irredut´ıvel de grau maior que - CARACTERIZAÇÃO DE GRUPOS FINITOS QUE POSSUEM UMA IRREDUTÍVEL D

Apresentamos neste cap´ıtulo o principal resultado deste trabalho. Veremos antes alguns lemas, onde usaremos as nota¸c˜oes : G para grupo finito, G0 para grupo derivado de G e

Z(G) para centro de G.

Lema 3.1 Um grupo finito G possui uma única K-representa¸cão irredutível de grau

maior que 1 se e somente se G possui [G : G0] + 1 classes de conjuga¸c˜ao , onde K ´e

um corpo algebricamente fechado.

Demonstra¸c˜ao Seja

KG = KGe_G0 ⊕ KG(1 − e

G0),

tal que KGe_G0 ' K(G/G0) ´e a soma das componentes comutativas de KG e

KG(1 − e_G0) = ∆(G, G

) é a soma das demais componentes. Como K é algebricamente fechado, as componentes comutativas de KG são cópias de K e o número de classes de conjuga¸cão de G é o número de componentes simples de KG. O número de componentes simples comutativas de KG é dado por:

dimKK(G/G

Se G possui uma única K-representa¸cão irredut´ıvel de grau maior que 1, então a ela está associada a componente simples ∆(G, G0). Portanto, KG possui [G : G0] + 1 classes de conjuga¸cão .

Suponha agora que G possui [G : G0] + 1 classes de conjuga¸c˜ao e escreva

KG = KGe_G0 ⊕ ∆(G, G0) ' ⊕r

i=1Mni(K),

onde r é o número de componentes simples de KG. Segue-se então do fato de K ser algebricamente fechado que r = [G : G0] + 1 ⇐⇒ r − 1 = [G : G0] = dimKK(G/G

), tal que K(G/G0) ´e, a menos de isomorfismo, a soma das componentes comutativas de KG. Em termos matriciais,

KG ' K ⊕ · · · ⊕ K ⊕ Mni(K),

onde K aparece [G : G0] vezes nesse somat´orio.

A componente simples Mni(K) ´e tal que ni > 1, de onde segue o resultado. 2

Seja τ = {g0 = 1, g1, g2, · · ·, gr} um transversal de G

em G.

Lema 3.2 Um grupo finito G possui [G : G0] + 1 classes de conjuga¸c˜ao se e somente se

cada giG

é uma única classe de conjuga¸cão e G0 é a união de duas classes de conjuga¸cão

{1} e G0 − {1}.

Demonstra¸c˜ao Para verificar que cada classe giG

é uma união de classes de conjuga¸cão , basta mostrar que ∀x ∈ giG

, o conjugado de x ainda est´a em giG

0 . De fato, ∀x ∈ giG 0 , x = gig 0

, para algum g0 ∈ G0. Logo, ∀g ∈ G, g−1_{xg = g}−1_g ig 0 g = (g−1_g ig)(g−1g 0 g) ∈ giG 0 , pois g−1_g ig ∈ giG 0 e g−1_g0 g ∈ g0G0 = G0.

Conclu´ımos que G possui, pelo menos, r + 1 classes de conjuga¸cão , a saber, o número de classes laterais de G0 em G. Note que G0 = (G0− {1})S{1} e, por hipótese, G possui

exatamente [G : G0] + 1 = r + 2 classes de conjuga¸c˜ao . Ent˜ao, cada classe lateral giG

é uma única classe de conjuga¸cão e G0 é a união das classes G0− {1} e {1}.

