(Ð) Suponha que o duplicator ganhe em todas as partidas do jogo de refinamento RGM,N. Seja < = tpa, bq|pa, bq ´e uma configura¸c˜ao do spoileru. Vamos provar
que < ´e uma rela¸c˜ao de refinamento entre M e N. Suponha, por contradi¸c˜ao, que < n˜ao ´e uma rela¸c˜ao de refinamento ent˜ao (a)pm0, n0q R <; ou (b) para algum par
pm, nq P < um (ou mais de um) dos seguintes itens valem: (i) LMpmq ¦ LNpnq; ou
(ii) existepm, a, m1q P RM e n˜ao existe transi¸c˜aopn, a, n1q P RN compm1, n1q P <; ou (iii) existe pn, a, n1q P RN e n˜ao existe transi¸c˜ao pm, a, m1q P RM com pm1, n1q P <. (a): Pela defini¸c˜ao do jogo, pm0, n0q ´e a configura¸c˜ao inicial do spoiler, ent˜ao
pm0, n0q P <, o que contradiz (a);
(b)(i): Pela defini¸c˜ao do jogo, se (m, n) ´e uma configura¸c˜ao do spoiler ent˜ao LMpmq ¤ LNpnq, o que contradiz (b)(i);
(b)(ii): quando o spoiler joga a partir da configura¸c˜aopm, nq, existem duas poss´ıveis configura¸c˜oes para o duplicator : pm1, nq ou pm, n1q. Como o duplicator ganha em todas as partidas, em ambos os casos o duplicator consegue imitar o movimento do spoiler, isto ´e, se o spoiler muda a configura¸c˜ao corrente da partida para pm1, nq a partir de alguma transi¸c˜ao pm, a, m1q P RM ent˜ao o duplicator ir´a modificar a configura¸c˜ao corrente do jogo para pm1, n1q a partir de uma transi¸c˜ao qualquer pn, a, n1q P R
N com LMpm1q ¤ LNpn1q (de acordo com a defini¸c˜ao das regras do
jogo). Assim, para todas as transi¸c˜oes t P RM que representam a modifica¸c˜ao do estado corrente de uma partida de pm, nq para pm1, nq no turno do spoiler, existe uma transi¸c˜ao t1 P RN que representa a mudan¸ca da configura¸c˜ao corrente da partida de pm1, nq para pm1, n1q no turno do duplicator com LMpm1q ¤ LNpn1q e
pm1, n1q P < (pm1, n1q ´e a nova configura¸c˜ao do spoiler ap´os a jogada do duplicator),
o que contradiz o item (b)(ii).
(b)(iii): segue racioc´ınio similar a (b)(ii), tomando a configura¸c˜ao pm, n1q como a configura¸c˜ao ap´os o movimento do spoiler.
Voltando para o exemplo da Figura 6.1, percebemos que o mais importante no jogo de refinamento s˜ao as configura¸c˜oes do jogo e quais configura¸c˜oes s˜ao acess´ıveis atrav´es de outras configura¸c˜oes. A Figura 6.2 exibe todas as configura¸c˜oes do jogo do exemplo da Figura 6.1 e como elas s˜ao alcan¸cadas. A letra do lado da configura¸c˜ao indica se ´e a vez do spoiler (s) ou duplicator (d) jogar e a dire¸c˜ao das setas indica a acessibilidade de uma configura¸c˜ao atrav´es de outra.
Como podemos perceber atrav´es da Figura 6.2, ´e poss´ıvel representar todas as poss´ıveis configura¸c˜oes de um jogo atrav´es de um grafo.
6.2 JOGO DO REFINAMENTO COMO UM GRAFO
O jogo de refinamento entre dois KMTS M e N pode ser representado atrav´es de um grafo. Os v´ertices do grafo representam as configura¸c˜oes do jogo enquanto que as arestas representam as transi¸c˜oes entre as configura¸c˜oes. A defini¸c˜ao 6.2.1 formaliza esta ideia.
