodenskii, Featherstone e outras que podem ser facilmente encontradas na literatura.