Suponha agora que cada giG

é uma única classe de conjuga¸cão , i ≥ 1, e G0 é a união das classes G0 − {1} e {1}. Então G possui [G : G0] + 1 = r + 2 classes de conjuga¸cão e essas são as únicas classes de G. De fato, seja x o representante de qualquer outra classe

de conjuga¸c˜ao . Temos que x = gig 0 , para algum gi ∈ τ , g 0 ∈ G0; isto ´e, x ∈ ¯gi = giG 0 e, portanto, ¯x = ¯gi. 2

Teorema 3.1 Um grupo G possui exatamente uma ´unica K-representa¸c˜ao irredut´ıvel de

grau maior que 1 se e somente se:

• |G| = 2k_{, k ´e ´ımpar, Z(G) = G}0

e |G0| = 2;

• G ´e isomorfo ao grupo de todas as transforma¸c˜oes x → ax + b, a 6= 0, sobre um

corpo de ordem pn_{6= 2.}

Demonstra¸c˜ao Suponha que G possui uma única K-representa¸cão irredut´ıvel de grau maior que 1. Segue dos lemas 3.1 e 3.2 que G age transitivamente por conjuga¸cão sobre

G0 − {1}.

Como consequência temos que G0 é abeliano, G0 é abeliano elementar e G0 é normal minimal em G. Com efeito, tome x ∈ G0, x 6= 1, arbitrário. Para todo y ∈ G0, y 6= 1, existe g ∈ G tal que y = g−1_{xg. Nesse caso, y}2 _{= (g}−1_xg)2 _{= g}−1_x2_{g, · · ·, y}◦(x) ₌

(g−1_xg)◦(x) _{= g}−1_x◦(x)_{g = 1, ∀y ∈ G}0

− {1}. Portanto, ∀y ∈ G0− {1}, existe inteiro k tal

que yk _{= 1 e o menor inteiro k com essa propriedade, ´e primo. Caso contr´ario, k = mn e}

∀g0 ∈ G0 − {1}, (g0)m 6= 1, pois ◦(g0) = k e m < k. Logo, (g0)m elemento de G0 ´e tal que

(g0m)n _{= 1, com n < k. Contradi¸c˜ao . Portanto, k ´e primo.}

Mostremos que G0 ´e abeliano. De fato, visto que x ∈ G0 =⇒ ◦(x) = k, k primo, temos que todos os elementos de G0−{1} possuem a mesma ordem (prima) e, portanto, G0 ´e um

p-grupo. Logo, Z(G0) é não-trivial. Considere agora a aplica¸cão fg : G

→ G0 definida por fg(x) = g−1xg, ∀g ∈ G, x ∈ G

. ´E de verifica¸c˜ao imediata que fg ´e um automorfismo

sobre G0. Ent˜ao, fg leva Z(G

) em Z(G0), o centro de G0. Agora, ∀x ∈ G0 − {1}, {fg(x); ∀g ∈ G} = G

− {1}, pois G0 − {1} é uma única classe de conjuga¸cão . Em

particular, se x ∈ Z(G0), x 6= 1, ent˜ao G0 − {1} = {fg(x); ∀g ∈ G} ⊆ Z(G

), de onde segue que G0 ´e abeliano.

Mostremos agora que G0 ´e normal minimal em G. Seja H subgrupo de G tal que

{1} 6= H < G0, H 6= G0 e H / G. Ent˜ao, ∀g ∈ G, g−1_{Hg ⊂ H. Tome y ∈ G}0

− H, y 6= 1

e x ∈ H. Por hipótese, G0 − {1} é uma única classe de conjuga¸cão . Logo, existe g ∈ G

tal que x = g−1_{yg. Mas x = g}−1_{yg ⇐⇒ y = gxg}−1 _{∈ H. Contradi¸c˜ao . Portanto, n˜ao}

existe subgrupo próprio de G0 normal em G, isto é, G0 é normal minimal de G.

Sendo G0 abeliano, podemos escrever {1} ⊂ G0 ⊂ G, tal que {1} / G0, G0 / G e

G0/{1} = G0, G/G0 são abelianos, isto é, G admite uma série subnormal abeliana e,

portanto, ´e sol´uvel.

Suponha que |G0| = 2. Então, G0 = Z(G). De fato, seja G0 = {1, g0}. Como G0 é uma única classe de conjuga¸cão e elementos conjugados têm mesma ordem, temos que

∀x ∈ G, x−1_g0

x = g0 ⇐⇒ g0x = xg0, de onde segue que G0 ⊂ Z(G). Tome agora h ∈ G,

tal que h não pertence a G0. Como ¯h = hG0 = {h, hg0} é uma única classe de conjuga¸cão

(lema 3.2), escrevemos x−1_{hx = hg}0

, para algum x ∈ G, o que implica que h n˜ao pertence a Z(G). Equivalentemente, temos que h ∈ Z(G) =⇒ h ∈ G0. Portanto, Z(G) ⊂ G0.

