Sejam V e W espaços vetoriais sobre K e T : V −→ W uma transformação linear. Dizemos que T é sobrejetiva quando Im(T ) = W . Isto significa que para qualquer w ∈ W , existe v ∈ V tal que T (v) = w.
A proposição a seguir, nos diz uma condição necessária e suficiente para que uma transformação linear seja sobrejetiva.
Proposição 3.3.1. Sejam V e W espaços vetoriais sobre K e T : V −→
W uma transformação linear. Se X ⊂ V é tal que V = span(X), então Im(T ) = span(T (X)). Em particular, T é sobrejetiva se, e somente se, span(T (X)) = W .
Demonstração. Seja X ⊂ V tal que V = span(X). Vamos mostrar que Im(T ) = span(T (X)). Seja w ∈ Im(T ). Tome v ∈ V tal que T (v) = w.
Pela hipótese V = span(X), existem α1, . . . , αr ∈ K e v1, . . . , vr ∈ X tais
que v = α1v1+ . . . + αrvr. Da linearidade de T , segue que w = α1T (v1) + . . . + αrT (vr).
Isto mostra que w ∈ span(T (X)). Portanto, Im(T ) ⊂ span(T (X)). Por outro lado, X ⊂ V , implica que T (X) ⊂ Im(T ). Agora, usando o fato que Im(T ) é um subespaço de W , segue que span(T (X)) ⊂ Im(T ) e daí
Im(T ) = span(T (X)). Em particular, T é sobrejetiva se, e somente se, W = Im(T ) = span(T (X)).
Exemplo 3.3.1. Se V é um espaço vetorial, então uma transformação linear
f : V −→ R ou é sobrejetiva ou é igual a zero. Com efeito, Im(f ) é um subespaço de R, de modo que ou dim Im(f ) = 1 ou dim Im(f ) = 0. Se
dim Im(R) = 1, então Im(f ) = R, isto é, f é sobrejetiva. Caso contrário, dim(f ) = 0 e daí Im(f ) = 0. Ou seja f = 0.
Exemplo 3.3.2. A transformação linear D : Pn(R) −→ Pn−1(R) dada por D(p) = p0 para todo p ∈ Pn(R) é sobrejetiva.
Exemplo 3.3.3. Seja T : P2(R) −→ R3 dada por T (p) = (a0, a1, a2) para
todo p(x) = a0+ a1x + a2x2 em P2(R). É claramente uma transformação
3.3. ISOMORFISMOS 53
Exemplo 3.3.4. Considere T : R4−→ M2(R) dada por
T (x, y, z, w) = x y
2x − z 2y − w
!
para todo (x, y, z, w) ∈ R4. Note que as matrizes canônicas E1, E2, E3 e E4
estão em Im(T ) e, portanto, Im(T ) = M2(R). Isto é, T é sobrejetiva.
Sejam V e W espaços vetoriais sobre K. Dizemos que uma transformação linear S : W −→ V é uma inversa à direta da transformação linear
T : V −→ W quando T S = IW, ou seja, T (S(w)) = w para todo w ∈ W .
Teorema 3.3.1. Sejam V e W espaços vetoriais sobre K de dimensão finita.
A fim de que uma transformação linear T : V −→ W possua uma inversa à direita S : W −→ V linear, é necessário e suficiente que T seja sobrejetiva. Demonstração. Se T admite uma inversa à direita S : W −→ V linear,
então para todo w ∈ W temos que T (S(w)) = w. Logo T (v) = w onde
v = S(w) ∈ V . Então T é sobrejetiva. (Note que não foi necessário supor
que os espaços tenham dimensão finita e que T e S sejam lineares).
Suponhamos, agora, que T seja sobrejetiva. Seja {w1, . . . , wm} uma base
de W . Como T é sobrejetiva, existem v1, . . . , vm em V tais que T (vi) = wi, i = 1, . . . , m. Pela Proposição 3.1.1, existe uma transformação linear S : W −→ V tal que S(wi) = vi, i = 1, . . . , m. Afirmamos que T (S(w)) = w
para todo w ∈ W . Com efeito, dado w ∈ W , existem β1, . . . , βm em K tais
que w = β1w1+ . . . + βmwm. Portanto, pela linearidade de S e de T , e dos
fatos que S(wi) = vi e T (vi) = wi, temos que
T (S(w)) = T (β1S(w1) + . . . + βmS(wm))
= T (β1v1+ . . . + βmvm)
= β1T (v1) + . . . + βmT (vm)
= β1w1+ . . . + βmwm = w.