76 JOGO DO REFINAMENTO
Figura 6.2 Configura¸c˜oes poss´ıveis de um jogo de refinamento entre os modelos M e N da Figura 6.1
Defini¸c˜ao 6.2.1 (Jogo do Refinamento). Um jogo de refinamento entre os modelos M pAPM, ΣM, SM, sM 0, RM, RM, LMq e N pAPN, ΣN, SN, sN 0, RN, RN,LNq ´e um grafo
RGM,N pVD, VS, Eq onde VD ´e um conjunto de v´ertices onde o duplicator joga, VS ´e um
conjunto de v´ertices onde o spoiler joga e E pVD Y VSq pVD Y VSq ´e um conjunto de
arestas tal que:
VS tpm, nq | m P SM ^ n P Sn^ LMpmq ¤ LNpnqu Y tpm0, n0qu VD VD1Y VD2 onde: VD1 tpm, a, m1, nq | m P SM ^ m1 P SM ^ n P SN ^ LMpmq ¤ LNpnq ^ m a Ý Ñ m1^ a P ΣMu VD2 tpm, a, n1, nq | m P SM ^ n1 P SN ^ n P SN ^ LMpmq ¤ LNpnq ^ n a 99K n1 ^ a P ΣNu E E1Y E11 Y E2 Y E21 onde: E1 trpm, nqS,pm, a, m1, nqDs | m a Ý Ñ m1^ a P Σ Mu E2 trpm, nqS,pm, a, n1, nqDs | n a 99K n1^ a P ΣNu E1 1 trpm, a, m1, nqD,pm1, n1qSs | m a Ý Ñ m1^ a P Σ M^ n a Ý Ñ n1^ a P Σ N^ LMpm1q ¤ LNpn1qu E1 2 trpm, a, n1, nqD,pm1, n1qSs | m a 99K m1 ^ a P ΣM ^ n a 99K n1 ^ a P ΣN ^ LMpm1q ¤ LNpn1qu
Onde pi, jqS representa os v´ertices do spoiler e pw, a, x, kqD representa os v´ertices do
6.2 JOGO DO REFINAMENTO COMO UM GRAFO 77
Figura 6.3 Jogo do refinamento entre os modelos M e N da Figura 6.1 expressos em um grafo
Considerando o jogo de refinamento RGM,N pVS, VD, Eq, os movimentos do spoiler
s˜ao representados pela uni˜ao dos subconjuntos E1 Y E2 tal que E1 E representa os
movimentos do spoiler no modelo M e E2 E representa os movimentos do spoiler
no modelo N. De maneira similar, os movimentos do duplicator s˜ao representados pela uni˜ao dos subconjuntos E11 Y E21 tal que E11 E representa os movimentos do duplicator no modelo N e E21 E representa os movimentos do duplicator no modelo M. Como E E1Y E11Y E2Y E21 (Defini¸c˜ao 6.2.1) pode-se representar o jogo RGM,N pVS, VD, Eq
como RGM,N pVS, VD, E1, E11, E2, E21q.
Um caminho finito ou infinito no grafo do jogo de refinamento representa uma partida e este caminho satisfaz as regras de partidas definidas anteriormente. Por exemplo, suponha o jogo de refinamento mostrado na Figura 6.3, o caminho S0 D0 S1 ´e uma partida
finita enquanto o caminho S0 D3 S3 D4 S3 ... ´e uma partida infinita.
Defini¸c˜ao 6.2.2 (Partida). Uma partida φ de um jogo de refinamento RGM,N pVS, VD, Eq
´e uma sequˆencia finita ou infinita v0v1...vn... de v´ertices tal que pvi, vi 1q P E e v0
pm0, n0q onde m0 e n0 s˜ao os estados iniciais de M e N , respectivamente.
A Proposi¸c˜ao 6.2.1 mostra que todas as poss´ıveis partidas de um jogo de refinamento definido na Defini¸c˜ao 6.1.1 est˜ao representas no grafo do jogo.
Proposi¸c˜ao 6.2.1. Sejam M pAPM, ΣM, SM, sM 0, RM, RM, LMq e N pAPN, ΣN,
SN, sN 0, RN, RN,LNq e RGM,N pVS, VD, E1, E11, E2, E21q o grafo do jogo de refinamento
entre M e N. O grafo RGM,N representa todas as poss´ıveis partidas pi do jogo de refina-
mento da Defini¸c˜ao 6.1.1, atrav´es de um caminho finito ou infinito φi.
Demonstra¸c˜ao. Suponha, por contradi¸c˜ao, que exista uma partida pi que n˜ao esteja re-
78 JOGO DO REFINAMENTO
uma partida ´e uma sequˆencia de configura¸c˜oes do jogo, ent˜ao se pi n˜ao est´a representada
em nenhum caminho do grafo RGM,N existem duas possibilidades: (i) existe alguma con-
figura¸c˜ao que n˜ao est´a representada no grafo e consequentemente n˜ao est´a em φi; ou (ii)
todas as configura¸c˜oes da partida est˜ao representadas no jogo, mas n˜ao existe pelo menos uma aresta que ligue duas configura¸c˜oes consecutivas de forma a representar a partida pi. Consideremos ent˜ao a partida pi pm0, n0qpmx, myq...pm, nq... finita ou infinita.