Sendo G0 central em G, podemos escrever {1} ⊂ G0 ⊂ G, tal que {1} e G0 são normais em G e G0 ⊂ Z(G), isto é, G admite uma série central e, portanto, é nilpotente.

Nessas condi¸cões temos que G é um 2-grupo. De fato, G é nilpotente se e somente se G é um produto direto de p-grupos. Digamos que G = G2× G3× G5× · · · × Gi× · · ·,

onde {Gi}i∈I ´e um conjunto finito e cada Gi ´e um i-grupo. Como |G

| = 2, temos que G0 ⊂ G2 e ∀a, b ∈ Gi, i ≥ 3, [a, b] = a−1b−1ab ∈ Gi∩ G

. Logo, |[a, b]| divide |Gi| e divide

|G0| = 2, o que nos d´a |[a, b]| = 1, ∀a, b ∈ Gi, ou seja, Gi ´e abeliano, ∀i ≥ 3. Note que o

elemento h = (1, h3, h5, · · ·) est´a em Z(G) = G

. Ent˜ao, h = (x, 1, 1, · · ·, 1), para x ∈ G2.

Portanto, G = G2, ou seja, G ´e um 2-grupo.

Seja n > 1 o grau de uma representa¸cão irredut´ıvel de G sobre K, onde K é um corpo algebricamente fechado de caracter´ıstica zero. Então, do lema 3.1,

KG ' K ⊕ K ⊕ · · · ⊕ K ⊕ Mn(K),

onde aparecem [G : G0] c´opias de K. Se |G| = 2m_{, ent˜ao}

Como n é inteiro, m − 1 é par e, portanto, m é ´ımpar. Temos assim verificado uma implica¸cão .

Passemos ao segundo item. Suponha agora que |G0| = pj _{> 2. Neste caso, Z(G) = 1.}

De fato, digamos que |G0| = 3 e G0 = {1, a, b}. Como G age por conjuga¸c˜ao sobre

G0 − {1} = {a, b} e giG

= {gi, gia, gib}, gi ∈ τ , é uma única classe de conjuga¸cão de G,

então a única classe com um único elemento é {1}. Logo, Z(G) = 1, pois, ∀a ∈ G,

Ca= {a} ⇐⇒ g−1ag = a, ∀g ∈ G ⇐⇒ ag = ga, ∀g ∈ G ⇐⇒ a ∈ Z(G).

Fica claro, desse modo, que Z(G) = 1 para qualquer ordem maior de G0.

Observe que os grupos G/G0 e G0 são nilpotentes, pois G/G0 e G0 são abelianos. Logo, a série G ≥ G0 ≥ 1 é nilpotente de comprimento 2 e esse é também o comprimento

nilpotente de G. De fato, basta ver que G0 ´e normal minimal em G e, portanto, a s´erie

G ≥ G0 ≥ 1 ´e a s´erie nilpotente inferior de G.

Seja

η

um normalizador de sistema de G. Ent˜ao, do teorema 1.1, segue que G=

η

e ηTG0 = 1.

Segue do teorema de isomorfismo para grupos que

η

' G/G0 que ´e, portanto, abeliano. A a¸c˜ao de

η

sobre G0, por conjuga¸c˜ao , ´e fiel. De fato, seja

φ : η −→ Aut(G0) n 7−→ φn: G 0 −→ G0 g0 7→ n−1_g0 n

essa a¸c˜ao . ´E suficiente mostrar que ker(φ) = 1G. Para isso, tome n ∈ ker(φ), isto ´e, n