Isto mostra que S é uma inversa à direita de T . (Observe que foi necessário somente supor que W tenha dimensão finita).
Observação 3.3.1. Uma transformação linear sobrejetiva pode admitir mais
de uma inversa à direita. De fato, seja T : R3 −→ R2 a transformação li-
near dada por T (x, y, z) = (x, y) para todo (x, y, z) ∈ R3. Fixados, a, b ∈ R, a transformação linear S(x, y) = (x, y, ax + by) para todo (x, y) ∈ R2 é uma inversa à direita de T .
Sejam V e W espaços vetoriais sobre K e T : V −→ W uma transfor- mação linear. Dizemos que T é injetiva quando dados v1, v2 ∈ V tais que
v1 6= v2 temos T (v1) 6= T (v2). Equivalentemente, se T (v1) = T (v2), então
v1= v2.
As duas próximas proposições nos dão condições necessárias e suficientes para que uma transformação linear seja injetiva.
Proposição 3.3.2. Sejam V e W espaços vetoriais sobre K. Então uma
tranformação linear T : V −→ W é injetiva se, e somente se, N (T ) = {0}. Demonstração. Seja v ∈ N (T ). Como T é linear, temos que T (v) = 0 = T (0). Mas T é injetiva e daí v = 0. Então N (T ) ⊂ {0}. Por outro lado, é
claro que 0 ∈ N (T ) e, portanto, N (T ) = {0}. Agora, sejam v1, v2 ∈ V tais
que T (v1) = T (v2). A linearidade de T implica que v1− v2 ∈ N (T ). Por
hipótese, N (T ) = {0} e assim v1 = v2. Logo T é injetora.
Usando a proposição anterior, vemos que a transformação linear do exemplo 3.3.2 não é injetiva (pois N (D) = P0(R)) e as dos exemplos 3.3.3
e 3.3.4 são injetivas.
Proposição 3.3.3. Sejam V e W espaços vetoriais sobre K. Então uma
tranformação linear T : V −→ W é injetiva se, e somente se, T leva vetores LI em vetores LI.
Demonstração. Sejam v1, . . . , vr vetores LI em V . Sejam α1, . . . , αr ∈ K
tais que α1T (v1) + . . . + αrT (vr) = 0. Pelo fato de T ser linear, temos que α1v1+. . .+αrvr∈ N (T ). Mas T é injetiva e, portanto, α1v1+. . .+αrvr = 0.
Como v1, . . . , vr são LI, segue que α1 = . . . = αr = 0. Isto mostra que T (v1), . . . , T (vr) são LI em W . Recirpocamente, dado v ∈ V tal que v 6= 0,
então {v} é LI e, por hipótese, {T (v)} é LI. Disto segue que T (v) 6= 0. Assim, N (T ) = {0} e daí T é injetiva.
Sejam V e W espaços vetoriais sobre K. Dizemos que uma transformação linear S : W −→ V é uma inversa à esquerda da transformação linear
T : V −→ W quando ST = IV, ou seja, S(T (v)) = v para todo v ∈ V .
Proposição 3.3.4. Sejam V e W espaços vetoriais sobre K de dimensão
finita. A transformação linear T : V −→ W possui uma inversa à esquerda se, e somente se, T é injetiva.
Demonstração. Sejam v1, v2 ∈ V tais que T (v1) = T (v2). Se S é uma inversa
à esquerda, então v1 = S(T (v1)) = S(T (v2)) = v2. Portanto, T é injetiva. (Note que não foi necessário supor que os espaços tenham dimensão finita e que T e S sejam lineares).
Agora, suponhamos que T seja injetiva. Seja {v1, . . . , vn} uma base de V . Pela proposição anterior, {T (v1), . . . , T (vn)} é LI em W . Logo, existem w1, . . . , wk ∈ W tais que {T (v1), . . . , T (vn), w1, . . . , wk} é uma base de W .
Pela Proposição 3.1.1, exista uma transformação linear S : W −→ V tal que S(T (vi)) = vi e S(wj) = 0, i = 1, . . . , n e j = 1, . . . , k. Afirmamos que S(T (v)) = v para todo v ∈ V . De fato, dado v ∈ V , existem α1, . . . , αn∈ K
3.3. ISOMORFISMOS 55 fato que S(T (vi)) = vi, i = 1, . . . , n temos
S(T (v)) = S(α1T (v1) + . . . + αnT (vn))
= α1S(T (v1)) + . . . + αnS(T (vn))
= α1v1+ . . . + αnvn= v.