(i): Suponha que uma configura¸c˜ao px, yq qualquer n˜ao esteja no grafo. Se px, yq pm0, n0q chegamos a uma contradi¸c˜ao pois, pela Defini¸c˜ao 6.2.1, pm0, n0q P VS.
Suponha agora que px, yq pm0, n0q e que px, yq seja a primeira configura¸c˜ao de pi
que n˜ao esteja em φi, de forma que pm0, n0qpmx, myq...pm, nq esteja em φi e que px, yq
´
e alcan¸c´avel diretamente pela configura¸c˜aopm, nq. Considerando que px, yq ´e alcan¸c´avel diretamente depm, nq, px, yq pode ter uma das seguintes formas (a) pm1, nq ou (b) pm, n1q. (a) Sepx, yq pm1, nq. Como pm1, nq ´e alcan¸c´avel diretamente de pm, nq ent˜ao existe uma transi¸c˜ao t pm, a, m1q tal que t P RM para algum a P ΣM e LMpmq ¤ LNpnq se foi
o spoiler o jogador que causou a mudan¸ca de estado ou t pm, a, m1q tal que t P RN para algum a P ΣN e LMpm1q ¤ LMpnq se a mudan¸ca foi causa pelo duplicator. Se a
mudan¸ca foi causada pelo spoiler, as condi¸c˜oes t pm, a, m1q P RM para algum a P ΣM e
LMpmq ¤ LNpnq garantem a existˆencia de um v´ertice v pm, a, m1, nq tal que v P VD1,
o que representa a configura¸c˜ao pm1, nq no grafo, o que nos leva a contradi¸c˜ao. (b) Se px, yq pm, n1q, as condi¸c˜oes garantiriam a existˆencia de um v´ertice v pm, a, n1, nq tal
que v P VD2. Da mesma forma, se a nova configura¸c˜ao fosse resultado do movimento do
duplicator, a condi¸c˜ao LMpmq ¤ LNpnq valeria, o que garantiria um v´ertice v P VS, e
assim chegamos a uma contradi¸c˜ao;
(ii): Suponha ci e ci 1, duas configura¸c˜oes sucessivas da partida pi representadas no grafo
pelos v´ertices vi e vi 1 , respectivamente, tal que n˜ao exista uma aresta entre vi e vi 1.
Suponha que vi pm, nq ent˜ao vi 1 pm1, nq ou vi 1 pm, n1q. Se a transi¸c˜ao ausente
no grafo representa uma jogada do spoiler e vi 1 pm1, nq, temos que m a
Ý
Ñ m1 e aP Σ M,
o que garante a existˆencia de uma transi¸c˜ao pvi, vi 1q P E1. Se vi 1 pm, n1q temos que
n 99K na 1 e a P ΣN, o que tamb´em garante a existˆencia de uma transi¸c˜ao pvi, vi 1q P E2.
Assim, para estes casos chegamos a uma contradi¸c˜ao. Um racioc´ınio an´alogo pode ser feito assumindo que a mudan¸ca de configura¸c˜ao foi causada pelo duplicator.
A Proposi¸c˜ao 6.2.1 mostra que todas as partidas da Defini¸c˜ao 6.1.1 est˜ao representadas no grafo, mas o inverso n˜ao ´e verdade. O grafo representa mais configura¸c˜oes do que a Defini¸c˜ao 6.1.1 permite. Isto acontece porque a regra de forma¸c˜ao do conjunto de v´ertices (ou de arestas) do grafo n˜ao define que os elementos deste conjunto devem ser alcan¸cados a partir do estado inicial, ou seja, pela Defini¸c˜ao 6.2.1 podem existir v´arios subgrafos desconexos, entretanto, ´e poss´ıvel observar que apenas um subgrafo cont´em o estado inicial. Desta forma, ao utilizar o grafo para representar todas as partidas de um jogo de refinamento, ´e importante utilizar o subgrafo que cont´em o estado inicial. A partir deste ponto, sempre que nos referirmos ao grafo do jogo de refinamento, estamos nos referindo ao subgrafo que cont´em o estado inicial (a menos que seja expl´ıcito o contr´ario). Tamb´em, a partir de agora, usaremos o termo “jogo de refinamento” de forma intercambi´avel com o termo “grafo do jogo de refinamento”.