tal que n−1_g0

n = g0, ∀g0 ∈ G0. Agora, ∀x ∈ G, x = eg0, com e ∈

η

, g0 ∈ G0. Ent˜ao,

∀x ∈ G,

n−1_{xn = n}−1_eg0

n = (n−1_en)(n−1_g0

n) = eg0 = x,

tal que n−1_{en = e, pois}

_η

_{´e abeliano. Portanto, n ∈ ker(φ) ⇐⇒ n ∈ Z(G) = {1}

G} ⇐⇒

n = 1G, onde a rec´ıproca segue trivialmente. Da´ı conclu´ımos que

η

possui uma c´opia em

Visto que G0 ´e abeliano elementar e |G0| = pj_{, podemos escrever G}0

' Zp× · · · × Zp,

onde Zp aparece j vezes. Nesse caso, G

´e um Zp-espa¸co vetorial.

Na representa¸cão φ, G0 ' Zpj não possui Zp-subespa¸co invariante não-trivial, isto é,

a a¸c˜ao de

η

sobre G0 ´e irredut´ıvel. De fato, vimos que a a¸c˜ao de G sobre G0 − {1}, por

conjuga¸c˜ao , ´e transitiva; ou seja, ∀x, y ∈ G0 − {1}, existe g ∈ G tal que g−1_{xg = y.}

Podemos escrever g = ng0, onde n ∈

η

, g0 ∈ G0. Ent˜ao,

g−1_{xg = y ⇐⇒ y = g}0−1

(n−1_xn)g0

= g0−1g0(n−1_{xn) = n}−1_xn,

pois n−1_{xn ∈ G}0

e G0 é abeliano. Portanto, a a¸cão transitiva de G sobre G0 se reduz à a¸cão transitiva de

η

sobre G0, de onde conclu´ımos a afirma¸c˜ao feita.

Na a¸c˜ao φ observe que ∀n ∈

η

, φn : G

→ G0 ´e uma transforma¸c˜ao linear sobre Zp

invers´ıvel, com φn−1: x 7→ nxn−1, ∀x ∈ G

, onde G0 ' Zpj. Como a essas transforma¸c˜oes

est˜ao associadas matrizes em Mj(Zp), o anel de matrizes de ordem j com coeficientes em

Zp, e Mj(Zp) s˜ao todas as transforma¸c˜oes lineares sobre Zpj ' G

, podemos pensar em

η

contido em Mj(Zp) via aplica¸c˜ao

ϕ : η −→ Mj(Zp) = {matrizes j × j com coef icientes em Zp}

n 7−→ ϕn

onde ϕn é a representa¸cão matricial de φn em rela¸cão a uma base fixada, cujo kernel é

kerϕ = {1G}.

Verifiquemos agora que o centralizador C(

η

) de

η

em Mj(Zp) ´e um anel de divis˜ao.

Basta mostrar que existe L−1 _{em C(}

_η

_{), ∀L ∈ C(}

_η

_{), L 6= 0. Ou ainda, que L ´e 1 − 1}

e sobrejetiva, ∀L 6= 0. Do teorema do núcleo e imagem, isso se reduz a mostrar que L é sobrejetiva; isto é, que L(Zpj) = Zpj. Verifiquemos então essa igualdade. Para todo

n ∈ η, n 6= 0, n é invers´ıvel; em particular, é sobrejetiva. Logo, ∀L ∈ C(η), L 6= 0, nL(Zpj) = Ln(Zpj) = L(Zpj). Portanto, L(Zpj) ⊆ Zpj é η-invariante. Como η age de

modo irredut´ıvel sobre Zpj e L 6= 0, temos que L(Zpj) = Zpj.

Como C(

η

) ´e um anel de divis˜ao finito e, portanto, um corpo finito, temos que C (η)∗

´e c´ıclico. Logo,

η

tamb´em ´e c´ıclico, pois

η

´e abeliano o que implica que

η

est´a contido em C(η)∗_.

