5.3.1 O caso em estudo
O escoamento turbulento de ´agua num difusor representado na figura 5.14 foi es- tudado experimentalmente por [ Kian, 1981]. O fluido tem massa vol´umica ρ = 998kg/m3
e viscosidade µ = 10−3kg/(ms). A entrada do fluido no difusor ´e feita axialmente
por interm´edio de dois orif´ıcios concˆentricos. No orif´ıcio circular central, de diˆametro
d = 0.016m, a velocidade ´e de 0.4ms−1, enquanto no tubo anelar de diˆametro interno d e
diˆametro externo D = 0.16m a velocidade ´e de 0.0233ms−1. A parede c´onica estende-se
at´e `a distˆancia L = 0.64m da entrada e faz um ˆangulo de 2.5o em rela¸c˜ao ao eixo. O
comprimento total do tubo ´e de 1.2m.
Figura 5.14: Configura¸c˜ao (com escala alterada) do difusor referido em [ Zhu e Rodi, 1992].
[ Zhu e Rodi, 1992] realizaram um estudo num´erico deste escoamento. Estes au- tores usaram equa¸c˜oes de transporte com coordenadas n˜ao ortogonais e componentes carte- sianas da velocidade. As equa¸c˜oes de transporte alg´ebricas s˜ao obtidas pelo m´etodo dos volumes finitos em malhas n˜ao deslocadas de 68 × 50 e 102 × 88 n´os. Os esquemas de interpola¸c˜ao do termo convectivo usados s˜ao o h´ıbrido, QUICK e SOUCUP. O modelo de turbulˆencia ´e o k − ε.
Em y1= 0, as componentes u1e u2da velocidade apresentam os valores seguintes: u2 = 0 u1 = u1J = 0.4ms−1 se y2< rJ u1 = u1A= 0.233ms−1 se y2> rA u1 = u1A+ (u1J − u1A) . " 1 − µ y2− rJ rA− rJ ¶3/2#2 se rJ < y2< rA . (5.9) rJ e rA s˜ao os extremos da camada de corte entre os jactos cil´ındrico e anelar e
se relacionam por interm´edio de
δ = 2 (rA− rJ) /d . (5.10)
Figura 5.15: Malha do tipo usado na simula¸c˜ao do escoamento referido em [ Zhu e Rodi, 1992], com as dimens˜oes alteradas.
De acordo com os dados experimentais e as op¸c˜oes de [ Zhu e Rodi, 1992], δ = 1. Na zona entre os jactos cil´ındrico e anelar consideram que o perfil da componente u1 da velocidade ´e linear.
Para as vari´aveis k, ε e µt s˜ao adoptados por estes autores valores de entrada
semi-emp´ıricos: k = νt Cµ1/2 ¯ ¯ ¯ ¯∂u∂y21 ¯ ¯ ¯ ¯ ; ε = Cµk2/νt ; νt= C2(rA− rJ)2 ¯ ¯ ¯ ¯∂u∂y21 ¯ ¯ ¯ ¯ com C2 = 0.0042 + 0.004u1A u1J se rJ < y2< rA ou k = 10−9m2s−2 ; ε = 10−9m2s−3 se y2 < rJ ou y2> rA . (5.11)
Os resultados usando os esquemas SOUCUP e QUICK s˜ao muito semelhantes, enquanto os resultados com o esquema h´ıbrido mostram que seria necess´ario o uso de
Figura 5.16: Isolinhas da fun¸c˜ao corrente obtidas por simula¸c˜ao do escoamento apresentado em [ Kian, 1981]. As siglas KE e GRN referem-se aos modelos de turbulˆencia k−ε cl´assico e com o m´etodo do grupo de renormaliza¸c˜ao, repectivamente.
malhas mais densas para a obten¸c˜ao de convergˆencia com os resultados dos outros esque- mas. Todas as escolhas conduzem a previs˜oes da velocidade com perfis semelhantes aos experimentais, o que n˜ao sucede em rela¸c˜ao `a energia cin´etica turbulenta, cujos resultados num´ericos se afastam significativamente dos experimentais.