Então S é uma inversa à esquerda de T .
Observação 3.3.2. Uma transformação linear injetiva pode admitir mais
de uma inversa à esquerda. Por exemplo, seja T : R2 −→ R3 a transfor-
mação linear definida por T (x, y) = (x, y, 0) para todo (x, y) ∈ R2. Fixados, a, b ∈ R, a transformação linear S(x, y, z) = (x + az, y + bz) para todo
(x, y, z) ∈ R3 é uma inversa à esquerda de T .
Sejam V e W espaços vetoriais sobre K. Uma transformação linear
T : V −→ W é dita invertível quando existe S : W −→ V linear tal
que ST = IV e T S = IW, isto é, quando S é, ao mesmo tempo, inversa à esquerda e à direita de T . Equivalentemente, T é invertível se, e somente se, T é injetiva e sobrejetiva. Neste caso, dizemos que T é uma bijeção linear entre V e W ou, mais apropriadamente, que T : V −→ W é um
isomorfismo e que os espaços vetoriais V e W são isomorfos.
A noção de isomorfismo entre espaços veotiriais é de fundamental im- portância na matemática. Ela nos permite identificar, sob o ponto de vista da Álgebra Linear, espaços vetoriais. Mais precisamente, dizer que espaços vetoriais são isomorfos, significa dizer que eles possuem a mesma "caracte- rística"ou a mesma "geometria".
Exemplo 3.3.5. Os espaços P2(R) e R3 são isomorfos. Mais geralmente,
Pn(R) e Rn+1 são ismorfos, onde o isomorfismo natural é dado por T :
Rn+1−→ Pn(R) com T (a0, . . . , an) = p onde p(x) = a0+ a1x + . . . + anxn, para todo x ∈ R e para todo (a0, . . . , an) ∈ Rn+1.
Exemplo 3.3.6. Os espaços R4 e M2(R) são isomorfos. Mais geralmente,
Mm×n(R) e Rmn são isomorfos, onde o isomorfismo natural é dado por T : Mm×n(R) −→ Rmn com
T ((aij)m×n) = (a11, a12, . . . , a21, a22, . . . , a2n, . . . , am1, am2, . . . , amn) para toda (aij)m×n em Mm×n(R).
Proposição 3.3.5. Sejam V e W espaços vetoriais sobre K tais que dim V =
dim W . Seja T : V −→ W uma transformação linear. As seguintes afirma-
ções são equivalentes: (I) T é sobrejetiva; (II) T é injetiva;
(III) se B é uma base de V , então T (B) é uma base de W .
Demonstração. Suponhamos que dim V = dim W = n. Seja B = {v1, . . . , vn}
uma base de V . (I) ⇒ (II)
Seja T sobrejetiva. Então Im(T ) = W e daí dim Im(T ) = dim W = dim V . Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, segue que dim N (T ) = 0 e, portanto, T é injetiva.
(II) ⇒ (III)
Pela injetividade de T , o conjunto T (B) tem n elementos e é LI em W . Como dim W = n segue que T (B) é uma base de W .
(III) ⇒ (I)
Seja w ∈ W . Por hipótese, T (B) é uma base de W . Logo existem
α1, . . . , αn ∈ K tais que w = α1T (v1) + . . . + αnT (vn). Pela linearidade de T , temos que w = T (α1v1 + . . . + αnvn). Mas α1v1+ . . . + αnvn ∈ V e,
portanto, w ∈ Im(T ). Isto mostra que Im(T ) = W e T é sobrejetiva. Na proposição anterior, é necessário que os espaços vetoriais tenham a mesma dimensão. Entre espaços de mesma dimensão finita, toda transfor- mação linear que é sobrejetiva (ou injetiva), é também injetiva (ou sobreje- tiva). Em particular, é um isomorfismo. Isto significa que entre espaços de mesma dimensão, ou a transformação linear é bijetiva ou não é nem injetiva e nem sobrejetiva. Tirando a hipótese dos espaços não terem a mesma dimen- são ou serem de dimensão infinta, este resultado não é válido. Por exemplo, a transformação linear do exemplo 3.3.2 é sobrejetiva mas não é injetiva. Já a transformação linear T : R3 −→ R4 onde T (x, y, z) = (x, x − y, y − z, z)
para todo (x, y, z) ∈ R3 é injetiva mas não é sobrejetiva. Lembramos que se K é um corpo, então o conjunto
Kn= {(α1, . . . , αn) ; α1, . . . , αn∈ K}
munido das operações (usuais)
(
(α1, . . . , αn) + (β1, . . . , βn) = (α1+ β1, . . . , αn+ βn); λ(α1, . . . , αn) = (λα1, . . . , λαn)
para todos (α1, . . . , αn), (β1, . . . , βn) ∈ Kn e λ ∈ K, é um espaço vetorial
sobre K. Além disso, dim Kn = n. O próximo resultado irá garantir que todo espaço vetorial de dimensão n é, essencialmente, o espaço Kn.