6.2 JOGO DO REFINAMENTO COMO UM GRAFO 79
Um conjunto de propriedades relacionadas a uma partida e os tipos de arestas que co- nectam os v´ertices de um jogo de refinamento podem ser deduzidas. ´E poss´ıvel identificar o tipo de aresta que representa o movimento do duplicator em uma rodada, analisando o tipo de aresta que representa o movimento do spoiler na mesma rodada.
Proposi¸c˜ao 6.2.2. Seja φ v0v1...vn... uma partida do jogo RGM,N pVS, VD, E1, E11,
E2, E21q onde vi P S. Os seguintes itens s˜ao verdade:
se pvi, vi 1q P E1 ent˜aopvi 1, vi 2q P E11;
se pvi, vi 1q P E2 ent˜aopvi 1, vi 2q P E21.
Demonstra¸c˜ao. Seja pvi, vi 1q P E1, pela Defini¸c˜ao 6.2.1, E1 representa os movimentos
executados pelo spoiler. Quando o spoiler move-se pela aresta E1, isto representa que
o spoiler jogou no modelo M . Tamb´em, pela mesma defini¸c˜ao, E11 e E21 representam os movimentos executados pelo duplicator. Quando o duplicator move-se pela aresta E11, isto significa que o duplicator jogou no modelo N e quando ele se move pela aresta E21 isto significa que ele jogou no modelo M. Assim, pela Defini¸c˜ao 6.2.1 se pvi, vi 1q P E1
ent˜ao pvi 1, vi 2q P E11. A prova do Item (2) segue o mesmo racioc´ınio.
Por fim, o Teorema 6.2.1 mostra que o duplicator ganha em todas as partidas de um jogo de refinamento se e somente se n˜ao existe nenhum v´ertice do duplicator sem uma aresta de sa´ıda.
Teorema 6.2.1. Sejam os modelos M pAPM, ΣM, SM, sM 0, RM, RM, LMq e N
pAPN, ΣN, SN, sN 0, RN, RN,LNq e um jogo de refinamento entre M e N, RGM,N
pVS, VD, E1, E11, E2, E21q, M ª N se, e somente se, existe um v´ertice vd P VD tal que
n˜ao existe uma aresta eP E11 Y E21 e e pvd, vsq, vs P VS.
Demonstra¸c˜ao.
Ñ Pelo Teorema 6.1.1, M ª N se o duplicator perde em alguma partida. Seja φ a partida em que o duplicator perde. Se o duplicator perde ent˜ao existe uma configura¸c˜ao c em φ que o duplicator n˜ao pode se mover, isto ´e, a partida ´e finita e termina na vez do duplicator. A partida φ e a configura¸c˜ao c est˜ao representadas no grafo (Proposi¸c˜ao 6.2.1) e seja v o v´ertice que representa c no grafo. Como a partida termina em c (v) ent˜ao n˜ao existe uma aresta e P E11 Y E21 e e pv, vsq,
vs P VS.
Ð Basta observar que se existe uma configura¸c˜ao do duplicator que n˜ao possui ares- tas de sa´ıda, isto significa que naquela configura¸c˜ao o duplicator n˜ao pode fazer nenhum movimento. Como o jogo come¸ca pelo spoiler, existe algum movimento executado pelo spoiler que levou o jogo at´e esta configura¸c˜ao. Assim, o duplicator n˜ao pode mover-se e n˜ao consegue imitar o movimento do spoiler perdendo a par- tida. Pelo Teorema 6.1.1, se o duplicator perde uma partida ent˜ao n˜ao h´a rela¸c˜ao de refinamento entre os modelos M e N.
80 JOGO DO REFINAMENTO
At´e onde sabemos, n˜ao existe nenhum algoritmo que gere o jogo de refinamento para qualquer especifica¸c˜ao parcial (MTS e suas variantes). A referˆencia a este tipo de jogo na literatura resume-se a uma lista de regras menos detalhadas que as regras apresentadas na Defini¸c˜ao 6.1.1 e esta caracteriza¸c˜ao em forma de jogo ´e utilizada apenas para provar algumas propriedades do refinamento, como em (BENEˇs et al., 2009). Propomos um algoritmo que utiliza o jogo de refinamento para analisar a existˆencia de uma rela¸c˜ao de refinamento modal forte entre dois KMTS.