A a¸c˜ao de

η

como um grupo de permuta¸c˜oes sobre G0 − {1} ´e transitiva; ou seja,

G0−{1} é uma única órbita de

η

. Visto que

η

é abeliano, essa a¸cão é também regular, pela

proposi¸c˜ao 1.1. Em particular,

η

é semiregular (defini¸cão 1.6). Então, pela proposi¸cão 1.2, temos que |η| = |G0 − {1}| = pj _{− 1.}

η

´e um subgrupo maximal em G. De fato, seja L subgrupo de G tal que

η

< L

< G e

η

6= L. Ent˜ao, existe l ∈ L, l = ng0, tal que n ∈

η

, g0 ∈ G0 e g0 6= 1. ´E claro que

n−1 _{∈ L, pois}

_η

_{< L. Logo, n}−1_{l = n}−1_ng0

= g0 ∈ L e consequentemente g0η, a classe

de g0 na a¸c˜ao de

η

, por conjuga¸cão , sobre G0, pertence a L. Mas essa a¸cão é transitiva. Então, g0η = G0 ⊂ L. Como L ⊃ G0 e L ⊃ η, temos que L ⊃ G = ηG0; ou seja, L = G e, portanto,

η

´e maximal em G.

`: A representa¸c˜ao de G sobre as classes de

η

´e primitiva. Com efeito, seja

τ = {t1 = 1, t2, · · ·, tk} um transversal de

η

em G e suponha que ηt1 = η, ηt2, · ·

·, ηts; com s < k, é um bloco não-trivial fixado pela a¸cão de G sobre G/η. Então,

ηt1 = η ∪ ηt2 ∪ · · · ∪ ηts = M ´e um subgrupo de G. De fato, quaisquer que sejam

nti, n 0 tj ∈ M, temos que ntin 0 tj ∈ (ηti)n 0

tj ⊂ ∪si=1ηti =M. Ou seja, M ´e fechado para a

opera¸c˜ao de G. Note ainda que (nti)(t−1i n−1ti) = ti ∈ M e, com isso, titi−2 = t−1i ∈ M.

Assim, ∀nti ∈ M, ti−1n−1 = (nti)−1 ∈ M . Portanto, M ´e um grupo tal que η < M < G

e η 6= M 6= G, o que contradiz a maximalidade de η em G. Então, não existem blocos não-triviais fixados pela a¸cão de G sobre as classes de η, o que verifica a afirma¸cão inicial. Além disso, essa é uma representa¸cão fiel. De fato, se π : G → S(G/η) é essa repre- senta¸cão , então basta mostrar que kerπ = {1}. Para isso, observe que

kerπ ⊆ \

x∈G

ηx e que o grupo \

x∈G

ηx está contido no hipercentro de G (ver [2]). Visto que o hipercentro de G é {1}, pois Z(G) = {1}, então kerπ = {1}.

Agora, usando o fato que |η| = pj_{− 1 e aplicando resultado encontrado em [3], temos}

que G ´e isomorfo ao grupo de todas as transforma¸c˜oes x → ax + b, a 6= 0, sobre um corpo de ordem pj_.

Para a rec´ıproca, suponha primeiramente que |G| = 2k_{, G}0

= Z(G) e |G0| = 2.

Digamos que G0 = {1, a} e τ = {go = 1, g1, · · ·, gr} ´e um transversal de G

em G.

`: giG

= {gi, gia} é uma união de classes de conjuga¸cão . De fato, x ∈ giG

0 =⇒ x = gig 0 , g0 ∈ G0. Portanto, ∀g ∈ G, g−1_{xg = g}−1_g ig 0 g = (g−1_g ig)(g−1g 0 g) ∈ giG 0 .

Logo, G possui, pelo menos, r = [G : G0] − 1 classes de conjuga¸c˜ao . Suponha que giG

é união de classes de conjuga¸cão distintas, a saber, giG

= Cgi∪

·_C gia.

Nesse caso, ∀g ∈ G, g−1_g

ig = gi ⇐⇒ gig = ggi e g−1(gia)g = (gia) ⇐⇒ (gia)g = g(gia),

de onde conclu´ımos que gi e gia pertencem a Z(G) = G

0 . Ent˜ao, Cgi = Cgia = G 0 . Contradi¸c˜ao . Logo, giG 0

é uma única classe de conjuga¸cão , para i ≥ 1.

