Materiais semicondutores são aqueles cujas propriedades de condução elétrica apresentam características intermediárias entre metais e isolantes. Estas propriedades podem ser entendidas com auxílio de diagramas de bandas de energia como mostra a Fig. A.3, obtidos a partir da formulação da Física do Estado Sólido. Existem duas bandas de energia que surgem em um material semicondutor: banda de valência (BV) e banda de condução (BC). Na BV, estão localizados os níveis de energia que podem ser ocupados por elétrons e lacunas (ausência de elétrons), enquanto que, na BC, estão localizados níveis de energia que somente elétrons podem ocupar. Essas duas bandas são separadas por uma região denominada por banda proíbida (BP), na qual não existem níveis de energia permitidos em semicondutores reconhecidamente íntrinsicos.
Portanto, para determinar as propriedades elétricas de um material semicondu- tor, é necessário conhecer como os elétrons distribuem-se entre os estados disponíveis nas bandas de energias. De acordo com a formulação da Mecânica Quântica, elétrons são partículas de spin semi-inteiro e, por isto, obedecem à distribuição estatística de Fermi- Dirac, a qual leva em conta o Princípio de Exclusão de Pauli. Assim, a função distribuição estatística de Fermi-Dirac, a qual calcula a probabilidade de um dado nível de energia estar ocupado por um elétron, é expressa por:
f (E) = 1
1 + e(E−Ef)/KbT
(A.1) onde T, E, Ef e Kb são a temperatura absoluta, a energia do estado acessível, a energia
do nível de Quasi-Fermi e a constante de Boltzmann, respectivamente. Na temperatura zero absoluto, o comportamento da função f (E) muda abruptamente para valores de E próximos a Ef, pois torna-se descontínua, de modo que:
f(E) = 1, E < Ef f(E) = 0, E > Ef (A.2)
onde f (E) = 1 significa que o estado de energia E tem probabilidade máxima, ou seja, probabilidade de 100% de estar ocupado por um elétron.
Em semicondutores, na temperatura zero absoluto, a BC está completamente cheia de elétrons e a BV está totalmente desprovida de elétrons. Nesta condição, o nível de Fermi estabelece o limite superior para os níveis de ocupação dos elétrons, limitando-os
aos níveis de energia da BV, como mostra a Fig. A.3 (a). Para temperaturas diferentes do zero absoluto, a função f (E ) varia continuamente entre 1 e 0, significando que a ocupação dos estados de energia varia suavemente, de modo que exista probabilidade não nula de ocupação eletrônica em estados cujos níveis de energia localizam-se na BC.
Figura A.3: Representação do diagrama de bandas de energia de um material semicondu- tor: (a) Níveis de energia ocupados em temperatura zero absoluto e (b) Níveis de energia ocupados em temperatura acima do zero absoluto. Ef, Ece Ev correspondem ao nível de
Fermi, nível de menor energia da banda de condução e nível de maior energia da banda de valência
De fato, à medida que a temperatura aumenta, um número progressivamente maior de elétrons da BV pode atingir a BC tornando-se elétrons livres, pois estes absorvem energia térmica suficiente para ocuparem níveis mais energéticos, localizados na BC. Neste processo, cada transição de um elétron da BV para BC deixa um nível energético não ocupado, ou seja, uma lacuna livre, na BV. Elétrons da BC, assim como lacunas na BV, são denominados portadores eletrônicos livres, e contribuem para a condutividade elétrica no material semicondutor.
Embora transições de elétrons da BV para a BC ocorram devido a energia tér- mica, esse é um processo análogo a absorção descrito na secção A.1, onde um elétron é excitado pela energia do fóton incidente e promovido para um nível de maior energia.
O equilíbrio termodinâmico é estabelecido pela transição de elétrons da BV para BC, assim como pela ocorrência de um processo oposto denominado recombinação. Tal
processo ocorre quando um elétron da BC de energia Ee recombina-se com uma lacuna
da BV de energia El emitindo um fotón cuja energia é igual a Ee-El, caracterizando
o processo como recombinação radiativa, como mostra a Fig. A.4. Estes processos são o cerne da geração de fotóns no laser semicondutor, e assemelham-se aos processos de emissões espontâneas e estimuladas descritos em A.1. Vale a pena ressaltar que alguns tipos de recombinações não produzem fótons, ou seja, são não radiativas, sendo inerentes ao dispositivo, transformando a energia liberada pela recombinação do par elétron-lacuna em fônons, isto é, energia de vibração na rede [52].
Figura A.4: Processos radiativos representados no diagrama de bandas de energia em um material semicondutor: (a) Recombinação Espontânea e (b) Recombinação Estímulada.
Atingido o equilíbrio termodinâmico, a geração de pares elétrons-lacunas é muito mais significativa do que os processos de recombinações estimuladas no laser semicondutor, pois a condição de inversão de população ocorre somente na presença de mecanismos externos que favoreçam o processo, como ressaltado na A.1. Em lasers semicondutores tal condição pode ser satisfeita através da injeção de portadores eletrônicos em uma junção pn diretamente polarizada.
Apêndice B
Derivação para as equações de
taxa do campo elétrico [52]
B.1 Cálculo da equação de taxa para o campo Elétrico na
cavidade
Partindo da equação diferencial para o campo óptico, expressa por: ∇2E− 1
c2
∂2
∂t2 (ǫE) = 0 (B.1)
Uma possível solução para (B.1) pode ser dada por: E(x, y, z, t) = 1
2ψ(x)θ(y) sin (kz) E(t)e
−iωt
ˆ
x+ c.c (B.2)
Substituindo-se (B.2) em (B.1), multiplicando os lados da equação por ψ(x) e φ(y) e assumindo que o campo E (t) varia lentamente, intrega-se em todo o intervalo de x e y na cavidade. Após algumas simplificações, obtém-se:
2iω c2 ǫ + ω 2 ∂ ǫ ∂ω dE(t) dt + ω2 c2 ǫ − k 2 E(t) = 0 (B.3)
onde foi definida a constante dielétrica efetiva, dada por:
ǫ =
+∞
−∞
ǫ (x, y) ψ2(x)θ2(y)dxdy (B.4)
onde foi assumido ψ(x) e θ(y) estarem devidamente normalizadas. O segundo termo de B.3 respresenta à natureza dispersiva existente em materias semicondutores. Por meio
da análise desenvolvida em [52], (B.4) está relacionada aos parâmetros do dispositivo semincondutor dada por:
ǫ ∼=n2+ 2Γn∆µnb+ inα/ko (B.5)
Usando as seguintes relações:
k = nΩ c (B.6) ω2− Ω2 ≈ 2ω (ω − Ω) (B.7) ǫ ≈ n2 (n/ng) [ω − Ω] = ω − ωth
Substituindo o conjunto de (B.6) em (B.3), finalmente é obtida:
d
dtE(t) = i (ω − ωth) E(t) + iω
ng (Γ∆µb+ iα/2ko) E(t) (B.8)