Os problemas de isomorfismo de medidas envolvem uma relação quaternária entre quatro quantidades, onde duas quantidades são medidas de um tipo e as outras duas são medidas de outro tipo (a x b = c x d), envolvendo uma proporção direta simples entre esses dois espaços de medidas. Inseridos nesta classe encontram-se quatro subclasses de problemas: multiplicação, divisão partitiva, divisão por quotas e regra de três (Vergnaud, 1983, 1991).
A primeira subclasse de problemas – a multiplicação, envolve quatro medidas, das quais as crianças têm que extrair a relação dos três termos presentes para encontrar o quarto termo que falta. No entanto, para resolver um problema de multiplicação, por fazer parte de uma relação quaternária, tem-se que fazer uma relação entre os quatro termos. Esses termos podem ser extraídos por uma lei de composição binária ou por uma operação unária, dependendo do tipo de relação envolvida no problema. Cada um desses métodos implica em diferentes estratégias de resolução do problema.
A lei de composição binária só pode ser efetuada se a combinação dos valores conhecidos for vista como números e não como magnitudes. Porque se vistos como magnitudes e multiplicarmos 4 bombons por 12 centavos, por exemplo,
não ficará claro o porquê da resposta ser dada em centavos e não em bombons. O problema e o esquema abaixo ilustram estas relações (vergnaud, 1983):
Maria quer comprar 4 bombons. Cada bombom custa 12 centavos. Quanto Maria vai pagar pelos 4 bombons?
C D 1 a b x
Onde, a = 12; b = 4; C = número de bombons; D = Custo
A operação unária acontece, exatamente, quando as crianças ainda não compreendem a lei de composição binária, que pode ser efetuada por um operador escalar ou por um operador função. O operador escalar consiste em encontrar a solução a partir das relações numéricas no interior de uma mesma variável, onde cada variável permanece independente da outra e realizam-se transformações paralelas em cada uma delas e se mantém a relação proporcional (Schliemann & Carraher, 1993),
Maria quer comprar 4 bombons. Cada bombom custa 12 centavos. Quanto Maria vai pagar pelos 4 bombons?
C D 1 a b x
Onde, a = 12; b = 4; C = número de bombons; D = Custo; xb = operador escalar. x b
Resolver um problema através do operador função, consiste em relacionar as duas variáveis e encontrar a razão que liga as duas variáveis e em utilizá-la para resolver o problema (Schliemann & Carraher, 1993),
Maria quer comprar 4 bombons. Cada bombom custa 12 centavos. Quanto Maria vai pagar pelos 4 bombons?
C D 1 a b x
Onde, a = 12; b = 4; C = número de bombons; D = Custo; xa = operador função.
Assim, as crianças operam sabendo o porquê da resposta ter sido dada em centavos e não em bombons. A operação unária deixa claro para a criança, que ainda não está compreendendo as relações das estruturas multiplicativas, o porque das respostas serem dadas em uma das medidas e não na outra medida envolvida nos problemas de relação quaternária (Vergnaud, 1983).
A segunda subclasse de problemas – divisão partitiva, envolve um operador escalar (/b). Mas a inversão do pensamento da criança de xb para /b é de extrema dificuldade, onde a criança prefere encontrar o valor ausente através de xb pelo procedimento de tentativa-e-erro.
João tem 12 carrinhos e quer distribuir seus carros com 4 colegas. Quantos carrinhos ele vai dar a cada colega?
C D x a x a
1 x b a
Onde, a = 12; b = 4; C = número de colegas; D = carrinhos; /b = operador escalar.
Um outro procedimento adotado pelas crianças na divisão das quantidades, é a distribuição unitária dos objetos entre os participantes, ou imaginando estarem em diferentes lugares. Mas este procedimento não tem característica multiplicativa (Vergnaud, 1983).
A terceira subclasse de problemas – divisão por quotas, envolve uma
inversão direta do operador função, aplicado em b.
Carla tem 12 doces e quer colocar 4 doces em cada bandeja. De quantas bandejas Carla vai precisar?
C D 1 a x b
Onde, a = 4; b = 12; C = número de bandejas; D = doces; /a = operador função.
Esse procedimento é muito difícil para a criança, não só porque envolve a inversão do problema, mas também porque envolve a inversão do operador função (Vergnaud, 1983).
As crianças também podem resolver este tipo de problema através do procedimento da adição repetida a + a + a ... até chegar em b , depois contam o número de vezes que somaram o a .
/ b / b
/ a / a
A quarta subclasse de problemas – a regra de três, é a subclasse em que se concentra as maiores dificuldades das crianças. Apesar de conter apenas duas variáveis (característica dos problemas do tipo isomorfismo), esse tipo de problema não tem um dos seus valores igual a um, como nos problemas das subclasses analisadas anteriormente,
Diariamente, cada 4 crianças consomem 12 litros de leite. Se tivermos 6 crianças, quanto elas irão consumir de leite diariamente?
D E a b c x
Onde, a = 4; b = 12; c = 6; D = Número de crianças; E = Leite.
O que diferencia a estrutura de isomorfismo de medidas das estruturas de produto de medidas e das proporções múltiplas é que o isomorfismo de medidas envolve apenas duas variáveis e podem ser modeladas por uma função linear, enquanto que os problemas de produto de medidas e de proporções múltiplas envolvem três ou mais variáveis e são modeladas por uma função n-linear ou bilinear. Esses dois últimos tipos de problema envolvem uma relação ternária, enquanto o isomorfismo de medidas, como foi visto, envolve uma relação quaternária.
As relações quaternárias envolvem problemas do tipo isomorfismo de medidas que apesar de variarem quanto ao seu grau de dificuldade podem ser representados por esquemas semelhantes: não é outra coisa senão a tabela de
correspondência entre os dois tipos de quantidades. Esses problemas podem ser resolvidos por uma multiplicação, por uma divisão ou por uma regra de três.
As relações ternárias envolvem problemas do tipo produto de medidas e proporções múltiplas, e geralmente são representadas pelo quadro cartesiano1, uma vez que o produto cartesiano de conjuntos explica o produto de medidas.