Podemos escrever G0 = (G0 − {1}) ∪ {1}, onde G0 − {1} = {a} e {1} s˜ao, cada uma,

uma única classe de conjuga¸cão . Então, G possui, pelo menos, r + 2 = [G : G0] + 1 classes de conjuga¸cão , que afirmamos serem as únicas classes de G. De fato, se x é representante de qualquer outra classe de conjuga¸cão , então x = gig

, com gi ∈ τ ,

g0 ∈ G0; isto ´e, x ∈ ¯gi = giG

, de onde temos ¯x = ¯gi.

Portanto, do lema 3.1 segue que G possui uma ´unica K-representa¸c˜ao irredut´ıvel de grau maior que 1.

Agora, suponha que G ´e isomorfo ao grupo de todas as transforma¸c˜oes x 7→ ax + b,

a 6= 0, sobre um corpo de ordem pn_{6= 2. Ent˜ao, o grupo G}0

de G corresponde ao grupo de todas as transla¸cões . De fato, sejam f : x 7→ ax+b e g : x 7→ cx+d transforma¸cões dadas como na hipótese. Então, estão definidas inversas f−1 _{: x 7→} 1

ax − b a e g −1 _{: x 7→} 1 cx − d c.

Por um c´alculo direto, verificamos que o comutador [f, g] de f e g ´e dado por [f, g] = x +d(a − 1) + b(1 − c)

ac ,

que é uma transla¸cão . Agora, se x 7→ x + q é uma transla¸cão arbitrária, então

x 7→ x + q ∈ G0. De fato, basta tomar, por exemplo, a = b = d = 1 e c = 1

1 + q na express˜ao d(a − 1) + b(1 − c)

ac . Da´ı conclu´ımos que |G

| = pn_.

`: Existem precisamente duas classes de conjuga¸c˜ao em G0. De fato, a transla¸c˜ao

trivial x 7→ x é uma classe de conjuga¸cão de G0. Se x 7→ x + q é uma transla¸cão não-trivial, então, para toda transforma¸cão x 7→ ax + b ∈ G, a 6= 0, temos que

(1 ax − b a) ◦ (x + q) ◦ (ax + b) = ( 1 ax − b a) ◦ (ax + (b + q)) = ( 1 a(ax + (b + q)) − b a) = x + q a = x + qa −1_,

tal que a ∈ Q e Q ´e um corpo de ordem pn_{. Ent˜ao, fazendo a percorrer todos os elementos}

percorre todas as transla¸cões não triviais de G. Como Q é finito, a classe de conjuga¸cão de x 7→ x + q é, portanto, G0− {x 7→ x}, o que verifica a afirma¸cão feita.

Seja agora x 7→ rx + s uma transforma¸c˜ao tal que 0 6= r 6= 1, isto ´e,

x 7→ rx + s ∈ G − G0. Ent˜ao, ∀ x 7→ ax + b ∈ G, a 6= 0, temos que:

(1 ax − b a) ◦ (rx + s) ◦ (ax + b) = ( 1 ax − b a) ◦ (r(ax + b) + s)) = 1 a(arx + rb + s) − b a = rx +rb + s − b a . Novamente rb + s − b

a percorre todos os elementos de Q, ∀ a, b ∈ Q e, portanto, a classe

de conjuga¸cão de x 7→ rx + s corresponde a todas as transforma¸cões x 7→ rx + s, s ∈ Q, 0 6= r 6= 1 fixo. Logo, existem pn_{− 2 classes de conjuga¸cão em G − G}0

. Como para cada 0 6= r 6= 1 fixado, existem pn _{transforma¸c˜oes associadas, temos que |G − G}0

| = pn_(pn_{− 2).} Portanto, |G| = |G − G0| + |G0| = pn_pn_{− 2p}n_{+ p}n_{= p}n_(pn_{− 1). Assim, [G : G}0 ] = |G| |G0 | = pn− 1 ⇐⇒ [G : G0] + 1 = pn.

Ao todo, ent˜ao, existem 2 + (pn_{− 2) = p}n _{= [G : G}0

] + 1 classes de conjuga¸c˜ao em G,

Bibliografia

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