Teorema 3.3.2. Os espaços vetoriais V e W sobre K são isomorfos se, e
somente se, dim V = dim W . Em particular, todo espaço vetorial sobre K de dimensão n é isomorfo à Kn.
Demonstração. Se existe T : V −→ W isomorfismo entre V e W , então
N (T ) = {0} e Im(T ) = W . Do Teorema do Núcleo e da Imagem, segue que dim V = dim W .
3.3. ISOMORFISMOS 57 Agora, suponhamos que dim V = dim W = n. Sejam B = {v1, . . . , vn} e
C = {w1, . . . , wn} bases de V e W , respectivamente. Pela Proposição 3.1.1,
existe uma (única) transformação linear T : V −→ W tal que T (vi) = wi para todo i = 1, . . . , n. Mais precisamente, T (v) = α1w1+ . . . + αnwn onde α1, . . . , αn são as coordenadas de v ∈ V em relação à base B. Claramente
temos que T é injetiva e, pela hipótese que dim V = dim W , obtemos que T é um isomorfismo.
Sejam V e W espaços vetoriais sobre K e T : V −→ W um isomorfismo. Definimos T−1 : W −→ V de modo que T−1(w) = vse, e somente se,
T (v) = w para todo w ∈ W . Por construção, temos que T T−1 = IW e T−1T = IV.
Proposição 3.3.6. Sejam V e W espaços vetoriais sobre K. Se T : V −→
W é um isomorfismo, então T−1: W −→ V é um isomorfismo.
Demonstração. Vejamos que T−1 : W −→ V é linear. Sejam w1, w2 ∈ W e
α ∈ K. Como T é bijetiva, existem únicos v1, v2 ∈ V tais que T−1(w1) = v1
e T−1(w2) = v2. Mais ainda, T (v1) = w1 e T (v2) = w2. Daí
T−1(αw1+ w2) = T−1(αT (v1) + T (v2)) = T−1T (αv1+ v2)
= αv1+ v2 = αT (w1) + T (w2).
Além disso, T−1 é injetiva, pois
N (T ) = {w ∈ W ; T−1(w) = 0} = {w ∈ W ; w = 0} = {0}.
Por fim vemos que T−1é sobrejetiva. De fato, dado v ∈ V , então w = T (v) ∈
W e daí T−1(w) = T−1(T (v)) = v. Portanto, T−1 é um isomorfismo. Para finalizarmos esta sessão, mostraremos que se uma transformação linear T entre os espaços V e W admite inversa à esquerda e à direita, então
T é invertível. Mais ainda, se os espaços tem a mesma dimensão, então
para que T seja invertível, basta mostrar que T tem inversa à esquerda ou à direita.
Proposição 3.3.7. Sejam V e W espaços vetoriais sobre K. Se uma trans-
formação linear T : V −→ W tem uma inversa à esquerda S : W −→ V e uma inversa à direita R : W −→ V , então S = R e T é um isomorfismo com T−1 = S = R.
Demonstração. Temos que ST = IV e T R = IW, isto é, S(T (v)) = v e T (R(w)) = w para todos vinV e w ∈ W . Portanto, dado w ∈ W , temos
S(w) = S(T (R(w))) = R(w)
e assim S = R. Como T−1T = IV e T T−1 = IW temos que S = R = T−1.
Corolário 3.3.1. Sejam V e W espaços vetoriais sobre K tais que dim V =
dim W = n. Se T : V −→ W e S : W −→ V são transformações lineares
tais que ST = IV (i.e., S é uma inversa à esquerda de T ), então T S = IW e S = T−1.
Demonstração. Temos que ST = IV, isto é, S(T (v)) = v para todo v ∈ V . Isto signifca que S é uma inversa à esquerda de T e, portanto, T é injetiva. Como dim V = dim W = n, então T é sobrejetiva. Daí existe R : W −→ V linear inversa à direita de T , ou seja, T R = IW. Pela proposição anterior,
S = R = T−1.