5.3.2 Modelo utilizado e compara¸c˜ao de resultados
As equa¸c˜oes de transporte resolvidas usam componentes cartesianas da veloci- dade e s˜ao discretizadas numa malha ´unica com coordenadas curvil´ıneas n˜ao ortogonais. As equa¸c˜oes apresentam simetria cil´ındrica pelo que a malha ´e bidimensional. Os esque- mas de representa¸c˜ao dos fluxos convectivos nas faces dos volumes de controlo foram o h´ıbrido e o MUSCL aplicado como correc¸c˜ao diferida do esquema upwind. A turbulˆencia ´e descrita pelos modelos k − ε e k − ε − RN G.
Figura 5.17: Perfis radiais da componente axial da velocidade normalizada pelo seu valor m´edio, u1m, para diversos valores de y1.
As simula¸c˜oes foram efectuadas em malhas de 68×50 e 102×82 n´os. A figura 5.15 mostra uma malha an´aloga mas com um menor n´umero de n´os para facilitar a visualiza¸c˜ao. As condi¸c˜oes de fronteira adoptadas foram as referidas acima, com a escolha
rJ = d/2.
Os resultados obtidos com as malhas referidas de diferente densidade usando o esquema h´ıbrido s˜ao bastante pr´oximos entre si, e s˜ao praticamente coincidentes quando se usa o esquema MUSCL. Os resultados analisados nesta subsec¸c˜ao foram obtidos com uma malha de 102 × 82 n´os.
A fun¸c˜ao corrente adaptada a um escoamento tridimensional com simetria cil´ındrica ´e definida por
u1= y1 2δθ ∂Ψ ∂y2; u2= − 1 y2δθ ∂Ψ ∂y1 , (5.12)
em que o ˆangulo δθ ´e definido nos planos perpendiculares ao eixo de simetria sendo-lhe atribu´ıdo valor unit´ario. A fun¸c˜ao de corrente assim definida tem unidades de m3/s.
Usando o modelo k − ε, as linhas de corrente calculadas (figura 5.16) s˜ao muito semelhantes `as publicadas em [ Zhu e Rodi, 1992]. Com o modelo k −ε−RN G a posi¸c˜ao e
Figura 5.18: Perfis radiais da energia turbulenta normalizada pelo quadrado da velocidade sobre o eixo, para diversos valores de y1.
dimens˜oes do v´ortice secund´ario tornam-se significativamente diferentes das experimentais apresentadas no mesmo artigo.
A figura 5.17 compara os perfis radiais experimentais e calculados da velocidade axial. Os resultados indicam haver pouca dependˆencia da velocidade calculada em rela¸c˜ao ao esquema de discretiza¸c˜ao. O modelo de turbulˆencia k − ε cl´assico conduz a resultados bastante pr´oximos dos experimentais. A difus˜ao de momento na direc¸c˜ao radial parece ser menos intensa do que observado experimentalmente. Com a vers˜ao RN G h´a um maior afastamento em rela¸c˜ao aos valores experimentais. A difus˜ao de momento ´e mais intensa, resultando numa maior uniformiza¸c˜ao da velocidade, no mais r´apido desaparecimento do jacto central e na diminui¸c˜ao das dimens˜oes e intensidade do v´ortice secund´ario.
A previs˜ao da energia cin´etica turbulenta apresenta perfis qualitativamente seme- lhantes aos experimentais, mas com valores que se afastam bastante, especialmente com o modelo k − ε − RN G (figura 5.18). A viscosidade turbulenta calculada com este modelo apresenta valores superiores aos calculados com o k − ε cl´assico, o que justifica uma maior uniformidade da velocidade m´edia quando se usa k − ε − RN G.
verificada com o c´alculo da velocidade, e aumenta para jusante quando se usa o modelo
RN G. Com o aumento de y2 na zona de recircula¸c˜ao, os valores calculados apresesentam diminui¸c˜ao mais abrupta do que a indicada pelos dados experimentais.
Algumas discrepˆancias observadas poder˜ao eventualmente ser atribu´ıdas a erros experimentais ([ Zhu e Rodi, 1992]) ou a propostas de valores na fronteira de entrada menos realistas.